宋彥志 楊 倩 任哲雨 陶永富 廖鴻輝 喬 梁

（1. 中國石油玉門油田公司乍得有限責(zé)任公司，甘肅 酒泉 735000；2. 中國石油玉門油田公司勘探部，甘肅 酒泉 735000；3. 中國石油玉門油田公司老君廟采油廠，甘肅 玉門 735008；4. 中國石油玉門油田公司勘探開發(fā)研究院，甘肅 酒泉 735000）

0 引 言

頁巖氣藏儲層致密，儲集特性和氣體流動機理與常規(guī)氣藏具有較大區(qū)別，采用常規(guī)手段開采頁巖氣井無經(jīng)濟產(chǎn)能，水平井和水力壓裂技術(shù)是動用頁巖氣藏資源的有效技術(shù)手段[1‐3］。頁巖氣壓裂水平井初期產(chǎn)量高，產(chǎn)量遞減速度較快，投產(chǎn)后2~3 a產(chǎn)量遞減幅度可達(dá)到80%，嚴(yán)重影響頁巖氣井投資回報比[4‐5］。

頁巖氣在微?納米基質(zhì)中流動特征復(fù)雜，頁巖氣主要以游離態(tài)和吸附態(tài)2 種形式賦存在頁巖孔隙中，有機質(zhì)孔和無機質(zhì)孔的性質(zhì)差異又造成頁巖氣在這2 種孔隙中的賦存機理不同[6‐8］。準(zhǔn)確表征頁巖氣在微?納米孔隙中的流動規(guī)律是模擬頁巖氣井產(chǎn)能的關(guān)鍵。目前在研究頁巖氣微觀流動模擬方面主要有分子模擬和宏觀模型2 種。分子模擬包括格子玻爾茲曼方法[9］和分子動力學(xué)方法[10］，這2 種方法在模擬單個分子屬性及認(rèn)識微觀傳輸規(guī)律方面具有獨特優(yōu)勢，但無法針對頁巖氣儲層真實巖石屬性建模，常采用碳納米管等模型進行研究[11］，研究成果應(yīng)用于校正氣體的吸附解吸量，計算耗時較長；宏觀模型依托達(dá)西定律，考慮微觀尺度下壁面效應(yīng)對氣體滲流的影響，添加壁面修正項對氣體黏性流、分子擴散和表面吸附擴散等滲流機制進行表征，采用線性疊加[12‐13］和加權(quán)疊加[14‐16］2 種方式組合多種滲流機制。

儲層基質(zhì)、天然裂縫和人工裂縫構(gòu)成了頁巖儲層流體滲流的多尺度性，裂縫系統(tǒng)是氣體的主要滲流通道，目前在數(shù)學(xué)建模中對裂縫系統(tǒng)有隱式和顯式2 種模擬手段。隱式模型包括雙重介質(zhì)模型[17］、多重介質(zhì)模型[18‐19］等，通過劃分基質(zhì)系統(tǒng)和裂縫系統(tǒng)，建立不同系統(tǒng)間的竄流系數(shù)；顯式模型包括離散裂縫模型[20］、嵌入式離散裂縫模型[21‐22］等，該模擬將裂縫網(wǎng)格屬性賦值到基質(zhì)網(wǎng)格，裂縫與基質(zhì)間建立傳導(dǎo)率，建立統(tǒng)一的滲流方程。頁巖氣藏壓裂水平井?dāng)?shù)值模擬方法主要包括半解析法和數(shù)值法[23］：半解析法[24‐25］在解析方法的基礎(chǔ)上通過對裂縫劃分微元單元，建立基質(zhì)和裂縫系統(tǒng)系數(shù)求解矩陣，求解稀疏矩陣進行生產(chǎn)動態(tài)預(yù)測；數(shù)值法[26‐28］基于數(shù)值離散思想，對滲流方程空間項和時間項進行數(shù)值離散，建立離散求解格式，求解偏微分方程，進而預(yù)測生產(chǎn)動態(tài)。數(shù)值求解方法在計算精度上要遠(yuǎn)高于半解析法，對考慮復(fù)雜氣體流動特征的頁巖氣壓裂水平井?dāng)?shù)學(xué)模型，半解析法生成的稀疏矩陣容易出現(xiàn)發(fā)散的情況。

