孫云卓

循證，顧名思義，即基于證據(jù)。循證實(shí)踐和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)既有相似之處又互相輝映。從教的維度來看，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)注重以收集數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)證據(jù)為前提，并能依據(jù)證據(jù)確定數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)、優(yōu)化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、完善數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程，形成“教—學(xué)—評”的一體化鏈條；從學(xué)的維度來看，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生能學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)證據(jù)、理解證據(jù)、診斷證據(jù)，并能圍繞證據(jù)分析和解決問題、自主建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，從而培養(yǎng)批判性思維、質(zhì)疑能力以及循證意識，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，習(xí)得數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展核心素養(yǎng)。因此，在基于循證理念的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，需要教師合理規(guī)劃實(shí)驗(yàn)主題激發(fā)學(xué)生的興趣，依循證據(jù)動(dòng)態(tài)指導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，在“教—學(xué)—評”一致的實(shí)驗(yàn)反饋中逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

一、起點(diǎn)性確認(rèn)：基于學(xué)情證據(jù)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅可以在課堂中的新知探究環(huán)節(jié)發(fā)揮作用，還可以在前置設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)使教師更好地把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)。如此，不僅可以避免教師的教過于依賴經(jīng)驗(yàn)、學(xué)生的學(xué)過于依賴模仿，還能提高基于核心問題探究的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的效度和匹配度。

1.設(shè)計(jì)前置性實(shí)驗(yàn)，把握學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)

學(xué)生在低年級時(shí)已經(jīng)直觀認(rèn)識了長方體、正方體、圓柱和球等一些立體圖形，中年級時(shí)又學(xué)習(xí)了長方形和正方形的特征、周長與面積，因而對長方體和正方體已經(jīng)有了空間感知經(jīng)驗(yàn)和思維經(jīng)驗(yàn)。因此，在教學(xué)蘇教版六上“長方體和正方體的認(rèn)識”前，教師設(shè)計(jì)如下前置性實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)主題：給長方體做一張名片。

實(shí)驗(yàn)工具：生活中形狀是長方體的物體、小棒、橡皮泥等。

實(shí)驗(yàn)步驟：（1）找一找，到生活中找一找形狀是長方體的物體；（2）寫一寫，請你從不同角度介紹一下長方體；（3）做一做，請用小木棒或橡皮泥做一個(gè)長方體；（4）選一選，圖1中有8個(gè)圖形，選出其中的6 個(gè)圍成一個(gè)長方體，這6 個(gè)圖形的編號分別是（）。

（圖1）

初步的實(shí)驗(yàn)結(jié)論：長方體是______的圖形。

實(shí)驗(yàn)步驟（4）的8 個(gè)圖形中，僅有②③是干擾項(xiàng)。如果學(xué)生明晰長方體和正方體面的特征，很容易就能做出選擇。這一關(guān)系性實(shí)驗(yàn)，為學(xué)生通過觀察推理、實(shí)驗(yàn)操作發(fā)現(xiàn)長方體和正方體的特征奠定了基礎(chǔ)，能促進(jìn)學(xué)生對圖形特征展開關(guān)系性建構(gòu)——通過整體感知三維立體圖形形成空間知覺，在對平面圖形一維、二維的局部探究中獲得空間想象，通過研究三維立體圖形形成空間觀念。

2.設(shè)計(jì)前置性實(shí)驗(yàn)，把握學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)

教學(xué)“平行四邊形的面積”，不少教師認(rèn)為學(xué)生很容易想到平行四邊形的面積等于底乘高，在學(xué)生的實(shí)驗(yàn)探究中只關(guān)注或只為了得到一個(gè)正確結(jié)果，而忽視他們的探究和推導(dǎo)過程，導(dǎo)致其獲得的思維經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)不足，只是機(jī)械地記住了計(jì)算公式。因此，教學(xué)之前，筆者設(shè)計(jì)如下前置性實(shí)驗(yàn)，調(diào)研學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)。

實(shí)驗(yàn)主題：嘗試計(jì)算平行四邊形的面積。

實(shí)驗(yàn)工具：平行四邊形等。

實(shí)驗(yàn)步驟：（1）猜一猜，平行四邊形的面積計(jì)算方法可能是怎樣的？（2）寫一寫，把你的想法寫下來；（3）想一想，平行四邊形的面積大小可能與什么有關(guān)？

