操禮林 王念康 李愛群

(1江蘇大學土木工程與力學學院, 鎮(zhèn)江 212013)

(2東南大學土木工程學院, 南京 211189)

(3北京建筑大學北京未來城市設(shè)計高精尖創(chuàng)新中心, 北京 100044)

隨著結(jié)構(gòu)逐漸向大跨、輕質(zhì)與低頻的方向發(fā)展,人群行走導致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生過度振動的問題不容忽視.評估結(jié)構(gòu)振動是否滿足舒適度要求時主要以加速度響應為指標,如需準確計算人群行走下的結(jié)構(gòu)加速度響應,則應建立合理的行人荷載模型[1].行人在正常行走過程中每步的步頻、步速與步長都具有隨機性的特點,且不同時刻行人荷載力大小不斷變化,故隨機人群荷載模型比較符合實際情況[2].研究行人在結(jié)構(gòu)上行走時需要考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用,若僅簡單地將行人荷載簡化為移動力,則忽略了相互作用力,會導致預測的結(jié)構(gòu)動力響應與真實的人致振動響應相差較大[3].

當結(jié)構(gòu)的振動加速度響應超過舒適度要求時,需要對結(jié)構(gòu)進行減振處理.目前,學者們主要采用安裝減振器的方法來降低結(jié)構(gòu)的振動幅度,其中減振器包括單個調(diào)諧質(zhì)量阻尼器 (TMD)或多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器 (MTMD).惠曉麗等[4]采用單個TMD對單人行走及人群同步行走下的大跨連廊進行減振,發(fā)現(xiàn)單個TMD系統(tǒng)能夠有效控制大跨連廊的人致過度振動.沈文愛等[5]以人行懸索橋為對象,設(shè)計MTMD系統(tǒng)參數(shù),對人致結(jié)構(gòu)振動進行控制,達到了理想的減振效果.由此表明,單個TMD與MTMD均具有良好的減振性能,MTMD在減振魯棒性方面優(yōu)于單個TMD[6-7].

目前,人致振動問題的研究已趨于成熟,而對于隨機行走人群與大跨樓蓋的耦合振動及考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用的MTMD參數(shù)優(yōu)化設(shè)計研究還有待開展.本文基于隨機人群行走荷載模型,推導了人群-大跨樓蓋-TMD耦合動力方程,開展了隨機人群行走下大跨樓蓋動力特性參數(shù)及加速度響應的不確定性研究,建立了基于人-結(jié)構(gòu)相互作用的大跨樓蓋MTMD減振優(yōu)化設(shè)計方法,并通過數(shù)值計算對比了單個TMD與優(yōu)化MTMD的減振效果.

1 人群-大跨樓蓋-TMD耦合方程

1.1 隨機人群行走荷載模型

針對人行過程中步行參數(shù)隨機性的特點,將行人行走過程等效為有限段步長的疊加.參考文獻[8],建立行人步頻與步速的關(guān)系式為

(1)

(2)

(3)

根據(jù)文獻[9]中提出的與步速相關(guān)的單人行走荷載模型,可得行人i第k步的步行力荷載為

(4)

(5)

根據(jù)疊加原理,可將隨機人群行走荷載表示為

(6)

式中,Si為行人i走完全程的步數(shù);r為行走總?cè)藬?shù).

1.2 動力方程

當人群在大跨樓蓋上行走時,結(jié)構(gòu)會出現(xiàn)過度振動,從而影響行人正常行走,因此需要對結(jié)構(gòu)進行振動控制.圖1為附加TMD減振系統(tǒng)的大跨樓蓋示意圖.圖中,kTMD、cTMD分別為TMD減振系統(tǒng)的剛度和阻尼;a、b分別為大跨樓蓋長度和寬度.

圖1 附加TMD減振系統(tǒng)的大跨樓蓋示意圖

(7)

行人i的位移函數(shù)為zp,i(xi,yi,t),行人與樓蓋一直保持接觸,且板上的外部激勵全部由行人行走引起.大跨樓蓋的彎曲振動方程為

(8)

將廣義質(zhì)量歸一化,模態(tài)函數(shù)正則化可得

(9)

式(8)可轉(zhuǎn)化為

(10)

式中,f(x,y,t)為大跨樓蓋所受外荷載.