針對上述問題，建立頁巖氣藏多重流動機理表觀滲透率模型，采用雙重介質(zhì)模型隱式表征儲層天然裂縫，采用離散裂縫模型顯式表征水力裂縫，建立頁巖氣藏壓裂水平井產(chǎn)能評價模型，采用有限差分方法對數(shù)學(xué)模型進行數(shù)值求解。在此基礎(chǔ)上分析儲層參數(shù)、布縫模式、裂縫形態(tài)等因素對頁巖氣藏壓裂水平井產(chǎn)能的影響，以期對頁巖氣井開發(fā)調(diào)整和區(qū)域壓裂井增產(chǎn)措施提供理論支撐。

1 壓裂水平井產(chǎn)能模型

1.1 物理模型及假設(shè)條件

在建立頁巖氣壓裂井產(chǎn)能模型之前，首先建立物理模型，對物理模型作如下假設(shè)：頁巖儲層為外邊界封閉箱狀儲層；水力主裂縫為雙翼對稱垂直裂縫，裂縫高度等于儲層厚度；儲層流體流動為等溫滲流，忽略重力影響；儲層基質(zhì)和裂縫連通性好，采用雙重介質(zhì)模型表征天然裂縫模型（圖1）。

圖1 頁巖氣壓裂水平井模型及流體流動示意Fig. 1 Schematic diagram of shale gas fracturing horizontal well model and fluid flow

1.2 氣體多重流動機制

頁巖氣在頁巖基質(zhì)孔隙中的流動可以分為黏性流、分子擴散和表面吸附擴散3 類。本文采用分形毛管束模型建立頁巖微納尺度孔隙中氣體流動模型。

基于文獻(xiàn)[29］，考慮真實氣體效應(yīng)下有機質(zhì)單根毛細(xì)管中摩爾質(zhì)量通量的計算式為

式中：Jv——黏性流動質(zhì)量通量，kg/（m2·s）；Jt——分子擴散質(zhì)量通量，kg/（m2·s）；Js——表面吸附擴散質(zhì)量通量，kg/（m2·s）；λ——孔隙毛細(xì)管半徑，m；ρg——氣體密度，kg/m3；Δp——氣體壓力差，MPa；μg——氣體黏度，mPa·s；M——氣體摩爾質(zhì)量，kg/mol；Lt——真實毛細(xì)管長度，m；Kn——克努森數(shù)；Z——氣體偏差因子；R——摩爾氣體常數(shù)，J/（mol·K）；T——地層溫度，℃；cg——氣體壓縮系數(shù)，MPa?1；dm——甲烷分子直徑，m；θ——吸附層在孔隙表面的覆蓋率；Ds——氣體表面擴散系數(shù)，m2/s；CL——最大吸附量，mol/m3；pL——氣體Langmuir 吸附壓力，MPa。

基于分形理論，在最小和最大毛細(xì)管直徑范圍內(nèi)對單根毛細(xì)管中總質(zhì)量通量J（λ）積分，可以獲得毛細(xì)管總數(shù)為NF的巖石基質(zhì)迂曲毛管束總摩爾質(zhì)量，其表達(dá)式為

式中：QT——迂曲毛管束總摩爾質(zhì)量，kg/mol；λmin——孔隙毛細(xì)管最小半徑，m；λmax——孔隙毛細(xì)管最大半徑，m；NF——毛細(xì)管束總個數(shù)。

