陸玉霞

圓的基本概念比較多，知識(shí)點(diǎn)之間綜合性強(qiáng)，解題時(shí)稍有疏忽，便會(huì)出現(xiàn)漏解、錯(cuò)解等錯(cuò)誤，其中，與弦有關(guān)的題目更易出錯(cuò)。下面，通過(guò)整理同學(xué)們的易錯(cuò)題，我們共同分析錯(cuò)誤原因，幫助大家建立更完善的知識(shí)體系，加深對(duì)圓中弦的理解。

一、弦、弧、圓周角，夯實(shí)基本功

例1 現(xiàn)有以下命題：①平分弦的直徑垂直弦，平分弦所對(duì)的弧；②等弧所對(duì)的弦相等，所對(duì)的圓周角相等；③在同圓或等圓中，弦相等所對(duì)的圓周角也相等；④在同圓或等圓中，弦相等則弦所對(duì)的弧相等。正確的有。

【錯(cuò)因分析】對(duì)弦的基本概念模糊不清或忽視弦的一些性質(zhì)定理成立的前提條件，都會(huì)造成對(duì)這種文字型命題判斷的失誤。

【正確解答】①平分非直徑的弦的直徑才垂直弦，平分弦所對(duì)的弧，故原命題錯(cuò)誤；②等弧所對(duì)的弦相等，所對(duì)的圓周角相等，正確；③在同圓或等圓中，弦相等所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)，故原命題錯(cuò)誤；④在同圓或等圓中，弦相等則弦所對(duì)的優(yōu)弧或劣弧對(duì)應(yīng)相等，故原命題錯(cuò)誤。因此，正確的只有命題②。

二、弦對(duì)圓周角，兩角為互補(bǔ)

例2在半徑為2的圓中，弦AB長(zhǎng)為[22]，則弦AB所對(duì)圓周角的度數(shù)為 。

【錯(cuò)因分析】一條弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)，且這兩個(gè)角是圓內(nèi)接四邊形的一組對(duì)角，所以這兩個(gè)角互補(bǔ)。這個(gè)知識(shí)點(diǎn)很容易理解，但在本題中，與“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半”知識(shí)點(diǎn)綜合應(yīng)用時(shí)，能力要求提高了，解題時(shí)就容易出現(xiàn)錯(cuò)誤了。

【正確解答】連接OA、OB，C為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，D為劣弧AB上一點(diǎn)，如圖1。

∵AB=[22]，OA=OB=2，

∴OA2+OB2=AB2。

∴△AOB為直角三角形。

∴∠AOB=90°。∴∠ACB=[12]∠AOB=45°。

∴∠ADB=180°-∠ACB=135°。

綜上所述，弦AB所對(duì)圓周角的度數(shù)為45°或135°。

三、直徑與弦，特殊與一般

例3 如圖2，AB是圓O的弦，AB=[23]，點(diǎn)C是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=60°，若點(diǎn)M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，則MN長(zhǎng)度的最大值是。

【錯(cuò)因分析】根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到MN=[12]AC，所以AC長(zhǎng)度的最大值決定了MN長(zhǎng)度的最大值。題目中∠ACB=60°，同學(xué)們很容易想到等邊三角形，誤認(rèn)為當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AC的值最大，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤。

【正確解答】連接AO并延長(zhǎng)，交圓O于點(diǎn)D，連接BD，如圖3。

∴∠ADB=∠ACB=60°。

∵AD為圓O的直徑，

∴∠ABD=90°。

∴AD=4。

∵點(diǎn)M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，

∴MN=[12]AC。

當(dāng)AC為直徑時(shí)，AC的長(zhǎng)度最大。

∴MN長(zhǎng)度的最大值為2。

四、兩弦位置，圓心是關(guān)鍵

例4 在半徑為2的圓中，弦AB、AC的長(zhǎng)度分別是2、[23]，則弦BC的長(zhǎng)度是 。

【錯(cuò)因分析】由于題目沒(méi)有給出圖形，很多同學(xué)在做題時(shí)忽略了兩條弦與圓心的位置關(guān)系，自動(dòng)將兩條弦與圓心的位置默認(rèn)為其中的一種進(jìn)行計(jì)算，導(dǎo)致漏解的現(xiàn)象。

【正確解答】分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別是D、E，連接OC、OB，如圖4。

∴AE=[12]AC=[3]，AD=[12]AB=1。

∴∠AOE=60°，∠AOD=30°。

∴∠AOC=120°，∠AOB=60°。

①當(dāng)弦AB、AC在圓心O的異側(cè)時(shí)，∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°+ 60°=180°，∴BC是直徑，BC的長(zhǎng)度為4。

②當(dāng)弦AB、AC′在圓心O的同側(cè)時(shí)，∠BOC′=120°-60°=60°。

∵OB=OC′，∴△OBC′是等邊三角形。

∴BC′=OA=2。

綜上所述，弦BC的長(zhǎng)度是2或4。

同學(xué)們，在解決圓中弦有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要仔細(xì)讀題，多畫圖，利用數(shù)形結(jié)合等思想方法解決問(wèn)題。對(duì)于典型的錯(cuò)題要加以剖析并反思總結(jié)，加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，提高自己的解題正確率。

（作者單位：江蘇省鹽城市康居路初級(jí)中學(xué)）