單雪昀

摘? 要：數(shù)學教師具備“高觀點”認知水平，有利于窺探初等數(shù)學教材背后的緣起，進而正確解讀教材、把握數(shù)學本質(zhì)、形成完整的教學體系。文章對新疆地區(qū)高中數(shù)學教師和某大學數(shù)學教育方向研究生“初等教材背后的高觀點知識”現(xiàn)狀進行調(diào)查，分析其中存在的問題，并從數(shù)學概念、命題與解題三個知識維度的典型問題進行剖析，總結(jié)對策，希望對數(shù)學教師專業(yè)化培養(yǎng)有所啟發(fā)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；初等教材；高觀點；理解水平

一、問題提出

“會當凌絕頂，一覽眾山小”對于高觀點下的初等數(shù)學來說意味著：要站得高、看得遠，才能將初等數(shù)學問題剖析得簡單明了。事實上，自菲利克斯·克萊因提出這一觀點后，中國的數(shù)學教育也在經(jīng)歷著改革，最直觀可見的是高中數(shù)學教材新增以大學數(shù)學知識為背景的內(nèi)容，選修教材居多。因此，研究高中數(shù)學教師的“高觀點數(shù)學知識”理解水平現(xiàn)狀是有必要的。下面以新疆地區(qū)高中數(shù)學教師和某大學數(shù)學教育方向研究生為測試對象，分成三個數(shù)學知識維度（如表1），擬從初等數(shù)學問題與大學數(shù)學“what”思想或方法有聯(lián)系的問題入手，探究新疆地區(qū)高中數(shù)學教師對“高觀點數(shù)學知識”的理解水平的現(xiàn)狀。

二、研究設計

1. 研究對象

為方便調(diào)查師范類準教師與預備教師，針對準高中教師（新疆某大學數(shù)學教育方向研究生），以及新疆高中在職數(shù)學教師，包括新疆烏魯木齊市某高中教師、新疆南疆地區(qū)暑期國培班高中教師（2018年），采取分層抽樣方法，共計發(fā)放問卷40份，具體如表2、表3所示。

2. 研究工具

（1）評價框架建構(gòu)。

為建構(gòu)合理的評價模型，將CIPP教育評價模型作為評價理論基礎(chǔ)，以研究問題“高觀點數(shù)學知識”為核心驅(qū)動目標，擬劃分三個理解水平維度：操作性、初概念性和探究性，如圖1、圖2所示。

這里針對圖2中數(shù)學理解水平的劃分標準進行解釋。一級操作性理解水平：教師知道數(shù)學的某個事實、概念與方法，但受制于數(shù)學教材的初等方法，僅能合情推理，缺乏數(shù)學宏觀意識。二級初概念性理解水平：教師了解數(shù)學概念、性質(zhì)等，能演繹推理，但易犯循環(huán)論證而不自知，無法運用高觀點思想窺探初等數(shù)學本質(zhì)。三級探究性理解水平：教師已具備初概念性理解，并能遷移大學數(shù)學方法揭示本質(zhì)解決初等問題，進而縱橫地認識數(shù)學。

（2）“高觀點數(shù)學知識”水平測試卷。

測試內(nèi)容選擇與確定考慮最基本問題，以《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》為依據(jù)，將內(nèi)容劃分為集合、函數(shù)與導數(shù)、三角函數(shù)與平面向量、數(shù)列與不等式、解析幾何、立體幾何與空間向量、統(tǒng)計與概率、其他部分，又基于彭翕成《從初等數(shù)學到高等數(shù)學（第1卷）》的觀點，將考查視角轉(zhuǎn)到初等數(shù)學教材本身，選擇函數(shù)與導數(shù)、數(shù)列與不等式、解析幾何、立體幾何與空間向量、其他部分（二項式定理）5個模塊重點考查。采用Microsoft Office Excel數(shù)據(jù)處理器對被試進行編碼錄入、匯總，運用SPSS數(shù)據(jù)軟件計算被試關(guān)于概念、命題、解題三個方面“高觀點數(shù)學認知”分別劃分探究性、初概念性和操作性層次水平并進行分析。

