李曼瑩

數(shù)學(xué)知識邏輯嚴密，嚴謹有序，具有高度的抽象性和內(nèi)在邏輯性，需要具備相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維從數(shù)學(xué)的角度進行理性思考，才能清晰準確地表達和解決數(shù)學(xué)問題。一般來說，常用的數(shù)學(xué)思維有邏輯思維、類比思維、發(fā)散思維、逆向思維、整體思維等，有重點地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，可以助力學(xué)生更科學(xué)、合理、高效地學(xué)習(xí)高職數(shù)學(xué)。高職高等數(shù)學(xué)是高等教育的重要內(nèi)容，就目前而言，在實際教學(xué)中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維意識不足，不能較好地運用數(shù)學(xué)思維解決高等數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)亟待優(yōu)化。

1 高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的意義

高職高等數(shù)學(xué)理論難、邏輯強、使用廣，深化了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)意義深遠。具體說來，一是，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。高職學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力普遍較弱，在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中面對抽象的“數(shù)”與“形”相關(guān)知識的學(xué)習(xí)，往往存在較大的畏難情緒，不能較好地解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)可以讓學(xué)生理性看待數(shù)學(xué)問題，在解題思路上從數(shù)學(xué)視角分析問題，找準數(shù)學(xué)問題的切入點，幫助學(xué)生循序漸進解決數(shù)學(xué)問題，學(xué)生的畏難情緒也會隨之下降，取而代之的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的成就感和滿足感，進而形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)動力，高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣也將得到提高。二是，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)素養(yǎng)是基于數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思維品質(zhì)，在高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生建立起用數(shù)學(xué)思考問題和解決問題的思維，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運算能力等綜合素養(yǎng)都會得到提高，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有裨益。三是，有利于學(xué)生學(xué)以致用。數(shù)學(xué)是一門實用性很強的學(xué)科，高等數(shù)學(xué)也是如此，高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，有利于讓學(xué)生學(xué)會用高等數(shù)學(xué)的思想解決實際的生活問題，掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，從而基于數(shù)學(xué)思維理論聯(lián)系實踐地學(xué)以致用。

2 高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維概述

數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)具有長期性和復(fù)雜性，在高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維任重道遠，主要的數(shù)學(xué)思維有邏輯思維、類比思維、發(fā)散思維、逆向思維和整體思維，其具體內(nèi)容如下：

2.1 邏輯思維

邏輯思維是人的理性認識的高級階段，主要借助于概念、判斷、推理等思維形式，綜合運用比較、分析、綜合、抽象、概括等思維方法，在認識客觀世界中對思維規(guī)律進行歸納分析，遵循邏輯規(guī)律有條理、有步驟、有根據(jù)地形成一個相對完整的思想，邏輯思維規(guī)范且嚴密。高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，主要是從數(shù)學(xué)的角度進行邏輯推理，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)對象和數(shù)學(xué)內(nèi)容的理性認識，即對數(shù)學(xué)概念中的空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系等內(nèi)容，有條理、分步驟、有根據(jù)地理性思考和嚴密求證，按照邏輯思維規(guī)律準確表達數(shù)學(xué)語言，得出新的數(shù)學(xué)判斷和概念。

2.2 類比思維

類比思維是一種創(chuàng)造性的思維，根據(jù)兩個具有相同或相似特征的事物對比，比較二者之間的關(guān)聯(lián)和差異，深入挖掘不同對象間存在的相似關(guān)系，異中求同或同中求異，其中隱含有觸類旁通的涵義。數(shù)學(xué)中許多定理、公式和法則通過類比之后經(jīng)過深度思考，往往能發(fā)現(xiàn)它們的一般規(guī)律，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中讓學(xué)生嘗試觀察和類比，在類比思維的作用下提煉問題表象背后本質(zhì)的東西，可以使高等數(shù)學(xué)教學(xué)中在類比中聯(lián)想，在類比聯(lián)想中升華思維，基于類比思維強化對高等數(shù)學(xué)概念的認知。

2.3 發(fā)散思維

發(fā)散思維是指思維呈現(xiàn)多維發(fā)散狀，多指思維視野寬廣，由點及面發(fā)散性地思考，在解決問題過程中需求多種方法，如“一題多解”的方式，對現(xiàn)有信息進行規(guī)劃和研究，同時采用不同形式進行解題。發(fā)散思維以新穎獨特的思維活動揭示問題，能對原命題進行拓展和創(chuàng)新，具備獨創(chuàng)性、變通性、多樣性的思維特點。高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)散思維的培養(yǎng)至關(guān)重要，探究和了解數(shù)學(xué)的過程中將題目結(jié)構(gòu)進行變式，往往需要靈活運用多種解題方法，發(fā)散思維突破常規(guī)考慮問題的固定思維模式，有助于學(xué)生打開思路，激勵學(xué)生進行積極的思維活動。