分析人群行走對大跨樓蓋的影響,需要考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用,故本文采用人體質(zhì)量-剛度-阻尼(MSD)模型,同時將TMD減振系統(tǒng)簡化為質(zhì)量-剛度-阻尼模型.假設(shè)大跨樓蓋上包含若干個TMD減振系統(tǒng),則減振系統(tǒng)j的位移函數(shù)為zd,j(xd,j,yd,j,t).當行人行走在包含附加TMD減振系統(tǒng)的大跨樓蓋上時,人體與減振系統(tǒng)的動力平衡方程分別為

式中,mp,i、cp,i、kp,i分別為行人i的人體模態(tài)質(zhì)量、阻尼和剛度;md,j、cd,j與kd,j分別為TMD減振系統(tǒng)j的質(zhì)量、阻尼和剛度.

采用振型分解法,式(11)和(12)可分別轉(zhuǎn)化為

(13)

(14)

由于大跨樓蓋上附加了TMD減振系統(tǒng),故樓蓋所受的激振力由行人激振力和TMD減振系統(tǒng)引起的激振力2個部分組成,即

f(x,y,t)=fp(t)+fd(t)

(15)

(16)

(17)

式中,Fp,i(t)為行人i的行走激振力;Fd,j(t)為TMD減振系統(tǒng)j阻尼器激振力;s為TMD總個數(shù).

(18)

聯(lián)立式(13)、(14)、(18),可得人群-大跨樓蓋-TMD耦合動力學方程為

(19)

式中

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

C11=diag(2ζlωl)l=1,2,3,…,N

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

q={q1,q2,…,qN,qp,1,qp,2,…,qp,r,qd,1,qd,2,…,qd,s}

(31)

(32)

針對上述非比例阻尼時變微分方程,利用狀態(tài)空間法求解時變系統(tǒng)的模態(tài)特性,并采用變步長四階五級龍格庫塔法求解其動力響應.

2 隨機人群行走下大跨樓蓋振動響應分析

2.1 算例參數(shù)

對于某大跨鋼-混凝土樓蓋[11],a=9.144 m,b=9.144 m,h=0.222 m,ρ=2 322.9 kg/m3,泊松比為0.2,結(jié)構(gòu)基頻為4.98 Hz,前3階阻尼比ζ取為1%,將此樓蓋等效為四邊簡支的正交各向異性板.

人群行走路徑如圖2所示,共5條路徑,行走路徑長度均為樓蓋寬度a.行走人數(shù)為r,每條路徑各分配r/5人.行人初始進入結(jié)構(gòu)的時間間隔為1 s,各路徑行人同時出發(fā),并依次排隊行走,直至最后一人走完全程.由文獻[12]可知,不同密度人群的步頻服從正態(tài)分布.表1為不同行走人數(shù)對應的步頻均值及標準差.

圖2 人群行走路徑

表1 不同行走人數(shù)下步頻均值及標準差

人體質(zhì)量服從對數(shù)正態(tài)分布N(73.85,15.682)kg[13].根據(jù)文獻[14]中行人動力學參數(shù)與步頻的關(guān)系式,確定行人MSD模型的模態(tài)質(zhì)量mp,i、剛度kp,i、阻尼cp,i分別為

(33)

式中,Mp,i為行人i的實際質(zhì)量;fp,i為行人i的步頻.

2.2 結(jié)構(gòu)動力特性參數(shù)分析

為研究隨機人群行走下大跨樓蓋動力特性參數(shù)的變化規(guī)律,對不同模態(tài)質(zhì)量的大跨樓蓋在隨機人群行走下的動力特性參數(shù)峰值進行100次計算.其中,簡支板模態(tài)質(zhì)量為物理質(zhì)量的1/4[15].假定結(jié)構(gòu)基頻與阻尼比恒定,模態(tài)質(zhì)量分別取8 780、9 780、10 780、11 780、12 780 kg.

受行走參數(shù)隨機性影響,每次計算結(jié)果均存在差異.因此,為研究隨機行走人群對樓蓋動力特性參數(shù)的影響,分別取100次計算的一階瞬時阻尼比峰值的統(tǒng)計均值ζ1,in與一階瞬時頻率峰值的統(tǒng)計均值f1,in進行分析,結(jié)果見圖3.圖中,Dn為行走人數(shù).