達(dá)西滲流摩爾質(zhì)量流量公式為

式中：?p——氣體壓力梯度，MPa/m；L0——巖樣直線邊長，m；KOm——頁巖有機質(zhì)孔隙中氣體表觀滲透率，10?3μm2。

將式（2）、式（3）聯(lián)立可得到頁巖有機質(zhì)微納孔隙中考慮黏性流、分子擴散和表面擴散真實狀態(tài)下的氣體表觀滲透率，其表達(dá)式為

式 中：λOmax—— 有 機 質(zhì) 孔 隙 最 大 直 徑，m；λOmin——有機質(zhì)孔隙最小直徑，m；Df——毛管束分形維度；DT——迂曲度分形維度。

無機質(zhì)孔隙中，孔隙表面吸附氣體能力弱，吸附氣量可忽略。采用分形毛管束模型，忽略孔隙表面吸附擴散，得到無機質(zhì)孔分形表觀滲透率為

式中：λImax——無機質(zhì)孔隙最大直徑，m；λImin——無機質(zhì)孔隙最小直徑，m；KIm——頁巖無機質(zhì)孔隙中氣體表觀滲透率，10?3μm2。

頁巖氣藏微?納米尺度滲流表觀滲透率計算公式為

式中：Kapp——頁巖氣藏微?納米尺度滲流表觀滲透率，10?3μm2；ε——有機質(zhì)比例。

1.3 滲流數(shù)學(xué)模型

基質(zhì)系統(tǒng)滲流控制方程為

式中：pm——基質(zhì)系統(tǒng)壓力，MPa；σ——形狀因子；pf——裂縫系統(tǒng)壓力，MPa；?m——基質(zhì)孔隙度；qdes——頁巖氣在基質(zhì)表面解吸氣量，kg/m3。

隨著氣井生產(chǎn)儲層壓力逐漸降低，吸附在頁巖基質(zhì)表面的頁巖氣開始解吸，根據(jù)Langmuir 等溫吸附公式，當(dāng)基質(zhì)表面動態(tài)吸附解吸平衡時

式中：ρs——頁巖基質(zhì)密度，kg/m3；VL——Lang‐muir 體積，m3/kg；Vstd——標(biāo)況下單位摩爾質(zhì)量氣體體積，m3/mol。

頁巖氣藏在生產(chǎn)過程中隨著儲層壓力的降低裂縫逐漸閉合，導(dǎo)致滲透率降低，在計算過程中需要對裂縫系統(tǒng)滲透率進行修正。裂縫系統(tǒng)流體滲流速度為

式中：vg——裂縫系統(tǒng)流體滲流速度，m/s；Kfe——裂縫應(yīng)力敏感的裂縫滲透率，10?3μm2；Bg——氣體體積系數(shù)。

考慮裂縫應(yīng)力敏感的裂縫滲透率修正公式為

式中：Kfi——頁巖儲層裂縫系統(tǒng)原始滲透率，10?3μm2；df——應(yīng)力敏感系數(shù)，MPa?1；pfi——裂縫系統(tǒng)初始壓力，MPa。

氣體通過裂縫系統(tǒng)時表現(xiàn)出高速非達(dá)西流動特征，根據(jù)Forchheimer 高速非達(dá)西公式

式中β——紊流系數(shù)。

裂縫系統(tǒng)滲流控制方程為

式中：qwell——單條水力裂縫產(chǎn)氣量，m3/d；?f——裂縫孔隙度，%。

不考慮水平井筒阻力損失和存儲效應(yīng)的擬穩(wěn)態(tài)井模型為

式中：Qwell——壓裂水平井的總產(chǎn)氣量，m3；nF——水力裂縫條數(shù)；Pgi——第i條水力主裂縫的采氣指數(shù)，m3/（MPa·d）；pavei——第i條裂縫與井筒交會處網(wǎng)格壓力，MPa；pwf——井底流壓，MPa。其中，Pgi表達(dá)式為

式中：Kfei——第i條裂縫修正裂縫滲透率，10?3μm2；bfi——第i條裂縫寬度，m；r0i——第i條裂縫的等效井半徑，m；rw——水平井井筒半徑，m；sc——井筒表皮系數(shù)。

