林正坤

在解答比較復(fù)雜的代數(shù)問題時(shí)，我們通常會采用換元法來幫助我們理清題目中的數(shù)量關(guān)系，使問題化難為易、化繁為簡，然后順利獲解.運(yùn)用換元法解題首先要根據(jù)問題的特征或數(shù)量關(guān)系引進(jìn)新的輔助元來替換原問題中的數(shù)、字母、式子等，然后求出新元的值，再將求得的值帶回所設(shè)的換元式，帶入替換關(guān)系中，求出原來的未知量或變量，最后對解出的答案進(jìn)行檢驗(yàn).本文主要介紹換元法在因式分解、解方程以及整式運(yùn)算中的應(yīng)用.

一、換元法在因式分解中的妙用

當(dāng)我們在進(jìn)行因式分解時(shí)，如果一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)、字母較多，次數(shù)較高或含有代數(shù)式乘積的項(xiàng)時(shí)，可對多項(xiàng)式中某些相同的部分設(shè)輔助元進(jìn)行代換，讓整個(gè)題干的因式項(xiàng)數(shù)減少或因數(shù)次數(shù)降低，從而方便解題.

評注：用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新的變元可以一起變形.換元法的本質(zhì)就是簡化多項(xiàng)式.

二、換元法在解方程中的妙用

當(dāng)我們遇到分式方程、無理方程、高次方程等直接求解比較困難的方程問題時(shí)，可考慮運(yùn)用換元法，把方程中的某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，通過變量代換實(shí)現(xiàn)降次、無理式轉(zhuǎn)化為有理式、分式轉(zhuǎn)化為整式的目的，從而使較繁難的問題變?yōu)檩^簡易的問題.

評注：如果用開平方的方式解答無理方程，會導(dǎo)致整個(gè)方程的次方數(shù)過高，使解題過程更加困難.因此我們可以根據(jù)題目的要求和代數(shù)式的特性，利用換元法把無理方程巧妙地轉(zhuǎn)化為有理方程.

三、換元法在整式運(yùn)算中的妙用

在整式運(yùn)算中，對一些較為復(fù)雜的題目，直接求解顯然不易入手時(shí)，同學(xué)們可以考慮整體換元.整體換元的關(guān)鍵是要構(gòu)造元和設(shè)元，就是要將已知式中結(jié)構(gòu)相同的某個(gè)部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的變量去替代它，然后再結(jié)合題目形式進(jìn)行變形求值，從而使問題得以簡化.

例3求（1+2+3+…+998）（2+3+4+…+ 999）-（1+2+3+…+999）（2+3+4+…+998）的值.

分析：從整式的整體上來看，我們需要找尋其中的共同點(diǎn)，將這些共同點(diǎn)利用新元進(jìn)行代替，讓整個(gè)式子得以簡化.通過觀察我們可以將第一個(gè)式子（1+2+3+…+998）設(shè)為x，將（1+2+3+…+999）設(shè)為y，然后就可以將其帶入后面兩個(gè)式子中將整式進(jìn)行簡化.

解：設(shè)1+2+3+…+998=x；

1+2+3+…+999=y.

將x，y代入原式后可得

x（y-1）-y（x-1）=（xy-x）-（xy-y）

= y-x=999.

評注：本題中每一個(gè)代數(shù)式都可以用新元替代原有的式子，但是取不同的代數(shù)式換元后，運(yùn)算難度會有所不同，所以我們在利用換元法解題的時(shí)候需要仔細(xì)觀察，尋找規(guī)律，找到最合適設(shè)置新元的位置代入換算.