三、研究結(jié)果

1. “高觀點”數(shù)學概念理解水平

如表4，從數(shù)學問題的設計角度看，被測問題屬于常規(guī)且高頻問題，教師理應了解其背后的思想方法。

具體而言，“高觀點”數(shù)學概念理解水平：探究性理解平均水平較其他數(shù)學維度的水平高出10% ～ 18%，大部分教師“高觀點”意識高于實際水平。因此，在數(shù)學概念方面教師要注重強調(diào)對知識的理解與呈現(xiàn)，以看似合理的常識性問題為起點，脫離書本的桎梏，反向思維構(gòu)建高等數(shù)學與初等數(shù)學的橋梁，再認識和解決初等問題?！案哂^點”數(shù)學命題理解水平：呈現(xiàn)出被試的探究性和操作性理解水平極不穩(wěn)定，而初概念及以上理解水平穩(wěn)定在45%左右的狀態(tài)，差距大。因此，教師需打破長期教學方式表現(xiàn)的思維戀舊和循環(huán)邏輯定式錯誤，如“導數(shù)正（負）則單增（減）的演繹證明”不證自明等現(xiàn)象，逐步培養(yǎng)深度學習，重視并解讀學生每一次隱蔽性的數(shù)學語言?！案哂^點”數(shù)學解題理解水平：處于初概念及以上水平的教師較之前兩個維度要高且穩(wěn)定，操作性理解水平相對居多。尤其幾何和代數(shù)這類高考核心問題，教師俯瞰數(shù)學問題的廣度和深度相對較強，因此“高觀點數(shù)學知識”理解呈現(xiàn)較高水平。

2. “高觀點”數(shù)學問題實例分析

四、總結(jié)與建議

1. 數(shù)學概念

“廣度—深度”同步理解：數(shù)學概念本身具有高度的抽象性，對于概念教學，需要有意識地還原數(shù)學概念的數(shù)學化語言，即從學生理解的水平層次交代字面含義，結(jié)合“高觀點”認知，最大化地為學生的概念學習提高廣度，同時注意從具體簡單到抽象復雜的逐步延伸，進而促進學生明確概念、糾正錯誤，避免元認知導向錯誤。

2. 數(shù)學命題

“內(nèi)修—教學”雙向提高：要實現(xiàn)學生自我發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)造數(shù)學知識，教師不應將整理好的證明直接提供給學生。教師自身的理解水平能夠達到引導和幫助學生進行“再創(chuàng)造”，組織自然生成的教學，學生自主完成命題的發(fā)現(xiàn)與證明。

3. 數(shù)學解題

“創(chuàng)造—再創(chuàng)”一以貫之：以往教學注重問題解決方法上的“再創(chuàng)造”，但其實問題的本身更應注意，如增添數(shù)學的為什么，探尋源問題的路上層層揭開數(shù)學的神秘之紗。另外，還可以跳出數(shù)學符號化，將文學藝術(shù)與數(shù)學符號或思想連通，在問題的根源實現(xiàn)“再創(chuàng)造”，豐富數(shù)學的問題形式和解題視角，增添趣味。

五、結(jié)束語

解釋“數(shù)學概念”、證明“數(shù)學命題”、探究“數(shù)學解題”，無不告訴教師提高自身理解水平亟待加強，觀點高了，才能看得深。另外，師范類院校數(shù)學專業(yè)的學生更要從入校起重視聯(lián)系“高觀點”對初等數(shù)學的指導，避免教學斷層。

基金項目：新疆師范大學新疆高等教育發(fā)展研究中心文科基地2022年度智庫招標課題一般項目——高等師范院校數(shù)學教師提高課程思政教育路徑研究及評價思考（ZK202285B）。

參考文獻：

［1］菲利克斯·克萊因. 高觀點下的初等數(shù)學（全三卷）［M］. 舒湘芹，陳義章，楊欽樑，譯. 上海：華東師范大學出版社，2020.

［2］中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

［3］李渺. 數(shù)學教師理解性學習論［M］. 武漢：華中師范大學出版社，2010.

［4］舒爾曼. 實踐智慧：論教學、學習與學會教學［M］. 王艷玲，王凱，毛齊明，等譯. 上海：華東師范大學出版社，2014.

［5］彭翕成. 從初等數(shù)學到高等數(shù)學（第1卷）［M］.合肥：中國科學技術(shù)大學出版社，2017.

［6］楊軍. 追根溯源：數(shù)學中的為什么［M］. 西安：世界圖書出版西安有限公司，2016.