任炯，王剛，胡國棟，石曉露

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072

在航空航天領(lǐng)域的流動數(shù)值模擬中，為了精細(xì)刻畫流場中存在的激波、渦系和剪切層等復(fù)雜流動結(jié)構(gòu)，一般需要采用較高精度的數(shù)值格式和足夠細(xì)密的計(jì)算網(wǎng)格來保證流場求解的分辨率［1］。實(shí)際流動問題中，復(fù)雜流動結(jié)構(gòu)往往只出現(xiàn)在流場的局部區(qū)域，若全局性地加密網(wǎng)格或者提升格式精度，則會在流場參數(shù)變化相對平緩的區(qū)域引入“富余”的離散精度，帶來不必要的計(jì)算消耗。為了解決這一問題，計(jì)算流體力學(xué)（Computational Fluid Dynamics，CFD）工作者們發(fā)展了各種類型的自適應(yīng)求解技術(shù)，其主要思想是依據(jù)流場結(jié)構(gòu)特征自動調(diào)整網(wǎng)格尺度或流場變量的離散階次，通過離散精度和分辨率在流場中的合理配置，有效控制流場數(shù)值模擬的計(jì)算成本［2］。

依據(jù)實(shí)現(xiàn)策略的不同，流場自適應(yīng)求解技術(shù)大致分為h 型、r 型和p 型3 類［3］。h 型自適應(yīng)技術(shù)［3-11］是通過對原計(jì)算網(wǎng)格進(jìn)行加密剖分和粗化聚合來實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格疏密的調(diào)整，自適應(yīng)過后，計(jì)算網(wǎng)格單元的尺寸、數(shù)量和拓?fù)潢P(guān)系均會發(fā)生變化；r 型自適應(yīng)技術(shù)［12-13］一般是根據(jù)流場信息如變量梯度，通過移動網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)來調(diào)整網(wǎng)格的疏密分布，其特點(diǎn)是在自適應(yīng)前后網(wǎng)格的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)保持一致；p 型自適應(yīng)技術(shù)［14-18］則固定網(wǎng)格單元尺寸和節(jié)點(diǎn)位置不變，通過局部增減插值/重構(gòu)多項(xiàng)式的階次來實(shí)現(xiàn)求解精度的合理配置。這3 類流場自適應(yīng)求解技術(shù)與有限差分、有限體積或有限元等主流CFD 數(shù)值離散方法相結(jié)合，能夠有效平衡計(jì)算精度與計(jì)算效率之間的矛盾，發(fā)揮兼顧高分辨和高效率等多方面的優(yōu)勢。因此，自適應(yīng)求解的思想在CFD 領(lǐng)域獲得了廣泛的關(guān)注和大量的應(yīng)用［3，9，13-15，17］。

近期，筆者所在研究小組，利用具有間斷屬性的Walsh 基函數(shù)所構(gòu)造的級數(shù)對控制單元內(nèi)的流動變量進(jìn)行分片連續(xù)的離散表達(dá)，提出了一種具備網(wǎng)格內(nèi)部捕捉間斷能力的高分辨率Walsh 函數(shù)有限體積方法（The Finite Volume Method with Walsh Basis Functions，F(xiàn)VM-WBF）［19-20］。該方法以Walsh 基函數(shù)系數(shù)為解變量，在有限體積框架下，進(jìn)行網(wǎng)格單元內(nèi)的空間離散，形成關(guān)于解變量時(shí)間導(dǎo)數(shù)的半離散常微分方程系統(tǒng)，然后結(jié)合時(shí)間推進(jìn)格式完成求解。在這個(gè)框架內(nèi)，使用足量的Walsh 基函數(shù)能夠顯著提高流場模擬的數(shù)值分辨率，達(dá)到在網(wǎng)格內(nèi)部對激波和渦系等流動結(jié)構(gòu)精細(xì)刻畫的效果。然而，在所有網(wǎng)格單元內(nèi)統(tǒng)一增加基函數(shù)數(shù)目來提高分辨率會使得計(jì)算量呈幾何倍數(shù)增長，計(jì)算效率顯著下降。

為了在提高FVM-WBF 方法分辨率的同時(shí)，有效改善其計(jì)算效率，本文考慮引入基函數(shù)數(shù)目的自適應(yīng)策略，根據(jù)流場特征對網(wǎng)格單元內(nèi)的Walsh 基函數(shù)數(shù)目進(jìn)行動態(tài)調(diào)整，僅在激波、渦系等流場變化劇烈的局部區(qū)域使用足量的Walsh基函數(shù)，而在其他區(qū)域維持相對少量的Walsh 基函數(shù)，避免基函數(shù)的全局性增加所引起的計(jì)算量爆發(fā)式增長。

本文首先對FVM-WBF 方法的基本原理和數(shù)值特性進(jìn)行簡要回顧，然后描述自適應(yīng)策略在該方法中的具體實(shí)現(xiàn)過程，最后通過若干數(shù)值算例對新發(fā)展的自適應(yīng)Walsh 函數(shù)有限體積方法（簡稱自適應(yīng)FVM-WBF 方法）的分辨率和計(jì)算效率進(jìn)行測試。

