楊慶璽 唐軍強

（焦作大學基礎教學部，河南 焦作 454000）

自然數(shù)的方冪和是一個古老的問題，許多數(shù)學家都曾經(jīng)對其做過研究，如阿基米德，雅各布·伯努利，歐拉，日本的關孝和和松永良弼，中國清代數(shù)學家李善蘭和夏鸞祥[1]。華羅庚先生和陳景潤先生在這方面也做過深入的研究工作[2-3]。至今，仍有很多數(shù)學工作者在這個方面做著細致的工作[4-9]，原因在于該問題牽涉極廣，與伯努利數(shù)、斯特林數(shù)、第二類歐拉數(shù)等都有關聯(lián)，這就給了人們極大的興趣和動力來討論它。

本文將關于冪和的遞推關系寫成矩陣方程的形式,它的逆矩陣并不難獲得，并且發(fā)現(xiàn)逆矩陣的元素與伯努利數(shù)之間存在關聯(lián)，可以用伯努利數(shù)很好地解釋，進而得到用伯努利數(shù)和伯努利多項式形式表示的冪和公式，然后證明了這樣得到的結(jié)果與雅各布·伯努利的公式是一致的。

人們自然希望能夠找到一個統(tǒng)一的公式，使得對所有的自然數(shù)都成立。瑞士數(shù)學家雅各布·伯努利在他的《猜度術》一書中給出了這樣一個公式

這里，右端的級數(shù)加至n的最后一個正冪。也(1就)是說，如果k是奇數(shù)，則最后一項是n2；如果k是偶數(shù)，則最后一項是n。B n是伯努利數(shù)，有

并且存在遞推關系

1.公式的推導

定理1 設 代表前n個自然數(shù)的k次冪和，則下面各式等價

結(jié)合(3)式，容易看到，(4)與(5) 式等價，(6)與(7)式等價，而(6)式正是雅各布·伯努利給出的公式。這里先給出(4)式的推導過程：基于二項式定理展開，推導各階冪和滿足的遞推公式

然后將上面各式左右兩端分別相加，得到

由此可以得到

至此，關鍵問題就在于如何去描述逆矩陣中的這些元素。事實上，它們與伯努利數(shù)和組合數(shù)相關，可以描述為

將（7）式代入（6）中，就可以得到

上面推導過程中用到了（2）式。

2.與雅各布·伯努利公式的一致性

證 將（4）式中的項做二項式定理展開:

展開后的常數(shù)項為

而展開后的系數(shù)為

從(12)式可以看到，當m=k+1時，其系數(shù)為1/(k+1)；當m=k時，其系數(shù)為1/2。也就是說，無論k為奇數(shù)或偶數(shù)，這兩項都是存在的。除此之外，若k為奇數(shù)，則展開式中只有n的偶數(shù)次冪；若k為偶數(shù)，則展開式中只有n的奇數(shù)次冪。由此可得

這樣就得到了 (6) 式。該形式簡潔而統(tǒng)一，無需區(qū)分n的奇數(shù)次和偶數(shù)次項，伯努利數(shù)自然會達到這種效果。

3.結(jié)論

對于包含某個在整數(shù)范圍內(nèi)變化的角標的恒等式和遞推關系，通常都可以寫成一個無窮矩陣方程的形式，所要求的對象所構成的向量即為該矩陣方程的解。對無窮矩陣求逆，如果逆矩陣的元素存在某種規(guī)律性，那么就可以獲得所求對象的一種表達式，這相當于是對遞推關系的一種反解。但是，這不能算是一種證明，因為矩陣是無窮的，而計算則是有限的。所獲得的公式是否準確，仍然需要有其他的手段來驗證或給出證明。不過，這確實為發(fā)現(xiàn)問題提供了一種新視角，當人們糾結(jié)于某個恒等式，為復雜的計算過程而煩惱的時候，逆矩陣提供了一種全新的視野，而對于規(guī)律性的尋找則要求對于各種常數(shù)有敏感和熟練的認知。