2.4 逆向思維

逆向思維是相對于正向思維而言的，正向思維是常規(guī)的思維模式，遵循客觀事物發(fā)展的一般規(guī)律去思考的方式。而逆向思維顧名思義是指朝相反的方向思索的思維，深入研究思維的相反方向，反其道而思之，從反向思考的角度另辟蹊徑，從問題的相反面深入地進行探索，出其不意地打破常規(guī)思維的束縛，給人耳目一新的感覺，最終以“出奇”去達到“制勝”的目的。在高等數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維，解題時從結(jié)論往回推，倒過來思考，讓思維向?qū)α⒚娴姆较虬l(fā)展的思維方式，以不同視角探究數(shù)學(xué)問題，反過去想或許會使問題簡單化，使問題獲得創(chuàng)造性的解決。

2.5 整體思維

整體思維又稱系統(tǒng)思維，即以整體和全面的視角把握對象，從整體上注重更為全面、綜合、系統(tǒng)的思考。整體思維具有高度綜合性，也是更為高階的思維方式，在觀察分析和研究處理問題時，對問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、已知條件和所求綜合考慮。整體思維是一種數(shù)學(xué)思維形態(tài)，高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的整體思維，就是在解析數(shù)學(xué)問題的時候從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，用“集成”的眼光看待數(shù)式或圖形，有目的、有意識地看成一個整體，強調(diào)整體與局部的關(guān)系，綜合考慮后得出結(jié)論。

3 高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)困境

3.1 邏輯思維的培養(yǎng)困境

邏輯思維是數(shù)學(xué)思維的核心，但在高職高等數(shù)學(xué)實際教學(xué)中，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維過程的培養(yǎng)缺乏，教學(xué)中過多地傳授和講解數(shù)學(xué)知識，忽視了學(xué)生邏輯思維建立的重要性，導(dǎo)致學(xué)生無法運用數(shù)學(xué)思維解決數(shù)學(xué)問題，不能用數(shù)學(xué)語言闡釋數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在因果關(guān)系，不僅如此，還容易使學(xué)生思考時沒有頭緒，表達邏輯混亂，數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的條理化，不足無法清晰、準確、順利地思考數(shù)學(xué)問題。

3.2 類比思維的培養(yǎng)困境

類比思維重在比較兩個具有相同或相似特征的事物，高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中教師忽視了對學(xué)生類比思維的培養(yǎng)，學(xué)生掌握定義、定理、定律等知識時缺乏類比思維，新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和差異很難區(qū)分，同時由于學(xué)生自身的數(shù)學(xué)遷移能力不足，容易造成類比構(gòu)成錯誤的現(xiàn)象，加之消極定勢思維的不良思維習(xí)慣，僅簡單地用類比的過程代替證明的過程，反而容易陷入思維困境。

3.3 發(fā)散思維的培養(yǎng)困境

發(fā)散思維強調(diào)一題多思，有些高職數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中忽視了對學(xué)生思維的發(fā)散和拓展，給予學(xué)生的思考空間不夠，高等數(shù)學(xué)教學(xué)中直接講授數(shù)學(xué)概念方法，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中較為被動，加之學(xué)生自身的知識水平局限性，很難自主思考更深層次的數(shù)學(xué)問題。長遠來看，數(shù)學(xué)思維不能發(fā)散性思考，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握程度有限，容易使數(shù)學(xué)思維固化，難以從不同角度進行探索數(shù)學(xué)知識領(lǐng)域，對學(xué)生的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)十分不利。

3.4 逆向思維的培養(yǎng)困境

逆向思維主要相對于正向思維而言的，換言之，就是“反其道而思之”。在高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，一般采用“建立定理——證明定理——運用定理”的正向思維方式，對學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)不夠重視，在解決一些數(shù)學(xué)問題時，不僅需要正向思維還需要逆向思維，實現(xiàn)二者之間的相互轉(zhuǎn)換和聯(lián)想，才能起到輔助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用，而缺乏逆向思維的引導(dǎo)，學(xué)生不具備逆向考慮數(shù)學(xué)問題的意識和能力，會給學(xué)生帶來了一定的困難，思維轉(zhuǎn)化不順暢。