1 FVM-WBF 方法

以式（1）給出的積分守恒型二維Euler 方程為求解對象，對FVM-WBF 方法進(jìn)行簡要介紹。

式中：

其中：V=[u v]T，u和v分別為x和y方向上的速度分量；ρ、p和E分別為密度、壓強(qiáng)和單位體積總能；Q為守恒變量矢量；F(Q)為無黏數(shù)值通量；Ω為求解域中的某一控制體；?Ω為控制體邊界；n為控制體邊界處單位外法線矢量。為方便描述，這里用標(biāo)量符號Q統(tǒng)一代表守恒變量ρ、ρu、ρv和E。

FVM-WBF 方法采用具有間斷屬性的Walsh基函數(shù)對控制體Ω內(nèi)的守恒變量進(jìn)行級數(shù)逼近：

式中：下標(biāo)(m，n)由2 組對應(yīng)一維Walsh 基函數(shù)的下標(biāo)按照張量積順序給定。一維Walsh 基函數(shù)是某個(gè)區(qū)間上定義的在1 和-1 之間頻繁躍變的間斷函數(shù)，可由定義域上的簡單方波gn(x)=1按照不同層級經(jīng)過二分演化生成，其具體的定義公式見文獻(xiàn)［19-22］，此處不贅述。

式（2）中的cm，n(t)是與基函數(shù)gm，n(x，y)對應(yīng)的系數(shù)。根據(jù)一維Walsh 基函數(shù)的分類方式［19-22］，二維Walsh 基函數(shù)gm，n(x，y)可由式（4）進(jìn)行層級劃分：

式中：p1和p2分別表示2 個(gè)一維Walsh 基函數(shù)gm(x)和gn(y)的所屬級別。

為直觀理解，圖1 給出了單位正方形區(qū)域[0，1]×[0，1]上p=0， 1， 2 所對應(yīng)的前3 級二維Walsh 基函數(shù)示意。圖中的藍(lán)、紅色部分分別表示基函數(shù)的正負(fù)值所對應(yīng)的子區(qū)域?？梢钥吹剑SWalsh 基函數(shù)表現(xiàn)出與一維Walsh 基函數(shù)類似的特點(diǎn)：①具有等幅方波屬性；②當(dāng)基函數(shù)級別p≥1 時(shí)，各子區(qū)域隨基函數(shù)級別p的提高分別在x和y方向遞進(jìn)二分，形成新的1/2p尺度的子區(qū)域，且正負(fù)值區(qū)域面積始終保持相等，這使得第p（p≥1）級的基函數(shù)在前p-1 級基函數(shù)形成的各子區(qū)域上的面積分均為0。

圖1 單位正方形區(qū)域上的前3 級二維Walsh 基函數(shù)（g(1，1)(x，y)～g(4，4)(x，y)，p=0，1，2）的取值示意圖Fig.1 Schematic diagram of values of the first three groups of two-dimensional Walsh basis functions on unit square area （g(1，1)(x，y)～g(4，4)(x，y)， p=0，1，2）

由Walsh 基函數(shù)的上述數(shù)學(xué)特點(diǎn)可以導(dǎo)出級數(shù)式（2）具有2 方面的數(shù)值特征：①在定義域上，守恒變量被描述成與基函數(shù)數(shù)目相同的分片連續(xù)區(qū)域上的離散形式，基函數(shù)數(shù)目越多，對變量的描述越精細(xì)；②級數(shù)式（2）具備良好的“伸縮”數(shù)值特性，由低級別向高級別級數(shù)式延伸或由高級別向低級別級數(shù)式收縮時(shí)，級數(shù)式伸縮前后的重疊部分所對應(yīng)的系數(shù)可以直接繼承原先的取值。接下來，以單位正方形網(wǎng)格[0，1]×[0，1]上的解析變量函數(shù)

為例，采用由圖1 中的基函數(shù)形成的級數(shù)式（2）對其進(jìn)行數(shù)值逼近，利用所獲得的結(jié)果（見圖2）演示級數(shù)式（2）的上述數(shù)值特性。

圖2 FVM-WBF 方法對單位正方形區(qū)域上的變量Q(x，y)=-(x-0.4)2-(y-0.6)2+0.1x sin( 2y )+1擬合數(shù)值結(jié)果Fig.2 Numerical results of two-dimensional variable Q(x，y)=-(x-0.4)2-(y-0.6)2+0.1x sin( 2y )+1 simulated by FVM-WBF method on unit square area

