內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(641100) 徐小琴

教材是教學(xué)實(shí)施的依據(jù),是教師教學(xué)的基本保障,也是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)、落實(shí)教育根本任務(wù)的指導(dǎo)文本.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:“數(shù)學(xué)教材為‘教’與‘學(xué)’活動(dòng)提供學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容,是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)重要的教學(xué)資源[1].”因此,科學(xué)使用教材、研究教材內(nèi)容、開(kāi)發(fā)教材資源是教育工作者的首要任務(wù).

隨著新一輪高中數(shù)學(xué)教材的改革,逐漸在落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)、體現(xiàn)核心素養(yǎng)、創(chuàng)新呈現(xiàn)方式、關(guān)注師生體驗(yàn)等方面進(jìn)行創(chuàng)新探索與實(shí)踐[2].高中數(shù)學(xué)教材的革新承載著新一輪課程改革的主旨,深化素質(zhì)教育內(nèi)涵,也是核心素養(yǎng)落地生根的又一次跨步.研究教材、開(kāi)發(fā)教材、理解教材、質(zhì)疑教材是對(duì)深化課程改革的基本尊重.著名特級(jí)教師于永正說(shuō):“這法,那法,不會(huì)鉆研教材就沒(méi)法[3]”.吳立寶等也提出:“教師應(yīng)從學(xué)科知識(shí)、學(xué)生學(xué)習(xí)、現(xiàn)實(shí)生活、評(píng)價(jià)、文化五個(gè)視角分析教材,對(duì)教材二次開(kāi)發(fā),增加教材的附加值[4]”.因此,鉆研教材、分析教材是教好數(shù)學(xué)的前提.

新版高中數(shù)學(xué)教材在數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合上比以往教材更加豐富,特別突出了優(yōu)秀的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化,對(duì)學(xué)生人文素養(yǎng)與創(chuàng)新精神的培養(yǎng)有著潛移默化的作用.新教材更是在教材設(shè)計(jì)的細(xì)節(jié)上增加美感,如教材中的圖片、圖形顏色活潑,對(duì)比度強(qiáng),色調(diào)偏暖,更加符合中學(xué)生心理需求,為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)增添生機(jī).

新教材的優(yōu)點(diǎn)和特色突出,我們?cè)谑褂媒滩臅r(shí)仍要從辯證的角度研讀教材、質(zhì)疑教材、重構(gòu)教材[5].通過(guò)對(duì)人教A 版選擇性必修教材的研讀,教材存在圖文不相符、圖形信息容量大、邏輯表述不科學(xué)、前后銜接不恰當(dāng)?shù)葐?wèn)題,有待慎思與求索.

1 圖文內(nèi)容不相符

案例1教材再現(xiàn)[6]: 如圖1,m,n是平面α內(nèi)的兩條相交直線.如果l⊥m,l⊥n,求證:l⊥α.

圖1

教材采用向量法進(jìn)行證明,首先在平面內(nèi)任意作一條直線g,再分別取直線上的一個(gè)非零向量,利用向量共面的充要條件,將平面中的一個(gè)向量用不共線的兩個(gè)向量進(jìn)行線性表示,將直線垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量垂直的關(guān)系,進(jìn)而得到直線垂直于平面任意直線,從而得到直線垂直于平面.

以上是直線與平面垂直的判定定理的證明過(guò)程,主要采用的向量法進(jìn)行證明.對(duì)此證明過(guò)程有以下幾個(gè)方面值得慎思.

慎思1: 任意一條直線g,則g不一定和直線m與n相交,更別說(shuō)直線g過(guò)直線m與n的交點(diǎn).因此,圖文表述不一致,圖中對(duì)任意直線g的表示缺乏一般性.

求索: 在平面α內(nèi)作任意一條直線g,應(yīng)避免過(guò)直線m與n的交點(diǎn)的特殊情況,這更能有效認(rèn)識(shí)任意性的概念.此時(shí)借助向量法在運(yùn)算方法、運(yùn)算量上并不會(huì)有變化,而給學(xué)生展示出直線與平面垂直的核心要素為“垂直于平面上兩條相交直線”.

慎思2: 直線與向量字母的取法缺乏區(qū)分度,容易混淆.

求索: 直線與向量取自同一字母,原本向量表示與字母表示就十分接近,僅字體差異,兩者在學(xué)生認(rèn)知上難以形成視覺(jué)差異,區(qū)分度低,容易造成直線與向量字母的混淆,有礙內(nèi)容的理解,根據(jù)人腦信息加工規(guī)律,在避免知識(shí)泛化的前提下,內(nèi)容表述的區(qū)分度高利于知識(shí)的分化.因此,在設(shè)計(jì)向量表示時(shí)可以引入符號(hào)h,i,j,k,這也是后期學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系中基向量的表示;亦可采用e,s,u,v,這是后續(xù)高等數(shù)學(xué)中直線方向向量的表示方法,這樣表示在知識(shí)的連續(xù)性上有較好的承接.