3.5 整體思維的培養(yǎng)困境

整體思維尤其適用于高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中復(fù)雜問題的解決，將數(shù)學(xué)問題整體代入和分析，一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。目前，高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生整體性思維的培養(yǎng)有待優(yōu)化，學(xué)生有目的、有意識地整體處理數(shù)學(xué)問題的思維不足，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中仍然存在單一化、碎片化、片面化的思維局限性，影響對高等數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建、聯(lián)系、整體應(yīng)用。

4 高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)策略

4.1 邏輯思維的培養(yǎng)策略

數(shù)學(xué)學(xué)科的理論性較強，高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)的難度較大，數(shù)學(xué)教師在講解具體的數(shù)學(xué)概念和命題的過程中，注重對學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的培養(yǎng)，讓學(xué)生遵循相應(yīng)的邏輯發(fā)展規(guī)律去推理，逐漸構(gòu)建起邏輯性數(shù)學(xué)體系，可以有效提高學(xué)生的邏輯思維能力。在具體做法上，一是，注重思維過程。數(shù)學(xué)邏輯思維的培養(yǎng)非常注重思維的過程，對于高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)問題，在解題之初就應(yīng)結(jié)合所學(xué)知識進行初步的判斷和推理，從感性到理性進行抽象概括，讓學(xué)生從已獲得的判斷中進行推理得出新的認知。二是，強化聯(lián)系與區(qū)別。數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系較強，邏輯思維的建立基于強化數(shù)學(xué)知識點之間的聯(lián)系與區(qū)別之中，學(xué)生從抽象的概念形成中，通過數(shù)學(xué)符號、圖形和數(shù)字的轉(zhuǎn)化，遵循數(shù)學(xué)規(guī)律轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的直觀的數(shù)學(xué)概念，其思維的過程就是邏輯思維的形成過程，從而形成正確的數(shù)學(xué)觀念。值得一提的是，特別是容易混淆的法則與概念，在邏輯思維的引導(dǎo)下能讓學(xué)生深化認識，記憶深刻。三是，培養(yǎng)思維的活躍性和敏感度。邏輯思維的訓(xùn)練有一定的方法和技巧，但并非固定不變的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是如此，高職高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培育學(xué)生思維的活躍性和敏感度，讓學(xué)生提高對數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)圖形的敏感度，遇到特殊的符號和圖形可以快速反應(yīng)推理得出結(jié)論，在邏輯思維的培養(yǎng)中至關(guān)重要，尤其是數(shù)學(xué)新舊知識銜接的過程中，積極調(diào)動學(xué)生思維的積極性，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)保持積極和活躍的思維狀態(tài)，同時指導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)相關(guān)知識點進行梳理、分類和整合，可以幫助學(xué)生更好地形成邏輯思維體系。

4.2 類比思維的培養(yǎng)策略

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)的運算、證明、作圖內(nèi)容較多，類比思維的培養(yǎng)必不可少，學(xué)生對已有數(shù)學(xué)知識進行歸類和整理，通過比較新舊知識的差異，迅速找出新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，找到相似和相異的地方，啟發(fā)學(xué)生思路，實現(xiàn)學(xué)生新舊知識之間的過渡和轉(zhuǎn)化。高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思維的培養(yǎng)，可以極大提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性，常見的培養(yǎng)策略，一是，創(chuàng)設(shè)類比教學(xué)情境。數(shù)學(xué)教師在特定的數(shù)學(xué)情境下，如線性代數(shù)教學(xué)中，很多概念并不是孤立存在的，在學(xué)習(xí)向量組的秩時，通過類比思維的運用，即通過與向量組所構(gòu)成矩陣的秩比較，會發(fā)現(xiàn)矩陣的秩與其列向量組、行向量組的秩是相等的，從而可以用矩陣的初等變換來求向量組的秩。學(xué)生掌握了類比思維之后，可以較好地將各個知識點串聯(lián)起來，溫故而知新。二是，激勵類比聯(lián)想。類比思維往往和聯(lián)想緊密聯(lián)系，在數(shù)學(xué)知識擴展中借助比較和聯(lián)想啟發(fā)猜想，尋求思維的創(chuàng)新。如極限、導(dǎo)數(shù)、定積分的概念教學(xué)中，就可以運用類比思維讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)微積分。