為直觀理解，圖2 采用了三維立體的顯示視角，從左到右分4 個(gè)部分對級數(shù)式（2）的數(shù)值逼近過程和結(jié)果進(jìn)行展示。第1 部分如圖2 左上方所示，給出了3 級基函數(shù)（p=0， 1， 2）的擬合系數(shù)。第2 部分與第1 部分對應(yīng)，給出的是3 級基函數(shù)與其系數(shù)相乘后在單位正方形網(wǎng)格上的取值分布情況。第3 部分如圖2 中虛線框標(biāo)注處所示，分別給出了3 級基函數(shù)各級疊加后的結(jié)果。可以看到，第1 級基函數(shù)在整個(gè)網(wǎng)格上形成了常數(shù)分布，第2 級基函數(shù)在整個(gè)網(wǎng)格上形成了2×2 個(gè)分片連續(xù)的1/2 網(wǎng)格尺度子區(qū)域上的離散分布，第3 級基函數(shù)則形成4×4 個(gè)分片連續(xù)的1/4 網(wǎng)格尺度子區(qū)域上的離散分布。這表明：第1 級基系數(shù)c1，1關(guān)聯(lián)的是整個(gè)網(wǎng)格上的變量均值，而第2 級和第3 級基系數(shù)分別關(guān)聯(lián)的是1/2 網(wǎng)格尺度和1/4網(wǎng)格尺度的局部區(qū)域上的變量均值。圖2 的第4 部分從上往下依次列出了變量Q(x，y)在網(wǎng)格內(nèi)的原始解析分布和利用級數(shù)式（2）的近似分布。圖中，1×1、2×2 和4×4 分別代表使用第1 級、前2 級和前3 級Walsh 基函數(shù)后形成的分片連續(xù)區(qū)域的數(shù)目，可以看到，原始的解析變量在網(wǎng)格內(nèi)為曲面分布，僅使用第1 級基函數(shù)的逼近結(jié)果在整個(gè)網(wǎng)格上為常數(shù)分布，根據(jù)g1，1的特征，不難理解系數(shù)c1，1即為變量Q(x，y)在整個(gè)網(wǎng)格上的均值。在第1 級基函數(shù)逼近的基礎(chǔ)上，累加第2 級基函數(shù)的疊加結(jié)果即可獲得前2 級基函數(shù)的逼近，第2 級系數(shù)c1，2，c2，1和c2，2僅在4 個(gè)1/2 網(wǎng)格尺度的局部區(qū)域上對c1，1代表的均值進(jìn)行了相應(yīng)的修正，從而獲得了4 個(gè)新的子區(qū)域上的均值分布。這表明，前2 級基函數(shù)級數(shù)式是第1 級基函數(shù)級數(shù)式的直接延伸，并不改變第1 級基函數(shù)g1，1對應(yīng)的系數(shù)c1，1。相反，若將延伸部分直接刪減，前2 級基函數(shù)級數(shù)式便可收縮回到第1 級基函數(shù)級數(shù)式。前2 級基函數(shù)級數(shù)式對變量逼近表現(xiàn)出的分片連續(xù)離散特征和自然“伸縮”數(shù)值特性在圖2 所示的前3 級基函數(shù)級數(shù)式的逼近結(jié)果中得到了同樣的體現(xiàn)。易推斷，隨著基函數(shù)級別的繼續(xù)增加，這2 種特性將依然得到保持，新增加的一級基函數(shù)會比前一級在更小尺度的子區(qū)域上對原始均值進(jìn)行修正，所獲得的數(shù)值分布也將逐步逼近其解析分布。

前面的描述中，Walsh 基函數(shù)是在正方形網(wǎng)格上定義的，對于一般的四邊形網(wǎng)格，可通過雙線性映射進(jìn)行網(wǎng)格變換，將二維Walsh 基函數(shù)和級數(shù)式（2）拓展到任意的四邊形網(wǎng)格，得到相應(yīng)的分片連續(xù)區(qū)域的離散。圖3 取前3 級基函數(shù)級數(shù)式為例，給出了其在任意四邊形網(wǎng)格上形成4×4 個(gè)分片連續(xù)離散區(qū)域的示意，子區(qū)域Ωi，j的下標(biāo)(i，j)由兩組對應(yīng)一維Walsh 基函數(shù)級數(shù)形成的子區(qū)間下標(biāo)按照張量積順序給定。

圖3 一般四邊形網(wǎng)格上的離散子區(qū)域示意Fig.3 Subdivision of quadrilateral area

上文分析的級數(shù)式（2）所具有的“伸縮”數(shù)值特性使得FVM-WBF 方法天然具有便捷的自適應(yīng)途徑，這也是本文自適應(yīng)方法的理論基礎(chǔ)，相關(guān)的自適應(yīng)實(shí)現(xiàn)方法將在后面小節(jié)進(jìn)行專門介紹?？紤]到方法敘述的連貫性，本節(jié)接下來對FVM-WBF 方法的離散求解過程進(jìn)行描述。

