寇亮

1 引言

大基數(shù)1一個(gè)序數(shù)κ 是基數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)|κ|= κ。是當(dāng)代集合論研究中的一個(gè)重要領(lǐng)域。對(duì)大基數(shù)的研究開(kāi)始于豪斯道夫（F.Hausdorff）對(duì)正則的極限基數(shù)的研究，他發(fā)現(xiàn)這樣的基數(shù)必須滿足κ=?κ，因此是直觀上相當(dāng)“大”的基數(shù)；又因?yàn)椤癦FC+存在這樣的基數(shù)”能證明ZFC一致，故而其一致性強(qiáng)度比ZFC 更強(qiáng)。2大基數(shù)有時(shí)并不指其為很“大”的一個(gè)基數(shù)，而單指它的一致性強(qiáng)度很強(qiáng)，例如0?。我們說(shuō)大基數(shù)A 比B 強(qiáng)，若在ZFC+A 中能證明ZFC+B 一致。隨著大基數(shù)理論的發(fā)展，大基數(shù)根據(jù)一致性強(qiáng)度形成了一個(gè)含有一定秩序的譜系，一些有較強(qiáng)一致性強(qiáng)度但并不斷言特定基數(shù)存在的命題也被統(tǒng)稱為大基數(shù)。3例如，萊因哈特基數(shù)（Reinhardt cardinals）。

為集合論尋找ZFC 之外的新公理并為其辯護(hù)是哥德?tīng)柧V領(lǐng)的一部分，而大基數(shù)恰好是哥德?tīng)柧V領(lǐng)在現(xiàn)代集合論中的重點(diǎn)考慮對(duì)象，故而有時(shí)大基數(shù)也被稱為大基數(shù)公理。哥德?tīng)枺↘.G?del）在其《什么是康托爾的連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題》一文中最早同時(shí)引入了內(nèi)在辯護(hù)和外在辯護(hù)。公理能夠獲得外在辯護(hù)，如果其具有數(shù)學(xué)上的成功性，其中成功性指：“其成果的豐富性，特別是‘能證實(shí)的’成果（的豐富性），即，不使用新公理能證的那些成果，卻在新公理的幫助下能異常簡(jiǎn)潔且容易發(fā)現(xiàn)，還能把許多不同的證明壓縮成一個(gè)”。（[9]，第521 頁(yè)）

與外在辯護(hù)對(duì)應(yīng)的是同時(shí)引入的內(nèi)在辯護(hù)。哥德?tīng)栒J(rèn)為，有一些公理是內(nèi)在必要的（intrinsically necessary），我們要引入的新公理可以“僅僅展開(kāi)了……集合概念的內(nèi)容”（[9]，第518 頁(yè)）就得到辯護(hù)。更具體一點(diǎn)，哥德?tīng)栔赋?，我們?yīng)該尋找那些“斷言‘……的集合’運(yùn)算的更遠(yuǎn)迭代存在的新公理”，集合就是“那些從整數(shù)（或其它良定義的對(duì)象）通過(guò)迭代應(yīng)用‘……的集合’運(yùn)算得到的東西”。更具體地，哥德?tīng)栐谖窗l(fā)表的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的現(xiàn)狀》中指出，“假設(shè)集合的公理系統(tǒng)（ZF）達(dá)到了終點(diǎn)……是錯(cuò)誤的。因?yàn)?，在系統(tǒng)中所有出現(xiàn)的類可以被看作一個(gè)新的對(duì)象的域，且被用來(lái)作為一個(gè)新的起點(diǎn)，來(lái)創(chuàng)造出更高的類型（type）”。（[8]，第46-48 頁(yè)）

