廣東省深圳市寶安區(qū)航城學(xué)校(518101) 張雨桐

1 引言

蘇聯(lián)教育心理學(xué)家列夫·維果茨基(Lev S.Vygotsky)認(rèn)為,不論處于哪個(gè)發(fā)展點(diǎn),兒童都會(huì)遇到一些看似不太難,但總處在自己解決能力的邊緣上限的問題.為此,他將兒童的發(fā)展水平界定為兩種: 一種是獨(dú)立解決問題時(shí)所表現(xiàn)的現(xiàn)有發(fā)展水平;一種是在成人的引導(dǎo)或更有能力的同伴的協(xié)助下,解決問題時(shí)所能達(dá)到的水平,兩者之間的差距就是最近發(fā)展區(qū),隨著兒童的不斷發(fā)展,最近發(fā)展區(qū)是一個(gè)不斷變化的動(dòng)態(tài)區(qū)域.從教育的角度上看,最近發(fā)展區(qū)是介于學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)的和學(xué)生不可能學(xué)會(huì)的教學(xué)區(qū)域,在這個(gè)區(qū)域內(nèi)進(jìn)行的教學(xué)是令人興奮、具有挑戰(zhàn)性的,所以最近發(fā)展區(qū)又稱為“魔法中心”[1].

“角的比較與運(yùn)算”源自人教版七年級(jí)上冊(cè)第四章第3節(jié),在角的定義和角度制的基礎(chǔ)上,通過類比線段的研究思路,對(duì)角的比較、角的和與差、角平分線等內(nèi)容進(jìn)行研究.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011 版)對(duì)本節(jié)內(nèi)容的要求是: 理解角的概念,能比較角的大小;認(rèn)識(shí)度、分、秒,會(huì)對(duì)度、分、秒進(jìn)行簡(jiǎn)單的換算,并會(huì)計(jì)算角的和、差[2].對(duì)學(xué)生來說,從研究思路的角度看,“線段的比較與運(yùn)算”屬于可以獨(dú)立解決的問題,而“角的比較與運(yùn)算”屬于需要成人的引導(dǎo)或更有能力的同伴的協(xié)助下才能解決的問題;從已有的認(rèn)知基礎(chǔ)看,時(shí)鐘的時(shí)、分、秒之間的換算是學(xué)生已經(jīng)掌握的內(nèi)容,而角度制的度、分、秒之間的換算是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn),因此,如何將線段的研究思路遷移到學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容、利用時(shí)鐘的時(shí)、分、秒來突破角度制的運(yùn)算上的難點(diǎn),都需要教師在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)這個(gè)區(qū)域內(nèi)組織教學(xué).基于以上要求,確定本節(jié)課基于最近發(fā)展區(qū)視角的教學(xué)設(shè)計(jì).

1.1 授課課題《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)(人教版)第四章幾何圖形初步4.3.2 角的比較與運(yùn)算,第一課時(shí).

1.2 教材分析本節(jié)課是人教版七年級(jí)上冊(cè)第四章第3節(jié)第二課時(shí)的內(nèi)容,主要內(nèi)容是: 角的比較、角的和與差、角的平分線.角是平面幾何的基本圖形,所以本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是本章重要的基礎(chǔ)知識(shí).學(xué)生在學(xué)習(xí)角的基本概念和角度制的基礎(chǔ)上,通過類比線段的研究方法,學(xué)習(xí)角的比較與運(yùn)算,同時(shí)為下一節(jié)余角和補(bǔ)角的內(nèi)容進(jìn)行思想上的鋪墊,從而為后續(xù)的學(xué)習(xí)圖形與幾何打下必備的知識(shí)基礎(chǔ),因此本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容具有承上啟下的作用.