將守恒變量的級數(shù)逼近式（2）代入積分控制式（1），可得到關(guān)于Walsh 基函數(shù)的積分守恒型方程：

該方程包含M×N個(gè)待定系數(shù)顯然，單憑式（6）不能提供足夠的定解條件。由于Walsh 基函數(shù)的間斷性，在控制體內(nèi)不能保證處處可微，無法利用類似于有限元的變分過程［12，14，17］進(jìn)行定解?？紤]到級數(shù)式（2）已經(jīng)將解變量在控制體Ω上描述成了與待定系數(shù)數(shù)目相同的分片連續(xù)子區(qū)域，為了獲得滿足定解條件的方程數(shù)目，選擇將式（6）分別在各子區(qū)域上進(jìn)行空間離散，得到關(guān)于基系數(shù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的半離散方程：

式中：?Ωi，j表示子區(qū)域Ωi，j的邊界為子區(qū)域邊界處的數(shù)值通量，一般采用近似Riemann 求解器或矢通量分裂方法進(jìn)行計(jì)算，和為通過級數(shù)式（2）獲得的子區(qū)域交界面左右兩側(cè)的流場守恒變量值；nl和ΔSl分別為子區(qū)域交界面處的單位外法線矢量和交界面邊長。將控制體Ω內(nèi)所有子區(qū)域上的離散方程聯(lián)立，可得到矩陣形式描述的常微分方程系統(tǒng)：

式中：

其中：Fi，j表示子區(qū)域Ωi，j上的數(shù)值通量。采用合適的時(shí)間推進(jìn)格式對方程（8）進(jìn)行迭代求解，便可得到每個(gè)時(shí)間步的基函數(shù)系數(shù)，并由級數(shù)式（2）進(jìn)一步獲得各時(shí)間步的流動變量值。

2 自適應(yīng)FVM-WBF 方法

FVM-WBF 方法進(jìn)行自適應(yīng)計(jì)算的基本過程是先對流場結(jié)構(gòu)進(jìn)行探測，然后根據(jù)探測到的結(jié)果對Walsh 基函數(shù)數(shù)目進(jìn)行動態(tài)配置。下面具體介紹自適應(yīng)方法使用的流場結(jié)構(gòu)探測器和自適應(yīng)原理。

2.1 流場結(jié)構(gòu)探測器

流場結(jié)構(gòu)探測器是自適應(yīng)方法用來對流場結(jié)構(gòu)進(jìn)行判斷和識別的重要工具。借鑒傳統(tǒng)的基于流場特征判據(jù)［5，7，9］的自適應(yīng)方法，采用基于流動變量（密度、壓強(qiáng)等）梯度構(gòu)造的探測函數(shù)對流場結(jié)構(gòu)進(jìn)行探測。為了更好地保證計(jì)算效率，引入占比因子：

對延伸基函數(shù)級數(shù)的網(wǎng)格數(shù)量MF進(jìn)行限制，這里M代表計(jì)算域內(nèi)的網(wǎng)格單元總數(shù)。從而建立具有雙重閾值參數(shù)的探測函數(shù)：

式中：Qtsd為探測閾值；Qmax為流場中流動變量梯度絕對值的最大值：

式中：?Qi（1 ≤i≤M）為第i個(gè)控制單元上的流動變量梯度，采用Green-Gauss 方法進(jìn)行計(jì)算。

式（10）中的閾值參數(shù)ω用以控制自適應(yīng)“加密”區(qū)域的大小，其取值為0 ＜ω＜1。ω取值越接近于1，探測閾值越大，探測到的滿足閾值條件的網(wǎng)格數(shù)量MF越小，反之MF越大。實(shí)際計(jì)算中，可根據(jù)具體的流場特征對ω進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，給定具體的值。

式（10）中的閾值參數(shù)f(α)由占比因子α確定，用以控制所探測到的需要延伸基函數(shù)級數(shù)的網(wǎng)格數(shù)量不超過給定的百分比α，只有參數(shù)ω確定的閾值所探測出的網(wǎng)格占比超過預(yù)設(shè)值α?xí)r才發(fā)揮作用，滿足0 ≤f(α)＜1，可在區(qū)間[ω， 1]上由二分法經(jīng)過若干次迭代后獲得，下面給出具體的計(jì)算步驟。

步驟 1將區(qū)間[ω， 1] 對分得中點(diǎn)f(1)(α)= (ω+1)/2，由f(1)(α)對應(yīng)的探測函數(shù)=f(1)(α)·Qmax獲得需延伸基函數(shù)級數(shù)的網(wǎng)格數(shù)量M(1)和占比因子α(1)=M(1)/M。若達(dá)到二分結(jié)束條件：α(1)=α或|M(1)-MF|≤?，取f(α)=f(1)(α)，計(jì)算結(jié)束。

步驟2將區(qū)間[a(1)，b(1)] 對分得中點(diǎn)f(2)(α)= (a(1)+b(1))/2，由f(2)(α)對應(yīng)的探測函數(shù)=f(2)(α)·Qmax獲得需延伸基函數(shù)級數(shù)的網(wǎng)格數(shù)量M(2)和占比因子α(2)=M(2)/M。若達(dá)到二分結(jié)束條件：α(2)=α或|M(2)-MF|≤?，取f(α)=f(2)(α)，計(jì)算結(jié)束。