(a) 一階瞬時阻尼比峰值

(b) 一階瞬時頻率峰值

由圖3(a)可知,與大跨樓蓋初始阻尼比1%相比,隨機人群行走下的結(jié)構(gòu)阻尼比變化較為明顯.隨著行走人數(shù)的增多,大跨樓蓋一階瞬時阻尼比逐漸升高.對于模態(tài)質(zhì)量為12 780 kg的大跨樓蓋,行走人數(shù)為10時,大跨樓蓋瞬時阻尼比峰值均值達到1.60%,較空載時增大60%,說明隨機人群與結(jié)構(gòu)耦合作用明顯.對于模態(tài)質(zhì)量為11 780 kg的大跨樓蓋,當行走人數(shù)為10時,大跨樓蓋瞬時阻尼比峰值均值達到1.67%.大跨樓蓋模態(tài)質(zhì)量為10 780、9 780、8 780 kg時,10人隨機行走下的結(jié)構(gòu)瞬時阻尼比峰值均值分別上升至1.75%、1.84%、1.96%.由此可見,隨著模態(tài)質(zhì)量的減小,相同行走人數(shù)下大跨樓蓋一階瞬時阻尼比會逐漸升高.

由圖3(b)可知,隨著行走人數(shù)的增多,大跨樓蓋一階瞬時頻率逐漸降低.對于模態(tài)質(zhì)量為8 780 kg的大跨樓蓋,當行走人數(shù)為80時,大跨樓蓋瞬時頻率峰值均值下降至4.953 5 Hz,人群-結(jié)構(gòu)耦合作用明顯.同時,對比分析模態(tài)質(zhì)量為9 780～12 780 kg的樓蓋瞬時頻率峰值均值可知,隨著結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量的減小,相同行走人數(shù)下大跨樓蓋一階瞬時頻率逐漸降低,且降幅逐漸增大.

2.3 結(jié)構(gòu)加速度響應分析

為進一步研究大跨樓蓋在隨機人群行走下加速度響應的變化規(guī)律,取樓蓋中心位置的豎向加速度進行分析,對不同模態(tài)質(zhì)量的大跨樓蓋在隨機人群行走下的加速度響應峰值進行100次計算,結(jié)果見圖4.圖中,a1,in與a1s,in分別為瞬時加速度響應峰值的統(tǒng)計均值與1 s均方根加速度響應峰值的統(tǒng)計均值.

(a) 瞬時加速度響應峰值

(b) 1 s均方根加速度響應峰值

由圖4可知,當大跨樓蓋模態(tài)質(zhì)量為8 780 kg,行走人數(shù)從10遞增到60時,大跨樓蓋的加速度響應逐漸增加.行走人數(shù)為60時,樓蓋加速度響應峰值均值達到最大值,其中瞬時加速度響應峰值均值為0.669 m/s2,均方根加速度響應峰值均值為0.347 m/s2.但隨著行走人數(shù)的持續(xù)增加,大跨樓蓋的加速度響應反而降低;這是因為隨著人流密度的增大,高密度人群之間出現(xiàn)擁擠現(xiàn)象,個體步頻與步速有所下降,從而導致結(jié)構(gòu)振動響應降低.對比分析模態(tài)質(zhì)量為9 780～12 780 kg的樓蓋加速度響應峰值均值可以發(fā)現(xiàn),隨著結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量的減小,相同行走人數(shù)下大跨樓蓋的加速度響應逐漸增大.

3 大跨樓蓋MTMD減振優(yōu)化設(shè)計

3.1 MTMD減振優(yōu)化方法

針對人群行走下大跨樓蓋過度振動的問題進行減振設(shè)計.由于單個TMD具有調(diào)頻范圍窄、控制效果不穩(wěn)定等缺陷,因此采用減振魯棒性更強的MTMD減振系統(tǒng).為了提高計算效率,本文的MTMD系統(tǒng)只設(shè)置了3個子TMD(見圖5).3個子TMD以0.5 m的間隔沿x方向布置,其中TMD2安裝在樓蓋中心位置.

圖5 大跨樓蓋MTMD安裝位置示意圖

假設(shè)MTMD系統(tǒng)的平均頻率與結(jié)構(gòu)基頻相同.第j個子TMD的頻率為[16]

(34)

式中,ft為MTMD系統(tǒng)的平均頻率;s1為子TMD個數(shù);β為MTMD系統(tǒng)的頻率間隔.

第j個子TMD的剛度與阻尼分別為

kd,j=(2πfd,j)2md,j

(35)

cd,j=2×(2πfd,j)md,jζopt,j

(36)

式中,md,j、ζopt,j分別為第j個子TMD的質(zhì)量和阻尼比.