1.3 學(xué)情分析七年級(jí)的學(xué)生思維活躍,模仿能力強(qiáng),善于動(dòng)手操作,但是運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)抽象能力不強(qiáng).在此之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了角的基本概念、角的度量以及直線、線段、射線的相關(guān)概念及其性質(zhì),對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容具有知識(shí)和數(shù)學(xué)思想上的儲(chǔ)備,因此學(xué)生經(jīng)歷過線段的相關(guān)性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程,通過類比的方法,學(xué)生對(duì)角的大小比較、角平分線的學(xué)習(xí)方法和內(nèi)容不會(huì)有太大的困難.但是,由于學(xué)生的運(yùn)算能力一般,再加上角的度量采用的是60 進(jìn)制,所以學(xué)生在計(jì)算角的和與差過程中存在障礙;同時(shí)受數(shù)學(xué)抽象能力的限制,學(xué)生對(duì)圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化也會(huì)存在一定的困難.

1.4 教學(xué)目標(biāo)

1.4.1 知識(shí)技能

運(yùn)用類比方法,學(xué)會(huì)比較角的大小,分析兩個(gè)角的和與差并進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算,認(rèn)識(shí)角的平分線及三等分線.

1.4.2 數(shù)學(xué)思考

經(jīng)歷從定性到定量,從一般到特殊的問題探究過程,培養(yǎng)思維的連貫性和整體性.

1.4.3 問題解決

通過度量法和疊合法比較角的大小,用折紙法確定角平分線.

1.4.4 情感態(tài)度

培養(yǎng)動(dòng)手操作能力、識(shí)圖能力和幾何語(yǔ)言的表達(dá)能力,體會(huì)類比和數(shù)形結(jié)合思想.在自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、小組交流的數(shù)學(xué)活動(dòng)中積極思考,獲得成功的體驗(yàn),激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.

1.5 教學(xué)重點(diǎn)

角的大小、角的和與差、角平分線的意義及數(shù)量關(guān)系.

1.6 教學(xué)難點(diǎn)

角的運(yùn)算(角度制的換算).

1.7 教學(xué)關(guān)鍵

在角的運(yùn)算過程中,度、分、秒之間的換算采用的是60進(jìn)制,與我們?nèi)粘Ｊ褂玫?0 進(jìn)制不同,所以學(xué)生在進(jìn)制的轉(zhuǎn)變過程中會(huì)覺得不習(xí)慣甚至很困難,但是學(xué)生在小學(xué)的時(shí)候就已經(jīng)學(xué)習(xí)過時(shí)鐘上的時(shí)、分、秒之間的換算,具有60 進(jìn)制換算的基礎(chǔ),因此在教學(xué)過程中多引導(dǎo)學(xué)生類比時(shí)鐘的時(shí)、分、秒之間的換算,從而突破本節(jié)課的難點(diǎn).

1.8 教學(xué)策略

1.8.1 教法

講授法、討論法、演示法

1.8.2 學(xué)法

動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流

1.9 教學(xué)工具

三角板、量角器、三角形紙片(2 個(gè))、ppt、投影儀

2 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

2.1 回顧引入

教學(xué)過程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖1、角是怎樣的圖形?2、除了角的定義,上節(jié)課還學(xué)習(xí)了角的什么內(nèi)容?3、前面我們學(xué)習(xí)的直線、射線和線段這些幾何圖形中,哪個(gè)也是可以度量的?4、根據(jù)前面線段的學(xué)習(xí)內(nèi)容,請(qǐng)同學(xué)們猜測(cè)一下,本節(jié)課要研究角的哪些內(nèi)容?通過提問讓學(xué)生回顧角的兩種定義.學(xué)生回答出角的兩個(gè)定義過程中,教師在黑板上展示兩個(gè)角度不同的角.通過師生問答,讓學(xué)生在回顧過程中發(fā)現(xiàn)角和線段都是可以度量的,鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容.總結(jié)學(xué)生的猜想,引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容: 角的比較與運(yùn)算.回答角的兩種定義.回答角度制和線段有長(zhǎng)短.對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行猜測(cè).對(duì)上節(jié)課角的定義進(jìn)行回顧.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)角和線段都是可以度量的,為本節(jié)課類比線段的研究方法做鋪墊.