步驟k將區(qū)間[a(k-1)，b(k-1)]對分得中點(diǎn)f(k)(α)= (a(k-1)+b(k-1))/2，由f(k)(α)對應(yīng)的探測函數(shù)=f(k)(α)·Qmax獲得需延伸基函數(shù)級數(shù)的網(wǎng)格數(shù)量M(k)和占比因子α(k)=M(k)/M。若達(dá)到二分結(jié)束條件：α(k)=α或|M(k)-MF|≤?，取f(α)=f(k)(α)，計(jì)算結(jié)束。

對新獲得的區(qū)間[a(k)，b(k)]重復(fù)以上二分操作，直到得到滿足結(jié)束條件的參數(shù)f(α)。以上二分結(jié)束條件中的? 是所允許的誤差，理想值為?=1，為適當(dāng)減少二分步數(shù)，本文算例中取?=100。

2.2 自適應(yīng)原理

流場自適應(yīng)計(jì)算一般需要根據(jù)流場結(jié)構(gòu)特征，對網(wǎng)格疏密或離散精度的分布進(jìn)行動態(tài)調(diào)整。自適應(yīng)FVM-WBF 方法主要是針對Walsh基函數(shù)數(shù)目進(jìn)行動態(tài)配置，其自適應(yīng)的基本原理主要體現(xiàn)在基函數(shù)數(shù)目的配置和動態(tài)調(diào)整過程中，接下來將從這2 個(gè)方面對FVM-WBF 方法的自適應(yīng)原理進(jìn)行描述。

1） Walsh 基函數(shù)數(shù)目的配置策略

利用探測函數(shù)對流場結(jié)構(gòu)進(jìn)行探測后，將流場識別為流動變量變化劇烈的激波、渦系等局部大梯度區(qū)域和流動變量變化相對平緩的光滑區(qū)域，即對流場掃描探測過程中，若控制單元內(nèi)的流動變量梯度?Qi滿足?Qi≥Qtsd，則識別為大梯度區(qū)域，采用Ar1進(jìn)行標(biāo)記；相反若?Qi＜Qtsd，則識別為光滑區(qū)域，采用Ar2進(jìn)行標(biāo)記。自適應(yīng)FVM-WBF 方法的基本策略是在流場的Ar1區(qū)域使用最多數(shù)目的Walsh 基函數(shù)，而在Ar2區(qū)域使用最少數(shù)目的Walsh 基函數(shù)。實(shí)際計(jì)算中，該策略將根據(jù)不同區(qū)域上基函數(shù)的級別差異進(jìn)行適當(dāng)?shù)男薷模渚唧w的修改原則如下所述：① 當(dāng)Ar1和Ar2區(qū)域上的基函數(shù)數(shù)目僅相差一個(gè)級別時(shí)，則保持原始策略不變，即流場僅按Ar1和Ar2這2 個(gè)區(qū)域進(jìn)行基函數(shù)配置和自適應(yīng)計(jì)算處理；② 當(dāng)Ar1和Ar2區(qū)域上的基函數(shù)數(shù)目相差超過一個(gè)級別時(shí)，2 個(gè)區(qū)域交界面處左右兩側(cè)的自由度變化過大，可能給流場求解的穩(wěn)定性帶來不利影響。為避免這一問題，將在Ar1和Ar2區(qū)域之間引入若干層的過渡區(qū)域，保證相鄰區(qū)域上的基函數(shù)數(shù)目不超過一個(gè)級別。為描述方便，將過渡區(qū)域記為Ar3，該區(qū)域使用的基函數(shù)數(shù)目應(yīng)介于Ar1和Ar2區(qū)域的基函數(shù)數(shù)目之間。對于這種情形，自適應(yīng)FVM-WBF 方法將按Ar1、Ar2和Ar3這3 個(gè)區(qū)域?qū)α鲌鲞M(jìn)行基函數(shù)的配置和自適應(yīng)計(jì)算處理。

本文的自適應(yīng)數(shù)值計(jì)算在流場的Ar1區(qū)域內(nèi)配置p=0， 1， 2 ， 3 這4 級Walsh 基函數(shù)，其對應(yīng)的級數(shù)式為

在Ar2區(qū)域內(nèi)配置p=0， 1 這2 級Walsh 基函數(shù)，對應(yīng)的級數(shù)式為

因Ar1與Ar2區(qū)域使用的Walsh 基函數(shù)數(shù)目相差2 個(gè)級別，需要引入過渡層區(qū)域Ar3。根據(jù)上述基函數(shù)配置測率的修改原則，在Ar3區(qū)域內(nèi)配置p=0， 1，2 這3 級Walsh 基函數(shù)，相應(yīng)的級數(shù)式為