考爾納（P.Koellner）在其《集合論基礎(chǔ)——尋找新公理》中總結(jié)道，“簡(jiǎn)單地講，對(duì)新公理的基于集合迭代觀念的內(nèi)在辯護(hù)指表明新公理只是展現(xiàn)了集合這個(gè)觀念的內(nèi)涵。相反，對(duì)集合的外在辯護(hù)則著眼于別的特征，諸如豐富成果或與其它公理的結(jié)構(gòu)性關(guān)系。”麥蒂（P.Maddy）在其《為公理辯護(hù)》中，將內(nèi)在辯護(hù)總結(jié)為自明的、直觀的，是“集合這個(gè)概念”的一部分，而外在辯護(hù)是有效的（effective），豐富的（fruitful）和富有成果的（productive）。

根據(jù)上文提到的哥德?tīng)柋救说年愂雠c考爾納、麥蒂對(duì)內(nèi)在辯護(hù)的粗略概括，不難發(fā)現(xiàn)，粗略地講，所謂內(nèi)在辯護(hù)，是基于集合這個(gè)概念本質(zhì)的辯護(hù)；而外在辯護(hù)是基于數(shù)學(xué)結(jié)果豐富性的辯護(hù)，是一種出于當(dāng)下數(shù)學(xué)實(shí)踐實(shí)用性的辯護(hù)。這兩種都是為潛在新公理的辯護(hù)。

至此，足以引出第一個(gè)問(wèn)題：數(shù)學(xué)需要ZFC 之外的新公理嗎？為什么我們要尋找新公理？如果數(shù)學(xué)不需要ZFC 之外的新公理，那么顯然所有目前所有已知的獨(dú)立性命題都已經(jīng)處于“被解決了”的狀態(tài)：答案就是，ZFC 既不能證明它，也不能證否它。而若持有這樣的觀點(diǎn)，又難以回答為什么將ZFC 作為數(shù)學(xué)證明的出發(fā)點(diǎn)，而不將PA 作為出發(fā)點(diǎn)。若僅將隨意選擇的一族語(yǔ)句作為公理，記錄下它們的邏輯后承，那么，為什么不將所有的符號(hào)串都記錄下來(lái)（將一族矛盾的語(yǔ)句作為公理）？事實(shí)上，ZFC 為何是不同于其它符號(hào)串的公理，即“數(shù)學(xué)是否需要一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的公理系統(tǒng)作為基礎(chǔ)”也是一個(gè)難題。

另一個(gè)問(wèn)題是：若外在辯護(hù)和內(nèi)在辯護(hù)是某些集合論學(xué)家相信大基數(shù)一致性、甚至相信它存在4如前文所述，有些大基數(shù)斷言某個(gè)集合存在，而有些大基數(shù)僅僅是一個(gè)一致性強(qiáng)度較強(qiáng)的斷言。的理由，那么似乎內(nèi)在辯護(hù)并非對(duì)任意哲學(xué)觀有著相同的說(shuō)服力。因?yàn)?，“?nèi)在辯護(hù)”的提法似乎對(duì)非實(shí)在論者而言是荒謬的：由于集合宇宙并不是客觀存在的，因此我們甚至不知道如何討論集合概念的本質(zhì)。

上面由大基數(shù)公理的辯護(hù)所引出的兩個(gè)問(wèn)題，本質(zhì)上都與如何理解公理有關(guān)，因而是與數(shù)學(xué)和哲學(xué)均密切相關(guān)的問(wèn)題。本文試圖從一種特別的實(shí)在論視角回答上述兩個(gè)問(wèn)題。第一個(gè)問(wèn)題，需要闡釋這種實(shí)在論視角下如何看待集合論研究的本質(zhì)；第二個(gè)問(wèn)題，需要闡釋這種實(shí)在論視角下如何看待大基數(shù)內(nèi)在辯護(hù)的可行性。

