劉久成

培養(yǎng)小學生的運算能力是歷次課程改革不容回避的問題，重視發(fā)展學生的運算能力，是我國數(shù)學教學的特色所在。然而，從教材和教學的實際來看，認數(shù)始終作為運算的前提條件，不同數(shù)的認識有不同的背景和獨特的方法。比如，整數(shù)（指自然數(shù)）強調計數(shù)，小數(shù)注重聯(lián)系現(xiàn)實生活，分數(shù)強調等分事物。數(shù)的運算也有各自的算理，對整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的算法也進行了不同的歸納?？傊憷砦茨芡癸@數(shù)的意義和本質，算法之間也缺乏聯(lián)系。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》提出課程內容要進行結構化整合，把“數(shù)的認識”與“數(shù)的運算”整合為“數(shù)與運算”這一個主題，包括整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的認識及其四則運算。如此，溝通了數(shù)的概念與數(shù)的運算之間的關聯(lián)，有助于學生從整體上理解數(shù)與運算的知識和方法，感悟數(shù)與運算之間的密切聯(lián)系，體會數(shù)的運算本質上的一致性，也將促進學生數(shù)感、符號意識、運算能力、推理意識等核心素養(yǎng)的提升。如何理解落實這一新的要求，引導學生對運算一致性進行探索，促進學生加強知識間的相互聯(lián)系和對數(shù)學本質的認識，從而使其形成更為整體而結構化的數(shù)學知識呢？筆者認為，可以從以下幾個方面著手展開探索。

一、數(shù)概念的一致性

數(shù)量來自對事物（事件、物體）量的表達，而數(shù)正是對數(shù)量抽象化的結果。小學生所認識的數(shù)主要是整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)，這些都是對現(xiàn)實世界事物數(shù)量的抽象，對它們的認識是學習數(shù)學最重要的基礎。

數(shù)的形成經(jīng)歷了一個漫長的過程，從實物符號記數(shù)到象形符號記數(shù)，再到數(shù)字符號記數(shù)。記數(shù)方法也多種多樣，如采用加減法原則的羅馬數(shù)字記數(shù)制、采用位值原則的阿拉伯數(shù)字記數(shù)制等。采用位值原則的十進制計數(shù)法由于只要1、2……9、0 十個數(shù)字以及計數(shù)單位就能表示任意大小的數(shù)而被普遍采用?？梢哉f，十進制計數(shù)法是數(shù)學史上無與倫比的光輝成就。從數(shù)的構造來看，計數(shù)單位是構造數(shù)的基礎，也是認數(shù)的關鍵，有了計數(shù)單位，同一個數(shù)字出現(xiàn)在不同的數(shù)位上就表示不同大小的數(shù)。

認識整數(shù)時，1～9 的認識比較容易，10 的認識就相對比較困難。9加1是十個1，十個1是1個“十”，1個“十”如何表示呢？用1來表示就會與1 個“一”相混淆，如果用太多符號表示也不方便，這時人們想到用“10”來表示。十位上的“1”表示1 個“十”，個位上的“0”表示沒有，是用來占位的。這樣，學生能感受到十進制計數(shù)法的特點，認識到位置值的重要性以及“0”占位的必要性。隨著認數(shù)的擴大，由一個一個地數(shù)到十個十個地數(shù)、百個百個地數(shù)……學生感受到記數(shù)的過程就是計數(shù)單位的創(chuàng)造過程，計數(shù)單位的重要性也就凸顯出來了。

分數(shù)的產生來源于多方面的需要，分數(shù)不僅可以比較大小，而且具有運算功能。認識分數(shù)時，分數(shù)的計數(shù)單位（也就是分數(shù)單位）同樣是表示分數(shù)的關鍵。任何一個分數(shù)都是若干個分數(shù)單位的累加。分數(shù)單位雖有大小之分，但不是十進制，也沒有明確的倍數(shù)關系，教材和教學對此都強調不夠，以至于學生認識不到分數(shù)也有計數(shù)單位。

小數(shù)是基于十進分數(shù)定義的，具有十進位制的特點，可以與整數(shù)一起構成一個完整的位值制系統(tǒng)。每一個整數(shù)或小數(shù)的大小，不僅取決于表示它的數(shù)字符號，還取決于這些數(shù)字符號所在的位置值，即它的計數(shù)單位。

因此，計數(shù)單位是構造數(shù)的共同基礎，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)都可以看作計數(shù)單位的“組裝”，認識數(shù)的核心在于認識計數(shù)單位，計數(shù)單位的統(tǒng)領作用是數(shù)概念的一致性所在。

二、運算意義的關聯(lián)性

數(shù)概念是運算的基礎，通過運算不僅能反映引進數(shù)的價值，而且可以加深對數(shù)概念的理解。集合論是現(xiàn)代數(shù)學的基礎，自然數(shù)的四則運算都可以基于集合的基數(shù)理論和序數(shù)理論進行定義。