在數(shù)值模擬過程中，流場結(jié)構(gòu)隨著時(shí)間推進(jìn)不斷演化發(fā)展，各個(gè)時(shí)間步所探測到的Ar1和Ar2區(qū)域會隨之變動，這樣網(wǎng)格單元內(nèi)的Walsh基函數(shù)數(shù)目和相應(yīng)的級數(shù)式也會實(shí)時(shí)進(jìn)行調(diào)整。

2） 網(wǎng)格單元內(nèi)的Walsh 基函數(shù)數(shù)目調(diào)整

網(wǎng)格單元內(nèi)Walsh 基函數(shù)數(shù)目的調(diào)整分為2 種情況，一種是延伸基函數(shù)的層級，對應(yīng)基函數(shù)數(shù)目由少向多的調(diào)整；另一種是縮減基函數(shù)的層級，對應(yīng)基函數(shù)數(shù)目由多向少的調(diào)整。根據(jù)Walsh 基函數(shù)級數(shù)式（2）的伸縮數(shù)值特性，以上2 種基函數(shù)的調(diào)整過程僅涉及相關(guān)基函數(shù)系數(shù)的傳遞和賦值，并不會引入額外的插值或重構(gòu)計(jì)算量，這種Walsh 基函數(shù)系數(shù)的繼承特性對于自適應(yīng)計(jì)算有很大的便利。

而縮減基函數(shù)層級的調(diào)節(jié)情況對應(yīng)的傳遞公式為

在后續(xù)的自適應(yīng)流場數(shù)值模擬算例中，Walsh 基函數(shù)數(shù)目的調(diào)節(jié)對應(yīng)著級數(shù)式（12）～式（14）之間的基系數(shù)傳遞。

3 數(shù)值算例

選取雙馬赫反射問題、Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性問題和NACA0012 翼型繞流作為算例，以全局使用2 級、3 級和4 級Walsh 基函數(shù)的原始FVM-WBF 方法的計(jì)算結(jié)果為參照，對自適應(yīng)FVM-WBF 方法進(jìn)行性能測試。數(shù)值通量計(jì)算格式均選用文獻(xiàn)［23-25］中的熵相容格式，時(shí)間推進(jìn)選用滿足TVD 條件的強(qiáng)穩(wěn)定3 階顯式Runge-Kutta 方法［26］。在自適應(yīng)FVM-WBF 方法的計(jì)算中，所有算例均采用基于密度梯度的探測函數(shù)對流場結(jié)構(gòu)進(jìn)行識別，級數(shù)延伸的網(wǎng)格占比因子α均取為15%。

為方便描述，采用FVM-WBF-ADP 表示自適應(yīng)FVM-WBF 方法的計(jì)算結(jié)果，采用FVMWBF-（2，2）、FVM-WBF-（4，4）和FVM-WBF-（8，8）分別表示全局使用2 級、3 級和4 級Walsh基函數(shù)的原始FVM-WBF 方法的計(jì)算結(jié)果，這里（2，2）、（4，4）和（8，8）分別對應(yīng)2 級、3 級和4 級Walsh 基函數(shù)級數(shù)式張量積求和的上界。

3.1 雙馬赫反射問題

雙馬赫反射問題［27］的流場包含復(fù)雜的激波、渦系等結(jié)構(gòu)，經(jīng)常被用以檢驗(yàn)數(shù)值方法的精度、分辨率和穩(wěn)定性等性能。該問題的計(jì)算區(qū)域?yàn)閇0，4]×[0，1]，描述的是馬赫數(shù)為10 的正激波沿著放置于(x，y)=(1/6， 0)點(diǎn)處且與x軸成60°夾角的斜坡右行所形成的流場。該流動的初場由激波關(guān)系式給定，波前和波后的流動參數(shù)分別設(shè)置為(ρ，u，v，p)=(1.4， 0， 0， 1.0) 和(ρ，u，v，p)=(8.0， 7.144 71， -4.125， 116.5)。流場區(qū)域的左右邊界分別按流入和流出邊界條件進(jìn)行設(shè)置，上邊界為動激波邊界，激波前后的參數(shù)由激波關(guān)系式給定，下邊界在x=1/6 的左側(cè)設(shè)置為激波后參數(shù)，x=1/6 的右側(cè)為無黏壁面條件。

本算例采用了960×240 的笛卡爾網(wǎng)格，計(jì)算到t=0.2 時(shí)刻。自適應(yīng)FVM-WBF 方法的計(jì)算中，探測器的閾值參數(shù)ω設(shè)置為0.01。

