華乾鋒

摘 要：隨著教育的發(fā)展，所謂整體思想是指探究解題過(guò)程中，從全局出發(fā)，把握問(wèn)題的整體形式與結(jié)構(gòu)特征，而后進(jìn)行的綜合分析以及處理的方法.對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行探究與解答時(shí)，把某些表面看來(lái)獨(dú)立不相干，但是其實(shí)存在緊密聯(lián)系的量進(jìn)行整體的考量。進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的靈活性。此法不但能脫離傳統(tǒng)固定模式的制約，讓問(wèn)題從復(fù)雜化轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單化、陌生化轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜せ?，甚至還能解決一些常規(guī)方法都無(wú)法解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，尤其在高中數(shù)學(xué)的各方面都有著極其廣泛與實(shí)際性的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：整體思想教學(xué)；高中數(shù)學(xué)；解題；應(yīng)用

引言

伴隨著國(guó)內(nèi)教育改革進(jìn)程的不斷深化，現(xiàn)階段我國(guó)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)水平也得到了顯著提高。在新課改的大背景下，傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)解題方式已經(jīng)不能夠再適應(yīng)新時(shí)期的教學(xué)需求。高中數(shù)學(xué)涉及很多思想，其中整體思想有著廣泛的應(yīng)用，用于解題能有效降低計(jì)算復(fù)雜度，提高解題效率，有助于學(xué)生更好地樹立解題的自信。教學(xué)中應(yīng)做好相關(guān)習(xí)題類型的匯總以及展示，使學(xué)生在以后學(xué)習(xí)中遇到類似問(wèn)題能夠迅速破題。

1整體思想在數(shù)學(xué)解題中的意義

對(duì)于高中數(shù)學(xué)解題而言，不僅是一種高效的解題思路，而且還是一種靈活的、立足于整體的宏觀數(shù)學(xué)思維。將整體思想運(yùn)用到了數(shù)學(xué)解題當(dāng)中，既能夠?qū)⒃緩?fù)雜、交叉性強(qiáng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得直觀、立體，而且還可以利用視角放大的方式來(lái)對(duì)問(wèn)題本身的結(jié)構(gòu)以及相關(guān)條件進(jìn)行層次化處理，將解題過(guò)程變得更加簡(jiǎn)潔。整體思想的運(yùn)用，還能夠讓學(xué)生在枯燥、無(wú)趣的數(shù)學(xué)解題過(guò)程當(dāng)中有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生具備舉一反三、即學(xué)即用能力的同時(shí)，將已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)化地歸納與匯總。由此可見，整體思想在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程當(dāng)中具有極為重要而且現(xiàn)實(shí)的意義。

2整體思想教學(xué)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

2.1用于解答數(shù)列習(xí)題

例：已知等差數(shù)列{an}中a1+a3+a9=20，則4a5－a7=（? ）。

A．20 B．30 C．40 D．50

分析該習(xí)題考查等差數(shù)列知識(shí)應(yīng)用的靈活性，難度不大．目的在于通過(guò)運(yùn)用整體思想進(jìn)行解答，給學(xué)生帶來(lái)解題思路上的指引。解∵a1+a3+a9=20，則a1+a1+2d+a1+8d=20，即3a1+10d=20。4a5－a7=4（a1+4d）－（a1+6d）=3a1+10d=20，正確選項(xiàng)為A。應(yīng)用點(diǎn)評(píng)遇到數(shù)列類型的習(xí)題，應(yīng)積極回顧數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，采用整體思想進(jìn)行求解，可避免在解題中走彎路，提高解題效率。

2.2用于解答圓錐曲線習(xí)題

高中圓錐曲線習(xí)題解題思路較為簡(jiǎn)單，但實(shí)際動(dòng)筆作答時(shí)若不注重整體思想的應(yīng)用，計(jì)算非常繁瑣，很容易無(wú)功而返。教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行觀察與思考，把握相關(guān)方程的規(guī)律，將相關(guān)方程看成一個(gè)整體進(jìn)行處理，以避免過(guò)多的計(jì)算。

例：已知拋物線y2=2px上有三點(diǎn)A（2，2），B，C，其中直線AB，AC是圓（x－2）2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為（? ）。

A．x+2y+1=0B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0D。x+3y+2=0分析將點(diǎn)A（2，2）代入y2=2px中易得y2=2x。①因?yàn)閳A的方程為（x－2）2+y2=1，則r=1，設(shè)圓心為O，畫出拋物線和圓的圖象，如圖1所示。

因?yàn)锳O=2，所以∠BAO=30°，則直線AB與x軸的夾角為60°，則直線AB的斜率為根號(hào)3，直線AC的斜率為負(fù)根號(hào)3，則直線AB的方程為y負(fù)根號(hào)2=3（x－2），②直線AC的方程為y負(fù)根號(hào)2=－3（x－2）。③如采用常規(guī)方法，將直線和拋物線聯(lián)立求出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，難度較大，而采用整體法可大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程。具體做法為：②×③可得（y－2）2=3（x－2）2，將①代入替換x得到（y－2）2=3（y2－42）2=34（y+2）2（y－2）2，即34（y+2）2=1，展開得到3（y2+4y+4）=4，將①代入替換掉y2，得到3x+6y+4=0。故選B。