在基數(shù)理論中，自然數(shù)的加法的和是指兩個不相交的有限集合A、B的并集C的基數(shù)；自然數(shù)的減法的差是指一個有限集合A與其子集B的差集C的基數(shù)；自然數(shù)的加法與減法的結果都可以通過數(shù)數(shù)獲得，既可以數(shù)并集與差集中元素的個數(shù)，也可以在集合A的基數(shù)上繼續(xù)數(shù)出b個1 來，或者在集合A的基數(shù)上往回數(shù)出b個1 來?！耙弧笔亲罨镜挠嫈?shù)單位，這一點小學生容易理解，小學數(shù)學教材中通常也是這樣幫助學生理解加減法意義的。

自然數(shù)的乘法同樣可以用集合的基數(shù)來定義。兩個有限集合A、B的基數(shù)分別是a、b，由A中取一個元素u，B中取一個元素v，組成一個有序數(shù)對（u、v），所有這樣的有序數(shù)對構成的集合稱為A和B的笛卡爾乘積集合A×B（也叫直積集合A×B），其基數(shù)就是a與b的積。在小學數(shù)學教材里，乘法是用“同數(shù)連加”的方法來定義的，其實兩者可以統(tǒng)一起來。比如，3+3+3+3 按同數(shù)連加表示成3×4或4×3，也可以表示成每排有3個○，共4排，形象地表示成一個方陣，這就形成了笛卡爾乘積集合。

自然數(shù)的除法是指把有限集合C（基數(shù)c）恰好分成a個有相同基數(shù)b的子集B，記作c÷b=a。分成a個有相同基數(shù)b的子集，表明從c中連續(xù)減去a個b，所以除法又可以看作“同數(shù)連減”。小學數(shù)學教材中除法的引入通常結合分東西，“每份分得同樣多，可以分成幾份？”就運用了除法的集合意義。這樣理解除法比較直觀，具有可操作性，也利于學生感受除法的實際價值。

數(shù)的運算從更抽象的層面都可以看作集合A×A到A的對應，也就是對于集合A×A中的序偶（a1，a2），集合A中都有唯一確定的元素a與之對應，我們就說集合A上定義了一種運算。這也反映了數(shù)的運算在高階抽象層面上的一致性。小學數(shù)學中所說的運算，是指定義在整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)集合上的運算，包括加法、減法、乘法和除法四則運算，也稱算術運算。它們之間的關系可以通過下圖1 簡單加以表明?？梢?，減法和乘法是在加法的基礎上衍生出來的，除法既可以看作同數(shù)連減的簡便運算，也可以看作乘法的逆運算，所以，加法是其他三種運算的基礎。

（圖1）

從集合的序數(shù)意義出發(fā)，也可以給出自然數(shù)四則運算的定義。由于基數(shù)意義下的四則運算相對直觀，易于理解，通常為小學數(shù)學教材所采用。

三、數(shù)與運算的整體性

首先，我們必須看到數(shù)與運算密切相關，數(shù)失去運算也就沒有意義了。數(shù)的認識包括數(shù)的表達與數(shù)的大小，整數(shù)、小數(shù)的表達有賴于記數(shù)符號和位值概念，任何一個整數(shù)或小數(shù)都是不同計數(shù)單位的數(shù)相加的結果，而每一個位置上的數(shù)又都是該數(shù)字值與其位置值的積，如個位上的3 是3×1 的積，十位上的3 是3×10 的積，百位上的3 是3×100 的積。因此，整數(shù)或小數(shù)的認識離不開運算。同樣，任何一個分數(shù)也都可以看作由幾個分數(shù)單位相加得到的，如是3個相加的結果，這可以通過圖形直觀來說明。數(shù)的大小也與運算有關，如在自然數(shù)的認識中，通過自然數(shù)的“直接后繼”（+1）得到后續(xù)自然數(shù)，這便在定義自然數(shù)時給出了自然數(shù)的加法。隨著認數(shù)增大，出現(xiàn)更大的計數(shù)單位“十”“百”“千”“萬”等。不難看出，整數(shù)、小數(shù)的加減法本質上是相同計數(shù)單位的數(shù)的累加與遞減；分數(shù)相加減時，從分數(shù)的意義出發(fā)，需要統(tǒng)一分數(shù)單位。因此，無論是整數(shù)、小數(shù)還是分數(shù)的認識，都與運算密不可分。

其次，數(shù)的認識與運算分別是陳述性知識與程序性知識。教育心理學研究表明，陳述性知識是學習程序性知識的前提條件，程序性知識的形成會促進新的陳述性知識的掌握。因此，單純教學數(shù)的概念意義不大。有學者指出，只向學生傳授陳述性知識是遠遠不夠的，必須把陳述性知識的教學與程序性知識的訓練有機結合起來。［1］學習四則運算必須通過理解算理達到掌握算法，而對算理的理解必須依據(jù)對數(shù)的意義和運算意義的理解，就像整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)相加減，都要歸結為相同計數(shù)單位（分數(shù)單位）上的數(shù)相加減。讓學生從數(shù)的意義和計數(shù)單位的視角理解算理，建立起概念性知識和程序性知識的聯(lián)系，有助于他們形成整體性的知識結構。