2 數(shù)學(xué)中的實(shí)在論與反實(shí)在論

傳統(tǒng)上，經(jīng)典的數(shù)學(xué)哲學(xué)依據(jù)不同的哲學(xué)主張被分為邏輯主義、形式主義、直覺(jué)主義，一言以蔽之，它們主要討論以什么樣的方法來(lái)處理元數(shù)學(xué)問(wèn)題。5典型的元數(shù)學(xué)問(wèn)題包括：數(shù)學(xué)合理性來(lái)源的問(wèn)題、算術(shù)的一致性問(wèn)題、一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的完全性問(wèn)題等等。因此，它們主要聚焦于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題。20 世紀(jì)50 年代左右，伴隨著公理化集合論的發(fā)展和數(shù)學(xué)危機(jī)的解除，數(shù)學(xué)家們逐步開(kāi)始遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的討論。由此，傳統(tǒng)的哲學(xué)問(wèn)題逐步在數(shù)學(xué)哲學(xué)討論中嶄露頭角。比如，傳統(tǒng)哲學(xué)中最經(jīng)久不衰的關(guān)于存在的討論在數(shù)學(xué)哲學(xué)中再次復(fù)興。（[20]，第13 頁(yè)）即，對(duì)數(shù)學(xué)而言，真正存在的只有具體的殊相，還是共相也是獨(dú)立于人意識(shí)的存在？這大約對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)哲學(xué)的存在論問(wèn)題：數(shù)學(xué)對(duì)象是什么？它們是獨(dú)立于人心之外的存在嗎？由這個(gè)問(wèn)題又引發(fā)了知識(shí)論的討論，即數(shù)學(xué)知識(shí)是如何獲得的？

一些哲學(xué)家堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)對(duì)象是人心之外獨(dú)立存在的抽象對(duì)象。顯然，數(shù)學(xué)對(duì)象不與任何殊相對(duì)應(yīng)，因此這大約對(duì)應(yīng)著承認(rèn)共相存在。這種觀點(diǎn)被稱為數(shù)學(xué)實(shí)在論或數(shù)學(xué)柏拉圖主義。另一些哲學(xué)家則認(rèn)為，數(shù)學(xué)對(duì)象并不是這些抽象對(duì)象，這樣的觀點(diǎn)被稱為反實(shí)在論或反柏拉圖主義。在巴拉古爾（M.Balaguer）的著作《數(shù)學(xué)中的實(shí)在論與反實(shí)在論》中，他這樣刻畫(huà)實(shí)在論與反實(shí)在論：（[2]，第5 頁(yè)）

1.數(shù)學(xué)中的實(shí)在論指：

(a) 存在諸如數(shù)這樣非時(shí)空的、獨(dú)立于我們的數(shù)學(xué)對(duì)象；

(b) 數(shù)學(xué)理論是在描述這樣的對(duì)象。

2.數(shù)學(xué)中的反實(shí)在論指：

(a) 不存在抽象對(duì)象；

(b) 數(shù)學(xué)理論需要其它解釋。

但是，實(shí)在論與反實(shí)在論對(duì)概括當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué)中的不同觀點(diǎn)仍顯不足。例如，林內(nèi)波（?.Linnebo）在[14]中將柏拉圖主義劃分出對(duì)象實(shí)在論和真值實(shí)在論；麥蒂（P.Maddy）甚至曾將“柏拉圖主義”一詞用于描述將數(shù)學(xué)還原為物理對(duì)象的物理主義。（[15]）柏拉圖主義內(nèi)，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的辯護(hù)也截然不同。比如，蒯因（W.V.Quine）和普特南（H.Putnam）提出的不可或缺論證被視為對(duì)實(shí)在論的一大支持，這也意味著這種實(shí)在論事實(shí)上只接受所謂對(duì)科學(xué)有用的數(shù)學(xué)對(duì)象。反實(shí)在論所指涉的內(nèi)容則更加廣泛：它涵蓋了從自然主義到物理主義等等不同層次的哲學(xué)觀點(diǎn)。

在[26]以及[33]中，王浩曾采納哥德?tīng)柕慕ㄗh，以所接納數(shù)學(xué)對(duì)象由弱到強(qiáng)的線性關(guān)系分析各個(gè)數(shù)學(xué)哲學(xué)的學(xué)派：

……在這個(gè)大跳躍6此處指有窮的數(shù)到無(wú)窮的數(shù)之間的跳躍。見(jiàn)[33]，第272-274 頁(yè)。后，一些熟知的問(wèn)題，如潛無(wú)窮與實(shí)無(wú)窮、構(gòu)造與描述、直謂與非直謂定義、可數(shù)與不可數(shù)集合、強(qiáng)無(wú)窮性公理等等，才以現(xiàn)在的形式出現(xiàn)……