2.2 探索新知——角的比較

教學(xué)過程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖1、思考: 如何比較角的大小?images/BZ_10_411_1792_750_2002.png(預(yù)備知識(shí): 復(fù)習(xí)線段大小的比較方法.如圖,已知線段AB、CD,你有哪些辦法比較它們的大小?images/BZ_10_411_2160_780_2236.png(1)度量法(2)疊合法)注: 如果授課學(xué)生能自行通過類比線段的比較來研究角的比較方法,則教師無需帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)線段的比較方法,只需要在學(xué)生展示的時(shí)候提問學(xué)生是如何想到這些比較方法的,即可.在黑板上放置兩個(gè)三角形紙板,讓學(xué)生思考比較角的大小的方法.給出具體的兩個(gè)線段,引導(dǎo)學(xué)生回顧比較線段大小的兩種方法.如果學(xué)生沒能想到角的兩種比較方法,就先回顧線段的兩個(gè)比較方法.拿出事先準(zhǔn)備的兩個(gè)三角形紙板,分別在兩個(gè)紙板上選定一個(gè)角并標(biāo)記,思考比較兩個(gè)角的方法.先獨(dú)立思考,再與同伴交流想法.回顧比較線段大小的兩種方法.在小組合作之前要求學(xué)生先獨(dú)立思考,培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力,為接下來的小組合作做好發(fā)言和參與的準(zhǔn)備.通過回顧線段的比較方法,引導(dǎo)學(xué)生將比較線段大小的思路遷移到比較角的大小的學(xué)習(xí)過程中.2、角的比較方法方法1: 度量法images/BZ_10_411_2683_847_2891.png方法2: 疊合法(1)使兩個(gè)角的頂點(diǎn)及一邊重合;(2)兩個(gè)角的另一邊落在重合一邊的同側(cè);(3)由兩個(gè)角的另一邊的位置確定兩個(gè)角的大小.巡堂觀察學(xué)生之間的交流,傾聽學(xué)生描述比較方法.交流時(shí)間到了之后請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)演示比較角的大小的方法.總結(jié)學(xué)生的方法,并用課件演示,梳理每種方法的步驟和補(bǔ)充細(xì)節(jié).在課件上將兩個(gè)疊合后,組成一個(gè)新的圖形,比較各個(gè)角的大小關(guān)系.上臺(tái)演示角的比較方法,并說明理由.口頭回答各個(gè)角之間的大小關(guān)系.學(xué)生上臺(tái)演示比較方法,提高學(xué)生課堂參與的積極性,同時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在比較過程中不夠規(guī)范之處,及時(shí)糾正.通過練習(xí),鞏固角的比較方法,同時(shí)為接下來角的和與差進(jìn)行鋪墊.