4.3 發(fā)散思維的培養(yǎng)策略

發(fā)散思維是相對集中思維的一種思維方法，發(fā)散思維力求打開思維的寬度和廣度，尋求更為廣闊的思維方法，相對于集中思維更具優(yōu)越性。高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)散思維具有多維思維的特點，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，就是讓學(xué)生從多種思路和多種設(shè)想進行思考，讓學(xué)生在開放性的思維狀態(tài)下，使數(shù)學(xué)思維面更為廣闊，學(xué)生能夠從多個層次探尋數(shù)學(xué)規(guī)律。如高等數(shù)學(xué)存在很多一題多解的題目，以極限的教學(xué)為例，極限是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，也是整個高等數(shù)學(xué)課程的難點內(nèi)容，較好地運用發(fā)散思維的方法，多維度考慮數(shù)學(xué)知識的層次變化，引導(dǎo)學(xué)生以多維角度探求解題途徑，讓學(xué)生具備發(fā)散思維的能力去解題，在一題多解中助力學(xué)生想象能力和發(fā)散能力拓展，可以幫助學(xué)習(xí)掌握好極限的概念和運算，實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的“飛躍”發(fā)展。

4.4 逆向思維的培養(yǎng)策略

高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，引導(dǎo)學(xué)生合理利用逆向思維，使問題簡化、證法簡捷、解題清晰，有助于提高學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量和效率。逆向思維的培養(yǎng)策略，具體說來，一是逆推法。逆推法就是從結(jié)果和結(jié)論倒推已知條件，把證明反過來倒推，綜合性較強，算法靈活，常見的加、減、乘、除的驗算，就是逆運算的驗算。二是反證法。即從否定命題的結(jié)論入手，證明反論題的虛假。高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從反面的角度的證明方法解題，多用于正面的直接論證或反駁比較困難時，“否定得出矛盾→否定”，一個命題與其逆否命題同真假。三是變量代換法。對于一些結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜、變元較多的數(shù)學(xué)問題，傳統(tǒng)的常規(guī)的思維方法難以解答，采用變量代換法，引入一些新的變量進行代換，可以提高學(xué)生的解題能力。如在求積分中的應(yīng)用，利用中間變量的代換，把復(fù)合函數(shù)的微分法反過來用于求不定積分，就得到了復(fù)合函數(shù)的積分法，變量代換法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用較為廣泛。四是待定系數(shù)法。在高職高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，遇到有一個或多個數(shù)值尚待確定的數(shù)學(xué)問題時，可采用待定系數(shù)法設(shè)出某些未知系數(shù)，以確定待定系數(shù)的值（范圍），待定系數(shù)法是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中運算、推理論證的重要方法，在實際教學(xué)中教師應(yīng)加強學(xué)生靈活使用，用逆向思維的方法解決數(shù)學(xué)難題。

4.5 整體思維的培養(yǎng)策略

整體思維注重對數(shù)學(xué)對象的整體性把握，從整體出發(fā)將需要解決的問題統(tǒng)籌考慮，常常能起到化繁為簡、變難為易的作用。高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中培育學(xué)生的整體思維，有整體代入、整體加減、整體代換、整體聯(lián)想等多種表現(xiàn)形式。其中，一是整體代入。整體代入在求代數(shù)式值中應(yīng)用較多，高等數(shù)學(xué)中矩陣多項式的計算中應(yīng)用整體代入的方法，可以較好地達到求值的目的。二是整體加減。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中結(jié)合方程組的結(jié)構(gòu)特征，對問題進行整體處理，可以打破常規(guī)，從全局出發(fā)解決數(shù)學(xué)問題。三是整體代換。即把某個數(shù)學(xué)式子用一個新的量代換，利用它滿足的等量關(guān)系進行解題，可以加強學(xué)生數(shù)學(xué)問題的解決能力。四是整體聯(lián)想。整體思維關(guān)注學(xué)生整體認知結(jié)構(gòu)的建立，為避開繁雜的思維和計算，從分析問題的整體結(jié)構(gòu)出發(fā)展開聯(lián)想，起到化隱為顯的解題效果。

4 結(jié)語

總之，高職高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅需要解題方法和技巧，更重要的是具備數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，對于高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有事半功倍的作用，將使學(xué)生終身受益。數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)并非易事，需要數(shù)學(xué)教師結(jié)合教學(xué)實際情況，有意識地把數(shù)學(xué)思維意識滲透在教學(xué)的全過程，循序漸進幫助學(xué)生建立起數(shù)學(xué)思維，促使學(xué)生從多個角度思考數(shù)學(xué)問題，只有這樣，才能不斷提高高職學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，使之具備數(shù)學(xué)思維能力，更好地解決數(shù)學(xué)問題，進而攻堅克難，提高高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成效。

（作者單位：平?jīng)雎殬I(yè)技術(shù)學(xué)院）