一旦……承認(rèn)了無(wú)窮多的數(shù)，我們就立即面臨著希爾伯特的有窮主義、布勞威爾的直覺(jué)主義和古典數(shù)論之間爭(zhēng)論的根本內(nèi)容。下一步的擴(kuò)張是……考察任意（不可數(shù)多的）數(shù)集……再考慮這些集合的集合，它們的集合，等等，則導(dǎo)致任意集合。這個(gè)簡(jiǎn)略的概括，大約說(shuō)明了不同領(lǐng)域之間人們熟知的現(xiàn)有分歧的主要特色。（[33]，第275 頁(yè)）這樣的劃分按照所接受無(wú)窮的強(qiáng)弱來(lái)進(jìn)行，因而對(duì)這些不同強(qiáng)度的無(wú)窮對(duì)象的接受程度構(gòu)成了數(shù)學(xué)哲學(xué)觀的一個(gè)自然分層。例如，若只接受極為狹窄的有窮對(duì)象，并認(rèn)為其本質(zhì)是對(duì)真實(shí)存在的物理對(duì)象的抽象，那么這大約對(duì)應(yīng)著一種嚴(yán)格有窮主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)；若接受自然數(shù)到實(shí)數(shù)之間的數(shù)學(xué)對(duì)象則可能對(duì)應(yīng)著直覺(jué)主義數(shù)學(xué)哲學(xué)以及蒯因的實(shí)在論；而若接受高階無(wú)窮對(duì)象，即大基數(shù)的數(shù)學(xué)哲學(xué)，則對(duì)應(yīng)著一種強(qiáng)實(shí)在論。對(duì)不同程度無(wú)窮對(duì)象的接受與否還對(duì)應(yīng)著可接受的數(shù)學(xué)系統(tǒng)強(qiáng)弱，例如嚴(yán)格的有窮主義可能僅接受原始遞歸算術(shù)的部分片段，蒯因的實(shí)在論至少能接受二階算術(shù)，而強(qiáng)實(shí)在論不僅接受ZFC，也接受大基數(shù)公理。

正如第一節(jié)談到的那樣，為接受高階無(wú)窮對(duì)象，哥德?tīng)柦ㄗh考慮內(nèi)在辯護(hù)和外在辯護(hù)兩種辯護(hù)策略，為大基數(shù)公理做辯護(hù)。這是一種基于接受高階無(wú)窮的實(shí)在論7后文中提到的實(shí)在論一詞，將特指接受高階無(wú)窮的實(shí)在論。所提出的策略，因?yàn)榉磳?shí)在論者或者連ZFC 強(qiáng)度的數(shù)學(xué)系統(tǒng)也不能接受，或者認(rèn)為為大基數(shù)公理尋找內(nèi)在辯護(hù)是荒謬的。8例如，對(duì)形式主義而言，那些無(wú)矛盾的公理系統(tǒng)的所能推出的結(jié)論比系統(tǒng)本身更有意義，對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)踐而言，ZFC 更受到數(shù)學(xué)家的廣泛認(rèn)可，因而是一個(gè)地位不同尋常的公理系統(tǒng)?？蓞⒖糩23]。對(duì)他們而言，根本沒(méi)有一個(gè)確定的“集合概念的本質(zhì)”，或者說(shuō)，談?wù)撟鳛槌橄髮?duì)象的”集合“的本質(zhì)是荒謬的。

內(nèi)在辯護(hù)的另一個(gè)難點(diǎn)是所謂貝納塞拉夫問(wèn)題，這是由貝納塞拉夫（P.Benacerraf）于[3]一文提出的、針對(duì)實(shí)在論的疑難，其原始論證包含了“因果關(guān)系”這一條件。對(duì)因果關(guān)系的更進(jìn)一步的解釋不在本文試圖討論的范圍內(nèi)，我們討論弱版本的貝納塞拉夫問(wèn)題，其論證大致如下：