儲層中流體流入裂縫過程可以等效為流入高度為bf，底部半徑為r0的等效垂直井，如圖2 所示。等效井半徑計算公式為

圖2 Peaceman井模型示意Fig. 2 Schematic diagram of Peaceman well model

式中：r0i——等效井半徑，m；lFi——第i條裂縫長度，m；hFi——第i條裂縫高度，m。

公式（1）—公式（15）構(gòu)建起頁巖氣藏多級壓裂水平井滲流綜合控制方程，方程初始條件滿足

式中：pmi——基質(zhì)系統(tǒng)初始壓力，MPa；α——邊界處外法向單位方向。

1.4 模型求解計算

依據(jù)有限差分原理，利用五點差分計算格式對公式（7）和公式（12）進行離散，采用追趕法計算得到裂縫系統(tǒng)壓力分布，逐點求解基質(zhì)系統(tǒng)壓力分布。

對基質(zhì)系統(tǒng)，有限差分求解方程表示為

式中：下標(biāo)m——基質(zhì)系統(tǒng)；下標(biāo)i——計算區(qū)域x方向第i個離散網(wǎng)格；下標(biāo)j——計算區(qū)域y方向第j個離散網(wǎng)格；上標(biāo)n——第n個計算時間步；——第（i，j）個網(wǎng)格在第n個時間步時基質(zhì)系統(tǒng)壓力，MPa；Cmt——基質(zhì)系統(tǒng)綜合壓縮系數(shù)，MPa?1；Vi，j——第（i，j） 個 網(wǎng) 格 的 體 積，m3；Δt——計算時間步長；Qmf——基質(zhì)系統(tǒng)和裂縫系統(tǒng)之間的竄流量，m3/s。

其中：

式中：Δxi——計算區(qū)域x方向第i個網(wǎng)格長度；Δyi——計算區(qū)域y方向第i個網(wǎng)格長度；h——計算區(qū)域儲層厚度，m。

對裂縫系統(tǒng)，有限差分求解方程表示為

式中：下標(biāo)f——裂縫系統(tǒng)；pnfi，j——第（i，j）個網(wǎng)格在第n個時間步時裂縫系統(tǒng)壓力，MPa；Cft——裂縫系統(tǒng)綜合壓縮系數(shù)，MPa?1。

其中：

求解過程計算流程如圖3 所示。

圖3 模型求解流程Fig. 3 Model solution process

2 模型驗證及影響因素

2.1 模型驗證

采用文獻(xiàn)[30］中給出的Barnett 頁巖壓裂水平井生產(chǎn)數(shù)據(jù)進行驗證計算。該頁巖氣井水平段長度為853.4 m，儲層厚度為90.0 m，裂縫簇間距為30.5 m，投產(chǎn)1 560 d，生產(chǎn)初期最高日產(chǎn)氣量為21.2×104m3，生產(chǎn)800 d 后達(dá)到穩(wěn)產(chǎn)階段，穩(wěn)產(chǎn)階段平均日產(chǎn)氣量為3.1×104m3，計算模型輸入?yún)?shù)數(shù)據(jù)見表1。模擬結(jié)果如圖4 所示，本模型計算生產(chǎn)初期日產(chǎn)氣量為23.2×104m3，800 d 后穩(wěn)產(chǎn)階段平均日產(chǎn)氣量為2.8×104m3，本文產(chǎn)能模型預(yù)測趨勢和計算結(jié)果與實際產(chǎn)量匹配良好。

表1 Barnett頁巖氣井基礎(chǔ)數(shù)據(jù)Table 1 Basic data of Barnett shale gas well

圖4 本文模型與Barnett頁巖氣井日產(chǎn)氣量對比Fig. 4 Comparison of gas production between our model and Barnett shale gas well

2.2 儲層參數(shù)