圖4 分別給出了該算例在無量綱時(shí)間t=0.05，0.1，0.15，0.2 時(shí)刻的密度流場云圖（左側(cè)部分）和根據(jù)流場探測結(jié)果所獲得的基函數(shù)配置情況（右側(cè)部分）?；瘮?shù)配置圖中的紅、藍(lán)、綠部分分別代表使用4 級基函數(shù)的Ar1區(qū)域、使用2 級基函數(shù)的Ar2區(qū)域和使用3 級基函數(shù)的Ar3過度區(qū)域。結(jié)果顯示，使用到最高級別基函數(shù)級數(shù)的Ar1區(qū)域在各個(gè)時(shí)刻均與流場中的激波、接觸間斷和剪切渦等流動結(jié)構(gòu)區(qū)域基本一致，說明自適應(yīng)FVM-WBF 方法能夠根據(jù)式（10）探測到的流場結(jié)構(gòu)對Walsh 基函數(shù)數(shù)目進(jìn)行合理、準(zhǔn)確的動態(tài)配置。

圖4 雙馬赫反射問題在無量綱時(shí)間t=0.05，0.10，0.15，0.20 時(shí)刻的流場密度云圖和對應(yīng)的Walsh 基函數(shù)配置情況Fig.4 Density counters and corresponding Walsh basis function distributions for double Mach reflection problem at time t=0.05， 0.10， 0.15， 0.20

圖5 給出了原始FVM-WBF 方法和自適應(yīng)FVM-WBF 方法在t=0.2 時(shí)刻所獲得的數(shù)值密度云圖對比。圖中顯示，F(xiàn)VM-WBF-ADP 對激波和小尺度渦等結(jié)構(gòu)的分辨率略遜于FVMWBF-（8，8），但明顯優(yōu)于FVM-WBF-（4，4）。表1 進(jìn)一步比較了4 種計(jì)算每100 個(gè)時(shí)間步所消耗的CPU 時(shí)間，可以發(fā)現(xiàn)FVM-WBF-ADP 所消耗的CPU 時(shí)間分別為FVM-WBF-（4，4）和FVM-WBF-（8，8）的48% 和11%，僅比FVMWBF-（2，2）消耗的CPU 時(shí)間多出約48%。圖5和表1 中的對比說明：自適應(yīng)FVM-WBF 方法以略高于FVM-WBF-（2，2）的計(jì)算消耗達(dá)到了與FVM-WBF-（8，8）相近的分辨率，顯示出在平衡分辨率和計(jì)算效率方面的優(yōu)勢。

表1 雙馬赫反射問題每100 個(gè)時(shí)間步的CPU 時(shí)間比較Table 1 Comparison of CPU time per 100 steps for double Mach reflection problem

圖5 雙馬赫數(shù)反射問題數(shù)值密度云圖Fig.5 Density counters of Double Mach reflection problem

3.2 Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性問題

Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性問題［27］也經(jīng)常被用于檢驗(yàn)數(shù)值方法的精度和分辨率，其描述的是上下2 層密度不同的流體，當(dāng)密度大的流體受到重力影響流向密度小的流體時(shí)所產(chǎn)生的流動現(xiàn)象。其計(jì)算域?yàn)閇0，0.25]×[0，1]，初始條件為

圖6 從左到右分別給出了流場在無量綱時(shí)間為0.05，1.00，1.50 和1.95 時(shí)刻的密度云圖（上側(cè)部分）和Walsh 基函數(shù)配置情況（下側(cè)部分）。圖中顯示，隨著時(shí)間的推進(jìn)，流場中的結(jié)構(gòu)越來越豐富，各時(shí)刻的Ar1區(qū)域能夠跟隨流場結(jié)構(gòu)的演化不斷調(diào)整和匹配，說明自適應(yīng)FVM-WBF方法能夠通過基函數(shù)數(shù)目的動態(tài)配置實(shí)現(xiàn)流場結(jié)構(gòu)的精確捕獲。圖7 給出了原始FVM-WBF方法和自適應(yīng)FVM-WBF 方法計(jì)算到t=1.95時(shí)刻的數(shù)值密度云圖。在圖中可以看到，該時(shí)刻的輕流體空泡和重流體“尖頂”相互干擾，形成了多尺度渦的復(fù)雜流場結(jié)構(gòu)。FVM-WBF-ADP對多尺度渦的分辨率依然介于FVM-WBF-（8，8）和FVM-WBF-（4，4）之間。

圖6 Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性問題在無量綱時(shí)間t=0.05，1.00，1.50，1.95 時(shí)刻的流場密度云圖和對應(yīng)的Walsh 基函數(shù)配置情況Fig.6 Density counters and corresponding Walsh basis function distributions for Rayleigh-Taylor instability problem at time t=0.05， 1.00， 1.50，1.95

圖7 Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性問題數(shù)值密度云圖Fig.7 Density counters of Rayleigh-Taylor instability problem

表2 列出了4 種計(jì)算每100 個(gè)時(shí)間步所消耗的CPU 時(shí)間。結(jié)果顯示：FVM-WBF-ADP 所消耗的CPU 時(shí)間分別為FVM-WBF-（4，4）和FVM-WBF-（8，8）的60%和14%。該算例再次表明，自適應(yīng)FVM-WBF 方法能夠在獲得高分辨率的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)較高的計(jì)算效率。