2.3 探索新知——角的和與差

教學(xué)過程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖1、思考: 它們之間有什么等量關(guān)系?images/BZ_11_423_1193_795_1474.png(1)∠AOC 是∠AOB 與∠BOC 的先從圖形中找出三個(gè)角之間的等量關(guān)系,再完成學(xué)案上的相應(yīng)內(nèi)容.,記作∠AOC=引導(dǎo)學(xué)生思考,這三個(gè)角除了可以比較大小,它們的度數(shù)之間是否有等量關(guān)系?要求學(xué)生獨(dú)立完成學(xué)案上的相應(yīng)內(nèi)容.;角的比較是角的不等關(guān)系;角的和與差是角的等量關(guān)系的.從定性分析到定量分析的過程,幫助學(xué)生理清知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系.(2)∠AOB 是∠AOC 與∠BOC 的,記作: ∠AOB=;類似地∠BOC=.2、典題精析:images/BZ_11_423_1775_783_2026.png例1.如圖,O 是直線AB 上一點(diǎn),∠AOC=53°17′,求∠BOC 的度數(shù).分析: ∠AOB 是平角,∠BOC=∠AOB-∠AOC.解: 由題意可知,∠AOB 是平角,所以∠AOB=180°.所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-53°17′=126°43′.注: 關(guān)鍵在于“180°=179°60′”的轉(zhuǎn)化.變式.如圖,O 是直線AB 上一點(diǎn),∠AOC=57°13′,求∠BOC 的度數(shù).解: 由題意可知,∠AOB 是平角,所以∠AOB=180°.所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-57°13′=122°47′.審題: 根據(jù)題意把已知角的度數(shù)在圖中進(jìn)行標(biāo)記.提問學(xué)生解題思路,鼓勵(lì)學(xué)生說出運(yùn)算思路,再?gòu)膶W(xué)生的多種解題方法中選取最優(yōu)運(yùn)算方法.板書解題過程.詳細(xì)講解角度制的換算在相減過程中的運(yùn)用.簡(jiǎn)單變式,要求學(xué)生進(jìn)行計(jì)算,用課件演示求解過程.緊跟老師的審題思路,提出自己的運(yùn)算方法.體會(huì)角度制在加減過程中的換算,體會(huì)簡(jiǎn)便算法,注意書寫格式的規(guī)范性.自行動(dòng)筆計(jì)算,參考板書的計(jì)算過程.突破課堂難點(diǎn): 角度制的換算在加減運(yùn)算中的應(yīng)用.3、活動(dòng)探究:(1)利用一副三角板,畫出15° 和75° 的角.你還能畫出哪些度數(shù)的角?images/BZ_11_423_2807_841_3080.png在學(xué)案上畫出15° 和75° 的角.參與小組討論,共同畫出其他度數(shù)的角.觀察這些角的度數(shù)的共同點(diǎn).通過用一副三角尺畫出一些特殊角,復(fù)習(xí)鞏固角的和與差的概念,使學(xué)生對(duì)這些特殊角的大小有直觀認(rèn)識(shí),培養(yǎng)對(duì)角的大小的估計(jì)能力,發(fā)展空間觀念.(2)這些角的度數(shù)有什么共同點(diǎn)?都是15 的倍數(shù).要求學(xué)生先了解三角板各個(gè)角的度數(shù),再嘗試擺出15° 和75°的角,并在學(xué)案上畫出來.3 分鐘后請(qǐng)學(xué)生投影學(xué)案并進(jìn)行解釋.隨后再追問是否還能擺出其他角,組織學(xué)生進(jìn)行小組討論.3 分鐘后由小組代表匯報(bào)討論結(jié)果,并引導(dǎo)學(xué)生探究這些特殊角的度數(shù)的共同點(diǎn).

2.4 探索新知——角平分線

教學(xué)過程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖1、情景引入: 老師這里有一塊蛋糕,打算獎(jiǎng)勵(lì)給小明和小紅兩位同學(xué),應(yīng)該怎么切這塊蛋糕,才能公平地分配給兩位同學(xué)?2、思考: 類似線段的中點(diǎn),給角平分線下定義.images/BZ_12_396_758_766_1025.png通過折紙活動(dòng)找到角平分線,完成的同學(xué)進(jìn)行展示,并說明操作方法.根據(jù)角平分線的特征嘗試給角平分線下定義.通過動(dòng)手操作歸納角平分線的概念,并用符號(hào)語(yǔ)言表示,體會(huì)角的倍分關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)圖形的能力,發(fā)展類比思想.角平分線: 從角的頂點(diǎn)出發(fā),把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線,叫做這個(gè)角的平分線.符號(hào)表示: ∵OB 是∠AOC 的角平分線(OB平分∠AOC)∴∠AOB=∠BOC=1用三角形紙板代替蛋糕,折紙代替切蛋糕,通過實(shí)際生活中的例子引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)角平分線的作用.通過類比的思想,鼓勵(lì)學(xué)生通過折紙活動(dòng)發(fā)現(xiàn)角平分線,并結(jié)合圖形讓學(xué)生嘗試給角平分線下定義.2∠AOC例2.如圖,O 是直線AB 上一點(diǎn),OC 是∠AOB 的平分線,∠COD=31°28′,求∠AOD 的度數(shù).images/BZ_12_396_1386_816_1745.png解讀題意,課件展示解題過程.詳細(xì)講解角度制的換算在相減過程中的運(yùn)用.自行動(dòng)筆計(jì)算,參考例1 板書的計(jì)算過程.突破課堂難點(diǎn): 角度制的換算在加減運(yùn)算中的應(yīng)用.解: 因?yàn)镺C 平分∠AOB,∠AOB 是平角,所以∠AOC=∠AOB=90°,所以∠AOD=∠AOC-∠COD=90°-31°28′=58°32′.1、拓展: 類似地,還有角的三等分線等······OB、OC 是∠AOD 的三等分線.能否折出三等分線?images/BZ_12_396_2047_768_2382.png在角平分線的知識(shí)基礎(chǔ)上,提問學(xué)生是否還能找到其他的特殊情形,課件演示角的三等分線.通過提問能否對(duì)折出三等分線,指出三等分角是古希臘三大幾何問題之一.口頭回答角的三等分線等情況.課堂滲透數(shù)學(xué)文化,提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