慎思3: 教材中該例的注釋為“該例即為直線與平面垂直的判定定理的證明過(guò)程.嘗試用綜合幾何方法證明這個(gè)定理,并比較兩種方法,你能從中體會(huì)到向量方法的優(yōu)越性嗎?”首次提出“綜合幾何法”的概念,在此處略顯突兀.

求索: 綜合幾何方法對(duì)于大多數(shù)的學(xué)生而言掌握困難.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),在幾何法與向量法都適用的情況下,選擇向量法的同學(xué)占到約80%的比例.因此,上述判定定理的證明采用綜合幾何法嚴(yán)重與“立德樹(shù)人、素質(zhì)教育”的教育方針相悖,不符合學(xué)生已有認(rèn)知水平,怎么體會(huì)向量的優(yōu)越性? 且向量法是否一定更加優(yōu)越呢? 構(gòu)造相似對(duì)這個(gè)問(wèn)題的解決同樣可行,且符合學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ).

2 圖形信息容量大

案例2教材再現(xiàn)[6]: 傾斜角與斜率一節(jié)對(duì)傾斜角的定義是這樣表述的: 當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),我們以x軸為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角(angle of inclination).圖2中直線l1的傾斜角α1為銳角,直線l′的傾斜角α′為鈍角.

圖2

慎思1: 圖2中的共有4條直線及符號(hào)表示,4 個(gè)傾斜角及符號(hào)表示,坐標(biāo)軸,坐標(biāo)原點(diǎn)等,信息量太大,對(duì)學(xué)生信息加工造成巨大壓力,嚴(yán)重違背教學(xué)的量力性原則.

求索: 美國(guó)著名心理學(xué)家米勒(Miller)提出人類(lèi)短時(shí)記憶到長(zhǎng)時(shí)記憶信息加工容量為“7±2”個(gè)組塊[7],普通人的信息加工容量為5～9 個(gè)組塊,此圖中信息容量高達(dá)18 個(gè)組塊,遠(yuǎn)超學(xué)生信息容量的上限,造成學(xué)生識(shí)圖困難,且難以抓住關(guān)鍵信息.此處可取傾斜角為銳角與傾斜角為鈍角的直線各一條,減少學(xué)生信息加工容量,減少無(wú)關(guān)信息干擾,突出本質(zhì).

慎思2: 教材呈現(xiàn)的點(diǎn)P為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線.此圖中點(diǎn)P在x軸上,不具有一般性,不在x軸上才具有普遍性.

求索: 在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)任取一點(diǎn)P.不在坐標(biāo)軸上更具一般性,在第一象限更具有普適性,符合學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),這是在大腦的兩大系統(tǒng)即心智操作系統(tǒng)和心力操作系統(tǒng)對(duì)新的數(shù)學(xué)信息協(xié)同加工才得以完成的[8].

慎思3: 對(duì)于傾斜角的定義有兩點(diǎn)異議.第一,以x軸為基準(zhǔn)定義傾斜角,其中“基準(zhǔn)”一詞在數(shù)學(xué)概念中并未定義和鋪墊.第二,傾斜角定義為“x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α”,此時(shí)定義的傾斜角更符合直線與直線的夾角,圖中所示的傾斜角使用旋轉(zhuǎn)角定義更貼切.

求索:“基準(zhǔn)”是機(jī)械制造中的一個(gè)概念,主要用來(lái)確定生產(chǎn)對(duì)象上幾何關(guān)系所依據(jù)的點(diǎn)、線、面.基準(zhǔn)在金融學(xué)、物理學(xué)、機(jī)械制造中應(yīng)用廣泛,在學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中并未有“基準(zhǔn)”概念的形成,此時(shí)若強(qiáng)行概念順應(yīng),用一個(gè)陌生的概念定義新的概念只會(huì)增加新概念學(xué)習(xí)的困難.借助旋轉(zhuǎn)定義傾斜角可以借鑒如下定義:

在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于一條與x軸相交的直線,如果把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為α,那么α就叫做直線的傾斜角[9].

3 邏輯表述不科學(xué)

案例3教材再現(xiàn)[10]: 等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)中,通過(guò)等差數(shù)列的定義得到等差數(shù)列的遞推公式:an+1-an=d,從而由a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d,…,最終歸納得到an=a1+(n-1)d,即得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.

慎思: 不完全歸納法是否能當(dāng)作等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)的證明方法? 是否科學(xué)、嚴(yán)密?