初步的實(shí)驗(yàn)結(jié)論：我認(rèn)為，平行四邊形的面積是這樣計(jì)算的_________________________。

通過分析學(xué)生的實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)果，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生雖然在日常生活中常常接觸到平行四邊形，但他們對平行四邊形的面積計(jì)算公式及其內(nèi)在原理理解得并不透徹，而且還受到長方形面積計(jì)算公式的負(fù)遷移影響，采用“鄰邊相乘”這種方法的學(xué)生占一半以上。如何讓學(xué)生真正經(jīng)歷計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，并在推導(dǎo)過程中滲透轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生的歸納和推理能力，就成了教師要思考的問題。

二、核心化探究：依據(jù)動(dòng)態(tài)循證展開數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

基于循證實(shí)驗(yàn)線索展開數(shù)學(xué)核心概念的學(xué)習(xí)，不僅能讓學(xué)生更好地親歷再創(chuàng)造知識的過程，還能激發(fā)他們發(fā)現(xiàn)問題、主動(dòng)提出問題、積極探索的興趣，循證實(shí)驗(yàn)以數(shù)學(xué)探究活動(dòng)為載體，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中獲取一手?jǐn)?shù)據(jù)，并在采集和分析數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上理解數(shù)學(xué)概念，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，習(xí)得數(shù)學(xué)方法，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、法則和定理，建立數(shù)學(xué)模型。

1.確定實(shí)驗(yàn)主題，設(shè)計(jì)教學(xué)中的循證脈絡(luò)

數(shù)學(xué)循證實(shí)驗(yàn)主題來自數(shù)學(xué)單元或課時(shí)中的核心問題，核心問題指向的往往不是一個(gè)知識點(diǎn)，而是理解和探索一個(gè)大概念。如教學(xué)“圓的面積”，筆者確定的實(shí)驗(yàn)主題是“圓如何轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的圖形？你能嘗試推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式嗎？”。選擇這一主題，是源于前置的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集，數(shù)據(jù)顯示：有82%的學(xué)生能回顧并利用轉(zhuǎn)化思想推導(dǎo)出已學(xué)直線圖形的面積計(jì)算公式，有43%的學(xué)生認(rèn)為圓也能轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形，但成功轉(zhuǎn)化并推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式的學(xué)生只有10%。在實(shí)驗(yàn)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生將其他平面圖形面積的推導(dǎo)方法遷移到本課中。教材中直接將圓16 等分，這對學(xué)生而言是有難度的，所以筆者引導(dǎo)學(xué)生從2 等分—4 等分—8等分—16等分—32等分，由易到難、循序漸進(jìn)，把實(shí)驗(yàn)重心放在讓學(xué)生理解如何把圓無限平均分割并轉(zhuǎn)化成一個(gè)長方形，從而順利找出“數(shù)量之間的聯(lián)系”上。這樣的實(shí)驗(yàn)主題選擇與過程優(yōu)化，為教學(xué)難點(diǎn)的突破及學(xué)生思維的飛躍奠定了基礎(chǔ)。

2.指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)過程，把握學(xué)程中的動(dòng)態(tài)證據(jù)

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，教師不僅要注重確定實(shí)驗(yàn)主題、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)單，還要關(guān)注學(xué)生的參與度，引導(dǎo)他們經(jīng)歷知識的再創(chuàng)造過程。教師要注意通過觀察尋找學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中的動(dòng)態(tài)證據(jù)，了解學(xué)生的思維狀態(tài)和走向，進(jìn)而有效地指導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。例如，學(xué)生一年級時(shí)已經(jīng)初步認(rèn)識了方向。二上《觀察物體》一課的教學(xué)，旨在引導(dǎo)學(xué)生在充分觀察的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中習(xí)得觀察方法，發(fā)展觀察能力，使他們能根據(jù)物體每個(gè)面的關(guān)鍵特征判斷站在物體的前、后、左、右位置所看到的圖像。為了使學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中自主進(jìn)行探究，實(shí)驗(yàn)問題的表述與實(shí)驗(yàn)步驟的指導(dǎo)更需明確清晰。如“坐在你自己的位置上，平視物體，把你看到的樣子畫在①號作業(yè)紙上”，讓學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，觀察、記錄物體的一個(gè)面是什么樣的。接下來，教師進(jìn)一步提出要求，如“交換位子繼續(xù)觀察，平視物體，把你看到的樣子畫在②號作業(yè)紙上”，讓學(xué)生感受到一個(gè)物體不同的面是不一樣的。通過這樣有步驟、有層次的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，學(xué)生能夠輕而易舉地直觀感受到一個(gè)物體不同的面是不一樣的。