2.5 小結(jié)提升

教學(xué)過程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖1、角的比較: 度量法、疊合法2、角的運(yùn)算: 度與度、分與分、秒與秒相加、減;分秒相加時(shí)逢60 要進(jìn)位,相減時(shí)借1 作60.先給學(xué)生2-3 分鐘的時(shí)間進(jìn)行梳理并補(bǔ)充學(xué)案,然后讓學(xué)生說一下本節(jié)課的主要知識(shí)點(diǎn),課件展示“角的比較”的兩種方法和角的運(yùn)算過程中單位的換算.補(bǔ)充學(xué)案,梳理知識(shí)點(diǎn),自行小結(jié).留給學(xué)生梳理知識(shí)點(diǎn)和回顧本節(jié)課的時(shí)間.

3 板書設(shè)計(jì)

4.3.2 角的比較與運(yùn)算一、角的比較images/BZ_13_397_1877_766_2086.png三、角平分線∵OB 是∠AOC 的平分線(OB 平分∠AOC)∴∠AOB=∠BOC=1二、角的和與差例1.解: 由題意可知,∠AOB 是平角,所以∠AOB=180°.所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-53°17′=126°43′.注: 關(guān)鍵在于“180°=179°60′”的轉(zhuǎn)化.2∠AO C.1、度量法2、疊合法images/BZ_13_1557_1942_1929_2226.png

4 教學(xué)反思

4.1 基于最近發(fā)展區(qū)的課前引入

從教育的角度上看,最近發(fā)展區(qū)是介于學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)的和學(xué)生不可能學(xué)會(huì)的教學(xué)區(qū)域,在這個(gè)區(qū)域內(nèi)進(jìn)行的教學(xué)是令人興奮、具有挑戰(zhàn)性的,所以最近發(fā)展區(qū)又稱為“魔法中心”[1].在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前,角的比較與運(yùn)算是學(xué)生還沒學(xué)會(huì)的知識(shí),而線段的比較與運(yùn)算是學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)的知識(shí),同時(shí)在學(xué)習(xí)角之前,學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了直線、射線和線段等多種幾何圖形,所以如何讓學(xué)生自然地想到類比線段,而不是直線或射線,是本節(jié)課研究思路的關(guān)鍵.因此,本節(jié)課采用的是復(fù)習(xí)引入的方式,在回顧知識(shí)點(diǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)角和線段都是可以度量的,而直線和射線不可度量,引導(dǎo)學(xué)生想到角和線段的研究思路是可以互相借鑒的.

4.2 創(chuàng)設(shè)情境促進(jìn)學(xué)生向更高水平發(fā)展

探究角的比較方法的過程中,除了用量角器量出兩個(gè)角的度數(shù),學(xué)生還可以通過平移兩個(gè)角,從形的角度找到角的比較的第二種方法: 疊合法,提高學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力;在角平分線的教學(xué)中,通過生活中的實(shí)際例子,讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中體會(huì)到角平分線的特殊性,增強(qiáng)學(xué)生對(duì)角平分線的認(rèn)識(shí).因此,在探究新知的過程中,把握學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手操作,能有效促進(jìn)學(xué)生攀登可能達(dá)到的發(fā)展水平.