表2 Rayleigh-Taylor 不穩(wěn)定性問題每100 個(gè)時(shí)間步的CPU 時(shí)間比較Table 2 Comparison of CPU time per 100 steps for Rayleigh-Taylor instability problem

3.3 NACA0012 翼型繞流

以貼近航空工程應(yīng)用的NACA0012 翼型跨聲速定常繞流為例，進(jìn)一步考察自適應(yīng)FVMWBF 方法對包含曲面邊界和激波的二維復(fù)雜流動問題的計(jì)算性能。具體計(jì)算狀態(tài)為馬赫數(shù)Ma=0.8，迎角α=1.25°，網(wǎng)格量為80×40，探測器的閾值參數(shù)ω為0.13。

圖8 分別給出了流場在時(shí)間迭代步數(shù)（IT）為1 500、3 000、5 000 和8 000 時(shí)的密度云圖（上側(cè)部分）和Walsh 基函數(shù)配置情況（下側(cè)部分）。結(jié)果顯示，隨著流場的收斂，每個(gè)計(jì)算網(wǎng)格上的基函數(shù)數(shù)目的配置也逐漸趨于穩(wěn)定，Ar1區(qū)域所對應(yīng)的上下翼面激波和前緣位置是流動參數(shù)變化相對劇烈的區(qū)域，使用了最多數(shù)目的基函數(shù)。圖9 給出的是原始FVM-WBF 方法和自適應(yīng)FVM-WBF 方法所獲得的收斂后的密度云圖，圖10 比較了計(jì)算獲得的翼面壓力系數(shù)分布（選取文獻(xiàn)［28］中的3 階精度結(jié)果作為參考）。結(jié)果顯示，F(xiàn)VM-WBF-ADP 對激波捕捉的銳利程度優(yōu)于FVM-WBF-（4，4），與FVM-WBF-（8，8）基本相當(dāng)。圖11 比較了殘差隨無量綱CPU 時(shí)間的收斂歷程，F(xiàn)VM-WBF-ADP 和FVM-WBF-（2，2）的殘差收斂速率幾乎完全相同，兩者約為FVM-WBF-（4，4）收斂速率的4 倍，約為FVMWBF-（8，8）收斂速率的24 倍?？梢?，對于翼型繞流這類航空工程中的常規(guī)問題，自適應(yīng)FVMWBF 方法同樣具備兼顧高分辨率和高計(jì)算效率的良好性能。

圖8 NACA0012 翼型繞流在迭代步IT=1 500，3 000，5 000，8 000 時(shí)的流場密度云圖和對應(yīng)的Walsh 基函數(shù)配置情況Fig.8 Density counters and corresponding Walsh basis function distributions for the flow over NACA0012 airfoil at iterative step IT=1 500， 3 000， 5 000， 8 000

圖9 NACA0012 翼型繞流數(shù)值密度云圖Fig.9 Density counters of flow over NACA0012 airfoil

圖10 翼面壓力系數(shù)分布比較Fig.10 Comparison of pressure coefficient distributions

圖11 殘差收斂歷程比較Fig.11 Comparison of residual convergence histories

4 結(jié) 論

利用Walsh 基函數(shù)的數(shù)值特性，發(fā)展了一種對基函數(shù)數(shù)目進(jìn)行動態(tài)配置和調(diào)節(jié)的自適應(yīng)FVM-WBF 方法。采用若干數(shù)值算例，對該方法的分辨率和計(jì)算效率進(jìn)行了測試和驗(yàn)證。在自適應(yīng)計(jì)算過程中，該方法表現(xiàn)出如下特點(diǎn)和優(yōu)勢：

1）自適應(yīng)FVM-WBF 方法能根據(jù)流場結(jié)構(gòu)，動態(tài)增減和配置各個(gè)網(wǎng)格單元上的Walsh 基函數(shù)數(shù)目，僅在流動變量變化劇烈的局部區(qū)域配置足量的Walsh 基函數(shù)，從而有效避免了計(jì)算量的爆發(fā)式增長。

2）利用Walsh 基函數(shù)級數(shù)“伸縮”前后重疊項(xiàng)系數(shù)的繼承性，自適應(yīng)FVM-WBF 方法根據(jù)流場結(jié)構(gòu)增減網(wǎng)格單元內(nèi)的基函數(shù)數(shù)目時(shí)，僅涉及基函數(shù)系數(shù)的傳遞，不必引入額外的插值/重構(gòu)計(jì)算，具有靈活方便和計(jì)算量小的優(yōu)勢。

綜上所述，F(xiàn)VM-WBF 方法具備天然、便捷的自適應(yīng)潛能，能夠通過對Walsh 基函數(shù)數(shù)目的自適應(yīng)配置和動態(tài)調(diào)節(jié)達(dá)到對高分辨率和高計(jì)算效率平衡和兼顧的效果。

本文的自適應(yīng)工作主要針對結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上的無黏流動，后續(xù)工作中將繼續(xù)發(fā)展非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上的FVM-WBF 方法，并將該方法推廣至黏性流動問題的求解。