3.分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，運(yùn)用典型證據(jù)展開反饋

數(shù)學(xué)循證實(shí)驗(yàn)是“遵循證據(jù)進(jìn)行實(shí)踐”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的具體行動(dòng)表現(xiàn)。證據(jù)的采集源于實(shí)驗(yàn)過程中學(xué)生的學(xué)習(xí)行為表現(xiàn)，證據(jù)采集后的恰當(dāng)運(yùn)用才能真正優(yōu)化學(xué)與教的過程，提升學(xué)與教的效果。如在教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)“購買運(yùn)動(dòng)會(huì)服裝”這一真實(shí)問題情境，并將這一問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1，引導(dǎo)學(xué)生對若干組算式的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行觀察比較，從而使他們產(chǎn)生積極的猜想。在學(xué)生形成分配律模型的階段，采用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2，引導(dǎo)學(xué)生通過大量例證來驗(yàn)證自己的猜想，學(xué)生由于知識有限，基本上只能通過幾個(gè)式子采用不完全歸納的方式得出結(jié)論。接著，在模型的拓展、解釋、運(yùn)用階段，教師設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3，對乘法分配律中順向分配、逆向合成、分配變式、合成變式進(jìn)行實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。發(fā)現(xiàn)前兩次學(xué)生雖然經(jīng)歷了“猜想—驗(yàn)證—建?！钡倪^程，但習(xí)得的基本上都是乘法分配律的“形”，而非乘法分配律的“神”，沒有達(dá)成對乘法分配律本質(zhì)意義的理解。因此，需要對前兩個(gè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行優(yōu)化完善，如增加變式、舉例等，并借助生活原型、圖形模型、算式模型的比較抽象等實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，將合情推理與演繹推理結(jié)合起來，促進(jìn)學(xué)生真正達(dá)成概念性理解。

三、“教—學(xué)—評”一致：指向循證有據(jù)的表現(xiàn)性評價(jià)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的科學(xué)性決定了對學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展方面的評價(jià)不是簡單的經(jīng)驗(yàn)判斷，而要以他們的具體表現(xiàn)作為依據(jù)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的表現(xiàn)性評價(jià)以真實(shí)的問題情境為基石，將作業(yè)、實(shí)驗(yàn)單、評價(jià)單、合作單、思維導(dǎo)圖、視頻等實(shí)驗(yàn)原創(chuàng)性作品作為過程性檔案，真正落實(shí)“教—學(xué)—評”一致性，為教師的教學(xué)決策、學(xué)生的學(xué)力成長找到可靠的證據(jù)。

1.編制表現(xiàn)性任務(wù)清單

在教學(xué)中，對學(xué)生進(jìn)行表現(xiàn)性評價(jià)更加貼合學(xué)生實(shí)際。表現(xiàn)性評價(jià)是指在真實(shí)情境中完成相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)任務(wù)，并在實(shí)驗(yàn)過程中形成相應(yīng)的作品（作業(yè)）。教師需對學(xué)生在這個(gè)過程中習(xí)得素養(yǎng)的情況給予評價(jià)，評價(jià)指向?qū)W生問題解決關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，而非只關(guān)注對錯(cuò)。如教學(xué)“長方形和正方形的認(rèn)識”，筆者讓學(xué)生自己創(chuàng)造長方形和正方形。首先，提供小棒、紙張、釘子板、三角尺等學(xué)具，讓學(xué)生借助釘子板評價(jià)自己的操作結(jié)果；其次，利用兩副三角尺拼一拼，評價(jià)凸顯長方形和正方形角的特征；再次，利用6 根小棒創(chuàng)造長方形，評價(jià)長方形和正方形邊的特征；最后，利用畫方格的辦法，在交流評價(jià)中對比發(fā)現(xiàn)長方形的長和寬。教師精心挑選具有代表性的學(xué)生案例，并分別對案例進(jìn)行詳細(xì)的描述性反饋。這樣的表現(xiàn)性評價(jià)，既指向?qū)W生需要達(dá)到的學(xué)習(xí)效果，也為教師了解課程目標(biāo)的達(dá)成情況提供了直接性證據(jù)。