1.對(duì)X而言，為獲得S的知識(shí)，需要解釋我們對(duì)S的認(rèn)識(shí)機(jī)制；

2.數(shù)學(xué)對(duì)象是時(shí)空之外的對(duì)象；

3.人是生活在時(shí)空中的；

4.時(shí)空中的人如何認(rèn)識(shí)時(shí)空之外的數(shù)學(xué)對(duì)象，這個(gè)認(rèn)識(shí)機(jī)制是不明的；

5.因此，若數(shù)學(xué)知識(shí)是抽象數(shù)學(xué)對(duì)象的知識(shí)，那么我們不可能獲得這些數(shù)學(xué)對(duì)象的知識(shí)。

由本節(jié)的分析可以發(fā)現(xiàn)，為大基數(shù)公理辯護(hù)是一項(xiàng)實(shí)在論者提出的任務(wù)。特別地，為大基數(shù)公理提供內(nèi)在辯護(hù)是僅對(duì)實(shí)在論者有意義的一項(xiàng)任務(wù)，但它的難點(diǎn)有二：其一，說(shuō)明為什么“集合概念的本質(zhì)”對(duì)實(shí)在論者為大基數(shù)提供辯護(hù)而言有突出的意義，其二，部分處理貝納塞拉夫問(wèn)題。這也對(duì)應(yīng)著第一節(jié)的末尾所提出的兩個(gè)問(wèn)題。我們將在下面幾節(jié)處理這兩個(gè)問(wèn)題。

3 實(shí)在論視角下的集合論

本節(jié)我們將試圖說(shuō)明，實(shí)在論視角下，對(duì)“集合概念本質(zhì)”的探究對(duì)大基數(shù)的辯護(hù)而言是有意義的，并且這種意義并非僅由于實(shí)在論者將“集合”這種抽象對(duì)象毫無(wú)根據(jù)地統(tǒng)統(tǒng)看作實(shí)際存在的數(shù)學(xué)對(duì)象，而是源自于一種獨(dú)特的實(shí)在論意義下的邏輯觀。這需要解釋這種實(shí)在論視角下的集合論研究和通常對(duì)集合論的理解有何不同。要解釋實(shí)在論視角下的集合論研究，一個(gè)自然的困難是解釋集合論研究與哲學(xué)研究之間的關(guān)系，因?yàn)橥ǔ５挠^點(diǎn)認(rèn)為，集合論是純粹數(shù)學(xué)的一部分，它是價(jià)值無(wú)涉或哲學(xué)無(wú)涉的。數(shù)學(xué)哲學(xué)對(duì)集合論的興趣，僅僅源自所有的數(shù)學(xué)都可以還原為集合論。我們選擇從邏輯、哲學(xué)、集合論三者的關(guān)系作為切入口。

集合論為什么是邏輯學(xué)的一部分？邏輯學(xué)又為什么會(huì)和哲學(xué)有聯(lián)系？這是兩個(gè)令人困惑的問(wèn)題。按照流行的對(duì)邏輯學(xué)的理解，人們9包括絕大部分近現(xiàn)代哲學(xué)家（例如康德），以及絕大部分沒(méi)有接受任何邏輯學(xué)教育的普通人?；蛘邔⑦壿嬂斫獬杉兇獾摹⒖斩吹?、沒(méi)有任何內(nèi)容的形式：

邏輯之所以是形式的,是因?yàn)樗恼Z(yǔ)言是由純粹的符號(hào)構(gòu)成的,在未經(jīng)解釋以前,它的詞項(xiàng)不實(shí)際地指稱任何對(duì)象,因此它的語(yǔ)句也沒(méi)有真假……在任何解釋下都真的這類語(yǔ)句以及語(yǔ)句間的這類關(guān)系被稱為‘邏輯形式’,它們被認(rèn)為是邏輯學(xué)的主題,邏輯在這個(gè)意義上是形式的。（[30]，第49 頁(yè)）