四、算理和算法的一致性

審視歷次教學大綱或課程標準，都強調算理、算法的重要性。算法是指在解相同類型的計算或問題的時候，按照一定的計算方法和步驟總能得到結果的程序。［2］算理則是指說明這種程序的合理性或理論依據(jù)。

在小學數(shù)學四則運算中，整數(shù)加減法強調相同數(shù)位對齊，小數(shù)加減法強調小數(shù)點對齊，分數(shù)加減法則強調分母相同才能直接相加減。其中，算法的一致性是明顯的，也就是要求相同計數(shù)單位的數(shù)才能直接相加減。其算理在于，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則運算本質上都是對計數(shù)單位進行運算，加減法表現(xiàn)為對計數(shù)單位的累加或遞減，由于乘法是“同數(shù)連加”，除法是“同數(shù)連減”，作為加減法的高級運算，乘除法仍然可以看作對計數(shù)單位的累加或遞減，在算理上是一致的。從另一個角度來看，比如，整數(shù)乘法也可以通過將乘數(shù)拆分成不同計數(shù)單位的數(shù)的和，再依據(jù)運算律進行運算，如24×3=（2×10+4×1）×（3×1）=（2×3）×（10×1）+（4×3）×（1×1）。也就是計數(shù)單位上的數(shù)與計數(shù)單位上的數(shù)相乘，計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘，再把相同計數(shù)單位上的數(shù)合起來。這樣的橫式展示了整數(shù)乘法的算理，小數(shù)乘法、分數(shù)乘法以及除法運算的算理也可以類似說明。不過，如此說明需要以運算律和有關運算性質為基礎，適合在中高年級的適當階段或單元復習整理時進行概括，這也是新課標在第二、三學段的“教學提示”中提出要求的原因所在。

五、運算規(guī)律的共通性

規(guī)律是指事物之間內在的必然聯(lián)系。整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的四則運算有許多規(guī)律性知識，比如，加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律、分配律，乘法運算中積的變化規(guī)律，除法運算的商不變性質等，將它們加以聯(lián)系和貫通，有助于學生加深對運算意義及運算規(guī)律的本質認識，并進行有效遷移。

比如，在整數(shù)運算中總結出來的加法交換律、加法結合律、乘法交換律等，隨著數(shù)域的擴大，常常直接拿來使用，一般不進行說理或證明。其實這正是讓學生感受和理解算法一致性的素材。比如，整數(shù)乘法交換律對于分數(shù)乘法而言同樣適用，我們可以結合圖形直觀稍作說明：，可以表示先分一個矩形的，再分其中的；也可以表示先分這個矩形的，再分其中的。由此可見，是相等的。對此，學生是不難理解的。

再如，商不變的性質是在整數(shù)除法中總結出來的重要規(guī)律，不僅可以用于整數(shù)除法運算的簡化，也適用于小數(shù)除法和分數(shù)除法運算，在整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)除法中具有共通性，這一點不難理解。此外，商不變的性質在除法、分數(shù)、比中也具有共通性。我們知道，除法、分數(shù)、比這三個概念的來源不同，除法是作為乘法的逆運算引進的，在已知積和一個因數(shù)時求另一個因數(shù)；分數(shù)通常為了表示平均分時部分與整體的關系，或者說表示除法運算的結果；比實際上是把兩個量進行比較，以一個量去衡量另一個量，當兩個量的順序調換時，就會得到另一個比。三者的概念有一定區(qū)別，但它們又聯(lián)系密切，可以從“測量”的角度加以統(tǒng)一。當用一條較短的線段a去測量另一條較長的線段b時，如果測量三次剛好量盡，我們可以說：線段b的長與線段a的長的比是3∶1；用除法運算來說就是線段b中包含有3 個線段a；用分數(shù)來說就是線段b的長是3 份而線段a的長只占1 份，線段a的長是線段b的長的，或者說，線段b的長是線段a的長的。由于這三個概念可以表達同一件事，具有共通性，相應地，除法的商不變性質、分數(shù)的基本性質、比的基本性質也就可以統(tǒng)一起來。如果把分數(shù)線和比號看作除號，那么分數(shù)的基本性質、比的基本性質和除法的商不變性質就是一致的。即除法中的被除數(shù)和除數(shù)，分數(shù)中的分子和分母，比的前項和后項，都同時乘或除以一個相同的數(shù)（0 除外），其結果不變。這種一致性還體現(xiàn)了數(shù)學中“變中不變”的思想，從運動和變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素，從看似不同的事物中尋找共同的特征，是數(shù)學學習的重要方法。