將樓蓋基頻不小于4 Hz、豎向峰值加速度不大于0.15 m/s2作為判斷本文樓蓋是否滿足振動舒適度要求的標準[17].本文樓蓋基頻4.98 Hz已滿足限值要求,為降低結(jié)構(gòu)的加速度響應,使其滿足舒適度要求,基于人群-大跨樓蓋-TMD耦合動力方程,設(shè)計考慮人-結(jié)構(gòu)相互作用的MTMD減振優(yōu)化方法,主要包括以下2個方面:

1) 控制MTMD系統(tǒng)的經(jīng)濟性,設(shè)置系統(tǒng)總質(zhì)量比μ=0.01,且使每個子TMD的質(zhì)量和阻尼比均相等.

2) 控制頻率間隔和子TMD阻尼比在限值范圍內(nèi),采用遺傳算法中的單目標優(yōu)化算法,得到結(jié)構(gòu)響應達到舒適度要求時每個子TMD的最優(yōu)剛度和最優(yōu)阻尼.

設(shè)計公式如下:

(37)

式中,Md為大跨樓蓋質(zhì)量;βmin和βmax分別為頻率間隔的下限值和上限值,此處分別取為0.01和0.5;ζopt為TMD阻尼比;ζopt,min和ζopt,max分別為子TMD阻尼比的下限值和上限值,此處分別取為0.02和0.2.

3.2 人群行走下的結(jié)構(gòu)減振分析

采用本文提出的MTMD減振設(shè)計方法,對人群行走下的大跨樓蓋進行減振.選取40、60、80人行走下的工況進行減振分析,得到人群同步行走和隨機行走下結(jié)構(gòu)中心減振前后的加速度響應曲線(見圖6).人群同步行走步頻為1.66 Hz,即大跨樓蓋基頻4.98 Hz的1/3倍頻.圖中同時給出了采用單個TMD減振后的結(jié)果.單個TMD的參數(shù)根據(jù)文獻[18]中的最優(yōu)取值方法確定,即

(38)

fd=fopt+f

(39)

(40)

式中,fopt為最優(yōu)TMD參數(shù)設(shè)計頻率比;μs為TMD與結(jié)構(gòu)質(zhì)量比;fd為TMD系統(tǒng)的基頻;f為大跨樓蓋基頻;ζopts為最優(yōu)TMD參數(shù)設(shè)計阻尼比.

由圖6可知,采用優(yōu)化MTMD對大跨樓蓋進行減振的效果顯著.表2給出了各工況下結(jié)構(gòu)中心減振前后的峰值加速度及提升率.由表可知,各工況下采用MTMD設(shè)計方法減振后的結(jié)果均達到樓蓋舒適度要求,且與單個TMD相比,優(yōu)化MTMD的減振效果提升明顯,最大提升率為46.36%.究其原因在于,大跨樓蓋結(jié)構(gòu)具有多組豎向振型,單個TMD僅能控制其中某一振型,而優(yōu)化MTMD系統(tǒng)則能針對結(jié)構(gòu)的數(shù)組振型進行控制.

(a) 40人同步

(b) 60人同步

(c) 80人同步

(d) 40人隨機

(e) 60人隨機

(f) 80人隨機圖6 結(jié)構(gòu)中心減振前后加速度響應

表2 不同行走人數(shù)下結(jié)構(gòu)減振前后峰值加速度

4 結(jié)論

1) 基于隨機人群行走荷載模型建立的人群-大跨樓蓋-TMD耦合動力學方程可以較好地反映人-結(jié)構(gòu)相互作用與行人隨機性.

2) 大跨樓蓋上行走人數(shù)越多、模態(tài)質(zhì)量越小,大跨樓蓋的一階瞬時阻尼比升高幅度越大,一階瞬時頻率降低幅度也越大.隨著行走人數(shù)的增多,大跨樓蓋加速度響應先增大后減小,行走人數(shù)為60時結(jié)構(gòu)加速度響應達到最大值.相同行走人數(shù)下,模態(tài)質(zhì)量越小,結(jié)構(gòu)加速度響應越大.

3) 基于人-結(jié)構(gòu)相互作用,建立了大跨樓蓋MTMD減振優(yōu)化設(shè)計方法.人群同步行走下與隨機行走下大跨樓蓋減振后的加速度響應均能達到樓蓋舒適度要求,且優(yōu)化MTMD的減振效果較單個TMD提升明顯,最大提升率為46.36%.