楊彥明

平面向量最值問題通常要求根據(jù)給出的條件，求向量的模的最小值、數(shù)量積的最大值、夾角的最值等．解答此類問題，需要根據(jù)已知條件和向量知識，求得目標式，然后把問題轉化為函數(shù)問題、幾何最值問題，與此同時，由于平面向量具有“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以在解題時要靈活運用數(shù)形結合思想，那么求解這類問題有哪些途徑呢？下面舉例說明．

一、根據(jù)三角函數(shù)的有界性

對于一些與向量的數(shù)量積、夾角、模有關的最值問題，通?？筛鶕?jù)向量的數(shù)量積公式，通過向量運算求得目標式．此時目標式為關于某個夾角的三角函數(shù)式，那么就可以將問題看作三角函數(shù)最值問題，通過三角恒等變換化簡目標式，便可利用三角函數(shù)的有界性求得最值．在利用三角函數(shù)的有界性求最值時，要明確夾角的取值范圍，熟悉并靈活運用正弦、余弦、正切函數(shù)的單調性和有界性．

根據(jù)三角形和圓的性質、向量的數(shù)量積公式求得目標式，將所求目標轉化為有關∠AOC的三角函數(shù)式；然后確定∠AOC的取值范圍，即可根據(jù)余弦函數(shù)的有界性確定目標式的最值．

二、利用平面幾何圖形的性質

對于與圖形有關的平面向量問題，通常可先根據(jù)向量的幾何意義畫出幾何圖形，并確定向量所表示的點的軌跡；然后分析圖形中點、線、圖形之間的位置關系，利用平面幾何圖形的性質求最值，

我們先根據(jù)矩形的特征建立平面直角坐標系；然后設P點的坐標，求得各個向量的坐標以及麗+tDE、PE+（t - 1）DE的表達式，即可根據(jù)其幾何意義，將求|麗+DE+|PE+（t -1）DE的最小值轉化為求點H（3 - 2t，2一2t）到G（2，2）、P（x，y）的距離之和的最小值；最后根據(jù)矩形和圓的對稱性，確定日的位置，即可求得最小值，

根據(jù)題意和向量的幾何意義作山幾何圖形，便可根據(jù)平面向量的基本定理以及正弦定理，確定ICI取得最大值的情形：O，M，G，C四點共線，即可利用數(shù)形結合思想求得最值．

三、利用二次函數(shù)的性質

在求解向量的最值問題時，可根據(jù)題意選取合適的基底，將目標式用基底表示出來，建立關于參數(shù)的關系式；也可根據(jù)題意建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，通過平面向量的坐標運算，求得各點的坐標、向量的坐標以及目標式．最后將問題轉化為函數(shù)最值問題，利用二次函數(shù)的性質來求最值，由于∠BAD=60°，AB=6，所以以向量AB，AD為基底，根據(jù)平面向量的線性運算法則和數(shù)量積公式，求AN·MN的表達式，最終將問題轉化為二次函數(shù)的最值問題．通過配方，根據(jù)二次函數(shù)的單調性即可求得目標式的最值．

由此可見，求解平面向量最值問題，關鍵是運用轉化思想和數(shù)形結合思想，通過平面直角坐標系、平面向量的坐標運算法則、平面向量基本定理、向量的幾何意義，根據(jù)目標式的結構特征，將原問題轉化為三角函數(shù)、平面幾何、二次函數(shù)最值問題．