求索: 歸納推理與類(lèi)比推理屬于合情推理,歸納推理是從個(gè)別事實(shí)或?qū)傩愿爬ǔ鲆话闾匦曰蚪Y(jié)論的推理,也就是從“特殊”到“一般”.不完全歸納法是歸納推理中的一種特殊推理,常以有限數(shù)量的事實(shí)作為基礎(chǔ)而得出的一般性結(jié)論,因此結(jié)論可能正確也可能錯(cuò)誤.教材誤把猜想當(dāng)作證明,內(nèi)容表述不科學(xué).教材推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)采用不完全歸納法,但是卻未對(duì)結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格的證明,因此建議此處采用“累加法(疊加法)”推導(dǎo)通項(xiàng)公式,也為后期求解數(shù)列遞推公式鋪墊方法基礎(chǔ),亦可采用不完全歸納法猜想出遞推公式的形式再進(jìn)行嚴(yán)格的證明.

4 前后銜接不恰當(dāng)

案例4教材再現(xiàn): 空間兩點(diǎn)間的距離公式到平面兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo).

第一冊(cè)第一章空間向量與立體幾何中,空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示中利用向量的坐標(biāo)表示推導(dǎo)出了空間兩點(diǎn)間的距離公式:

第二章直線和圓的方程中,兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)又一次運(yùn)用平面向量的坐標(biāo)表示得到兩點(diǎn)間的距離公式:

慎思: 空間中兩點(diǎn)間的距離公式與平面中兩點(diǎn)間的距離公式前后推導(dǎo)方法無(wú)異,兩者間前后銜接不恰當(dāng),將兩點(diǎn)間的距離公式在三維空間和二維平面中簡(jiǎn)單看成兩個(gè)獨(dú)立知識(shí)個(gè)體,缺乏知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系與呼應(yīng).

求索: 平面中兩點(diǎn)間的距離公式可以看作是空間兩點(diǎn)間距離公式的特例,由空間兩點(diǎn)距離公式可以推導(dǎo)平面兩點(diǎn)間的距離公式.在空間直角坐標(biāo)系中,令z1=z2=0,即在平面xOy中的兩點(diǎn)間的距離公式為即得平面兩點(diǎn)間的距離公式.如此即避免了方法的簡(jiǎn)單重復(fù),又密切了前后知識(shí)的聯(lián)系與銜接,使知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)明晰,這也就是布魯納所說(shuō)的“使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)”[11].

5 反思與建議

5.1 規(guī)范作圖內(nèi)容,數(shù)形結(jié)合彰顯幾何魅力

法國(guó)著名數(shù)學(xué)家笛卡爾曾說(shuō)過(guò):“沒(méi)有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了.”圖形語(yǔ)言也像文字語(yǔ)言那樣具有記錄作用,而且比文字語(yǔ)言更形象,有利于形象記憶,更有利于探索解題途徑,還可以交流思想[12].規(guī)范的作圖能指導(dǎo)學(xué)生的讀圖、識(shí)圖、辨圖、圖文解讀,將抽象的文字語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)具體化、形象化.特別是注意圖形的一般性與普遍性,通過(guò)圖形了解概念、定理、法則的一般性方法,更要符合學(xué)生的認(rèn)知需求及已有知識(shí)基礎(chǔ),在充分尊重、理解學(xué)生個(gè)體差異的基礎(chǔ)上借助圖形助推知識(shí)的掌握.

5.2 科學(xué)表述知識(shí),深化數(shù)學(xué)嚴(yán)密邏輯思維

嚴(yán)密的邏輯性是數(shù)學(xué)的基本特性之一,知識(shí)的傳遞也應(yīng)建立在科學(xué)基礎(chǔ)之上.教材是教師的教與學(xué)生的學(xué)的重要樞紐,盡管已有不少專(zhuān)家學(xué)者提出對(duì)教材的二次開(kāi)發(fā)、質(zhì)疑教材,但是教材依舊是教學(xué)中最系統(tǒng)、最科學(xué)、最核心的依據(jù).因此,科學(xué)性是教材編寫(xiě)的首要任務(wù).定理(推論)的精準(zhǔn)性、推理過(guò)程的嚴(yán)密性、邏輯表達(dá)的準(zhǔn)確性是數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)的底線思維.

5.3 增強(qiáng)銜接力度,構(gòu)建三維知識(shí)結(jié)構(gòu)體系

知識(shí)的編排方式有橫向式、縱向式和螺旋上升式,知識(shí)與知識(shí)之間也相互存在邏輯聯(lián)系,根據(jù)不同知識(shí)的編排順序,知識(shí)的遷移也分為橫向遷移和縱向遷移,知識(shí)的遷移能有效促進(jìn)知識(shí)的同化與加工.教材編寫(xiě)過(guò)程中應(yīng)加強(qiáng)橫向、縱向知識(shí)間的聯(lián)系,特別是先修后續(xù)之間的相輔相成與首尾呼應(yīng),將單個(gè)知識(shí)間有效的串聯(lián)起來(lái),并充分發(fā)揮合力作用,幫助知識(shí)的再創(chuàng)造.