2.研發(fā)表現(xiàn)性評價(jià)工具

表現(xiàn)性評價(jià)主要包含表現(xiàn)目標(biāo)、評價(jià)任務(wù)、評分規(guī)則等三個(gè)要素。因此，在數(shù)學(xué)循證實(shí)驗(yàn)中開展表現(xiàn)性評價(jià)，需要圍繞教學(xué)目標(biāo)、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、實(shí)驗(yàn)過程等形成評價(jià)量表，并以任務(wù)的形式發(fā)給學(xué)生，作為學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中實(shí)現(xiàn)相應(yīng)素養(yǎng)發(fā)展的依據(jù)。如教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”，教師創(chuàng)設(shè)“班里窗戶玻璃被打破，需要配置相應(yīng)的玻璃（不完整的三角形）”的真實(shí)問題情境，然后設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)過程、分配實(shí)驗(yàn)角色，學(xué)生同時(shí)面臨選一選、分一分、看一看、做一做、想一想等五大挑戰(zhàn)。實(shí)驗(yàn)任務(wù)單（如圖2）伴隨學(xué)習(xí)進(jìn)程，同時(shí)融入實(shí)驗(yàn)步驟和方法，學(xué)生每個(gè)階段的學(xué)習(xí)作品（文字、畫圖、算式、視頻等）均是表現(xiàn)性評價(jià)的依據(jù)，實(shí)驗(yàn)評價(jià)單（如下頁表1）的設(shè)置則能使表現(xiàn)性評價(jià)更加客觀而合理。

表1 《三角形內(nèi)角和》實(shí)驗(yàn)評價(jià)單

圖2 《三角形內(nèi)角和》實(shí)驗(yàn)任務(wù)單

3.建立表現(xiàn)性評價(jià)檔案

每個(gè)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中的任務(wù)單、評價(jià)單以及量規(guī)等均作為其表現(xiàn)性評價(jià)檔案。學(xué)期結(jié)束，我們均要分年段讓學(xué)生在真實(shí)的問題情境中經(jīng)歷數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程性評價(jià)，低年級的表現(xiàn)性評價(jià)任務(wù)為“微合作：同桌合作完成一項(xiàng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，中年級的表現(xiàn)性評價(jià)任務(wù)為“微研究：四人小組合作用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探索一個(gè)新的問題”，高年級的表現(xiàn)性評價(jià)任務(wù)為“微項(xiàng)目：用實(shí)驗(yàn)的方式跨學(xué)科實(shí)踐綜合項(xiàng)目”，三種表現(xiàn)性評價(jià)任務(wù)均聚焦真實(shí)情境中的具體問題，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為載體，讓學(xué)生經(jīng)歷“任務(wù)選擇—小組組成—設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)單—選取實(shí)驗(yàn)工具—經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)過程—教師參與指導(dǎo)—小組合作分享”的活動(dòng)過程。教師通過數(shù)字化平臺(tái)，全方位地采集學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中形成的數(shù)據(jù)信息，后臺(tái)自動(dòng)生成每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告。

綜上所述，在循證視域下，無論是開展前置性實(shí)驗(yàn)為學(xué)情診斷提供證據(jù)，還是展開核心探究經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)中動(dòng)態(tài)證據(jù)的調(diào)控反饋，抑或是生成數(shù)字化表現(xiàn)性評價(jià)報(bào)告，把握學(xué)生對核心概念的理解情況，考查學(xué)生的綜合能力等，都能在一定程度上促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的發(fā)展。