2.3在應(yīng)用題中的應(yīng)用

學(xué)困生有一個(gè)共同特點(diǎn)，看到題干較長(zhǎng)的題目就畏縮不前，覺得自己肯定做不出來(lái)。而應(yīng)用題一般都有比較長(zhǎng)的文字描述，為了鼓勵(lì)學(xué)生大膽向前，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，在解一些應(yīng)用題時(shí)可利用整體思想化繁為簡(jiǎn)，直擊問(wèn)題的本質(zhì)，起到出奇制勝的教學(xué)效果。例：李明、陳紅和吳剛?cè)齻€(gè)人是同班同學(xué)，李明和陳紅分別從自家出發(fā)朝對(duì)方家步行，他們兩家的距離為30km，李明的速度是2km/h，陳紅的速度是1km/h.吳剛則以5km/h的騎行速度往返于李明和陳紅之間，若三人同時(shí)出發(fā)，至兩人相遇，吳剛騎行的路程是多少千米？本題待求的量是吳剛騎行的路程，首先要知道吳剛與其他兩人中的一人相遇騎行的路程，再將各段路程加在一起就是待求距離.此過(guò)程次數(shù)繁多，計(jì)算復(fù)雜，難免會(huì)出現(xiàn)紕漏.從整體思想的角度去思考，只要從“路程=速度×?xí)r間”的公式著手即可.吳剛的騎行速度是5km/h，他所騎行的時(shí)間就是李明與陳紅相向而行至相遇所花費(fèi)的時(shí)間.列式為：30÷（2+1）=10h，5×10=50km.從這個(gè)角度來(lái)思考，問(wèn)題變得異常清晰，解題不再有什么障礙，因數(shù)據(jù)比較小且容易計(jì)算，更加不會(huì)因計(jì)算失誤而導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生.應(yīng)用題主要是為了訓(xùn)練與考查學(xué)生的思維能力，整體思想在本題的應(yīng)用，即實(shí)現(xiàn)了對(duì)問(wèn)題的再創(chuàng)造，又有效地激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.因此，整體思想的運(yùn)用是解決應(yīng)用題的法寶之一。

2.4利用整體思想化繁為簡(jiǎn)

在高中數(shù)學(xué)當(dāng)中的‘整體代換’是其中重要的組成，是運(yùn)用新元性質(zhì)以及計(jì)算公式進(jìn)行代換的方式來(lái)將計(jì)算復(fù)雜的公式變得簡(jiǎn)單化，以確保學(xué)生能夠輕松地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。高中數(shù)學(xué)當(dāng)中有一些內(nèi)容是關(guān)于非實(shí)際數(shù)值問(wèn)題的，這些內(nèi)容的主要成分是多項(xiàng)式，所得出的結(jié)果是某個(gè)公式，也有可能是某個(gè)字母。因?yàn)槎囗?xiàng)組成內(nèi)容復(fù)雜且計(jì)算量大，因此容易出錯(cuò)。例如，教師在講解（a1+a2+...an-1）*（a2+a3+...an-1+an）-（a2+a3+...+an-1）*（a1+a2+...an-1+an）這個(gè)多項(xiàng)式的時(shí)候，若依據(jù)題目逐一計(jì)算只會(huì)將計(jì)算過(guò)程變得復(fù)雜、冗長(zhǎng)，若將這個(gè)多項(xiàng)式變化后并運(yùn)用整體代換思維就能夠輕松解決問(wèn)題。設(shè)a2+a3+...an-1是未知數(shù)x，那么原數(shù)值為（a1+x）*（x+an）-x*（a1+x+an），再依據(jù)該算式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化后的所得出的答案為a1an。由此可見，通過(guò)這種整體代換的方式不但可以有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題速率，而且還可以明顯減少學(xué)生的計(jì)算時(shí)間與難度，可謂是一舉多得。

結(jié)語(yǔ)

利用整體思想簡(jiǎn)便了運(yùn)算，對(duì)一些偏難的常規(guī)思維比較難解決的問(wèn)題，可以得到巧妙地解決。我們?nèi)粘５臄?shù)學(xué)教學(xué)不能滿足于單純的知識(shí)傳授，就題論題，搞題海戰(zhàn)術(shù)，應(yīng)該在學(xué)生已有知識(shí)與應(yīng)用能力上架一座橋梁，使學(xué)生能夠掌握最本質(zhì)的東西———這就是數(shù)學(xué)思想方法。對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解、掌握并能靈活運(yùn)用，才是創(chuàng)造力培養(yǎng)的有效途徑。

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