2.2.1 表觀滲透率

多重流動機理是頁巖氣藏流體流動區(qū)別于常規(guī)氣藏的主要特征，圖5 為表觀滲透率對頁巖氣藏壓裂水平井產(chǎn)量的影響。不考慮微觀流動機理將儲層基質(zhì)滲透率設(shè)置為定值，生產(chǎn)1 560 d 后累計產(chǎn)氣量為6.02×106m3?？紤]微觀流動機理生產(chǎn)1 560 d后累計產(chǎn)氣量為7.50×106m3，二者之間累產(chǎn)氣量相差20%以上。不考慮微觀流動機理會低估頁巖氣井的產(chǎn)氣能力，這種誤差會在氣井穩(wěn)產(chǎn)階段進一步放大。生產(chǎn)后期儲層壓力降低，吸附氣解吸增加儲層孔隙中游離氣含量，是保證氣井后期能夠穩(wěn)定生產(chǎn)的關(guān)鍵。在建立頁巖氣藏壓裂水平井產(chǎn)能模型時需建立考慮全面的氣體表觀滲透率模型。

圖5 表觀滲透率對頁巖氣壓裂水平井產(chǎn)量的影響Fig. 5 Effect of apparent permeability on shale gas production of fracturing horizontal well

2.2.2 Langmuir體積

利用Langmuir 體積表征頁巖基質(zhì)解吸脫附氣體的能力，圖6 表示Langmuir 體積分別取0、0.003、0.005 m3/kg 時對頁巖氣藏壓裂水平井日產(chǎn)氣量和累計產(chǎn)氣量的影響。從圖6 中可看出，VL數(shù)值越大，日產(chǎn)氣量和累計產(chǎn)氣量越大，且氣井遞減周期越長，中后期階段氣井日產(chǎn)量越大。方案二和方案三生產(chǎn)1 560 d 后累計產(chǎn)氣量是方案一的1.3 倍和1.6 倍。隨著儲層壓力逐漸降低，吸附在頁巖基質(zhì)有機孔表面的氣體脫附解吸，補充了基質(zhì)孔隙中游離氣含量，減緩了生產(chǎn)后期氣井產(chǎn)量遞減的趨勢。頁巖氣的吸附解吸是頁巖氣藏開采的重要流動特征，忽略氣體解吸的影響預(yù)測氣井產(chǎn)量將偏低[31］。

圖6 Langmuir體積對頁巖氣壓裂水平井產(chǎn)量的影響Fig. 6 Effect of Langmuir volume on shale gas production of fracturing horizontal well

2.2.3 應(yīng)力敏感系數(shù)

隨著儲層壓力逐漸降低，天然裂縫系統(tǒng)受到的有效應(yīng)力增大，裂縫逐漸閉合。圖7 表示裂縫應(yīng)力敏感系數(shù)分別取0、0.05、0.10 MPa?1時對頁巖氣藏壓裂水平井日產(chǎn)氣量和累計產(chǎn)氣量的影響。從圖7可以看出，隨著應(yīng)力敏感系數(shù)的增大，氣井日產(chǎn)氣量和累計產(chǎn)氣量均出現(xiàn)下降。方案二和方案三生產(chǎn)1 560 d 后氣井累計產(chǎn)氣量相比方案一分別下降了15%和37%。根據(jù)公式（10）可知，裂縫應(yīng)力敏感系數(shù)越大，水力裂縫閉合越快，裂縫滲透率降低程度越大，導(dǎo)致氣井生產(chǎn)前期日產(chǎn)氣量遞減較快。隨著應(yīng)力敏感系數(shù)的增大，氣井日產(chǎn)氣量遞減程度增大。對于高應(yīng)力敏感性儲層，生產(chǎn)初期要選擇合理的生產(chǎn)制度，避免前期儲層壓力降幅過大導(dǎo)致氣井產(chǎn)量下降較快[32］。

圖7 應(yīng)力敏感效應(yīng)對頁巖氣壓裂水平井產(chǎn)量的影響Fig. 7 Effect of stress sensitivity on shale gas production of fracturing horizontal well

2.3 布縫模式

水力裂縫的布縫模型影響氣井控制范圍，對氣井的產(chǎn)量有直接影響。本文設(shè)置了3 種布縫模型：U 形布縫、反U 形布縫和鋸齒形布縫，模擬區(qū)域大小為135 m×290 m×90 m，裂縫簇間距為15 m，模型輸入?yún)?shù)參考表1，模型如圖8（a）―（c）所示。模擬生產(chǎn)1 560 d 后，儲層壓力下降范圍如圖8（d）―（f）所示，U 形布縫和反U 形布縫兩種布縫模式縫間的壓降程度要大于鋸齒形布縫，但鋸齒形布縫壓降范圍要大于另外2 種模式。從圖9 生產(chǎn)數(shù)據(jù)上看：U 形布縫累計產(chǎn)氣量>反U 形布縫累計產(chǎn)氣量>鋸齒形布縫累計產(chǎn)氣量，U 形布縫由于外側(cè)裂縫較長控制范圍較大，中間裂縫生產(chǎn)干擾較少，因此產(chǎn)量最高，現(xiàn)場水力壓裂施工時建議采用U 形布縫模型。

圖8 布縫模式對壓裂水平井生產(chǎn)動態(tài)的影響Fig. 8 Effect of fractures pattern on production perfor‐mance of fracturing horizontal well

圖9 布縫模式對頁巖壓裂水平井產(chǎn)量的影響Fig. 9 Effect of fractures pattern on shale gas production of fracturing horizontal well

2.4 裂縫形態(tài)

考慮裂縫彎曲形態(tài)對氣井產(chǎn)量的影響，建立平直縫和彎曲縫2 種裂縫形態(tài)，如圖10（a）、（b）所示。模型計算區(qū)域大小和物性參數(shù)取值與2. 3 中模型相同，兩種裂縫形態(tài)保持總縫長為200 m。從圖10（c）、（d）可以看出，裂縫形態(tài)影響著儲層壓力降落范圍，彎曲裂縫儲層壓降范圍更大，裂縫間壓降程度更大，彎曲裂縫增大了裂縫與儲層基質(zhì)的接觸面積，提高了裂縫控制范圍。生產(chǎn)1 560 d 后，彎曲裂縫的累計產(chǎn)氣量要大于平直裂縫，這種增產(chǎn)效果在氣井生產(chǎn)中后期效果明顯，如圖11 所示。提高水力裂縫復(fù)雜度有助于提高壓裂水平井的累計產(chǎn)氣量。

圖10 裂縫形態(tài)對壓裂水平井生產(chǎn)動態(tài)的影響Fig. 10 Effect of fractures geometry on production performance of fracturing horizontal well

圖11 裂縫形態(tài)對頁巖壓裂水平井產(chǎn)量的影響Fig. 11 Effect of fractures geometry on shale gas production of fracturing horizontal well

3 結(jié) 論

（1）采用雙重介質(zhì)模型隱式表征天然裂縫，離散裂縫模型顯式表征水力裂縫，能較好地刻畫頁巖氣藏壓裂井基質(zhì)?天然裂縫?水力裂縫的流動關(guān)系。

（2）在計算頁巖氣藏壓裂水平井氣量時，忽略頁巖氣微觀流動機理會導(dǎo)致較大的計算誤差，建立全面綜合的表觀滲透率模型是提高產(chǎn)量計算精度的關(guān)鍵。Langmuir 體積越大、裂縫應(yīng)力敏感系數(shù)越小，單井產(chǎn)量越高。

（3）水力裂縫的分布和形態(tài)對氣井產(chǎn)量和儲層壓降范圍有較大影響。U 形布縫氣井產(chǎn)量要大于反U 形布縫和鋸齒型布縫，彎曲縫氣井產(chǎn)量要大于平直縫。在壓裂施工設(shè)計時，優(yōu)先推薦段內(nèi)U 形布縫，并采用轉(zhuǎn)向暫堵技術(shù)提高裂縫的復(fù)雜度。