人們熟知的對(duì)邏輯的題材的刻畫(huà)，起頭便是贊同邏輯真理包含而且只包含有效的命題，有效的意思是說(shuō)，不管那些概念和課題在現(xiàn)實(shí)世界里是怎樣的，這些命題都真。邏輯概念或邏輯常項(xiàng)因此便是有效的命題中出現(xiàn)的那些基本的或不可替代的概念。（[33]，第19 頁(yè)）

或者將邏輯作為某些哲學(xué)思考的工具，例如使用時(shí)態(tài)邏輯來(lái)刻畫(huà)對(duì)時(shí)間相關(guān)的推理，從而在邏輯框架下討論一些哲學(xué)命題；又如普蘭丁格（[19]）利用模態(tài)邏輯系統(tǒng)進(jìn)行神學(xué)論證，等等。從前者的觀點(diǎn)看，集合論和邏輯的唯一關(guān)系是它使用了一階語(yǔ)言，因此，顯然集合論不是邏輯；從后者的觀點(diǎn)看，集合論不是在刻畫(huà)任何哲學(xué)家關(guān)心的諸如“時(shí)間”、“認(rèn)知”這樣的概念，因此不是邏輯。總而言之，這兩種邏輯觀下，我們很難看出為什么集合論被稱為邏輯的一部分。

從上述邏輯觀出發(fā)，邏輯與哲學(xué)的關(guān)系使得哲學(xué)變得有些岌岌可危。古希臘時(shí)代，哲學(xué)家和智者被截然分開(kāi)，而這種邏輯觀下的哲學(xué)工作似乎更接近智者學(xué)派對(duì)詭辯術(shù)的操弄：若邏輯是一種純粹哲學(xué)無(wú)涉的工具，那么我們可以利用邏輯得到幾乎任意形態(tài)的哲學(xué)結(jié)論。例如，任意刻畫(huà)一種關(guān)于時(shí)態(tài)的邏輯，都可利用此種“時(shí)態(tài)”觀點(diǎn)下的邏輯推論來(lái)“證明”一些哲學(xué)觀點(diǎn)；我們可以尋找各種理由，利用一套精心挑選的符號(hào)系統(tǒng)，為一些哲學(xué)觀點(diǎn)做辯護(hù)。

因此，即便集合論可被在學(xué)科分類上勉強(qiáng)被劃歸邏輯，集合論的結(jié)果和其它邏輯工具的結(jié)果沒(méi)有什么不同，都僅被用來(lái)為某些特定的哲學(xué)觀點(diǎn)做辯護(hù)——有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)對(duì)同一定理的不同解讀。這樣看來(lái)，利用不同的工具討論同一問(wèn)題下的不同觀點(diǎn)似乎就是哲學(xué)的課題，哲學(xué)當(dāng)然也就成了與真理無(wú)關(guān)的學(xué)科，成為了諸多看似合理的理論辯論的賽場(chǎng)。也正因?yàn)槿绱?，王浩才?huì)對(duì)哲學(xué)做出如下的評(píng)論：

我之所以對(duì)哲學(xué)里歧見(jiàn)紛呈一事耿耿于懷，無(wú)疑與這種背景大有關(guān)聯(lián)。且看：多數(shù)數(shù)理邏輯專家專注于同一題目的不同部分，而哲學(xué)家們卻在回答同一個(gè)問(wèn)題時(shí)，做出相互抵牾的結(jié)論。（[33]，第26 頁(yè)）

與這種工具論的邏輯觀非常相似一種論調(diào)是：數(shù)學(xué)的全部作用就是其在諸科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。這種論調(diào)顯然表明，邏輯學(xué)或數(shù)學(xué)這種學(xué)科本身沒(méi)有任何價(jià)值，而這顯然不符合歷史上兩門(mén)學(xué)科的真實(shí)境況：

對(duì)經(jīng)驗(yàn)主義者而言，邏輯的作用是讓我們做推理。它不是去陳述命題，而是從一些命題過(guò)渡到另一些命題。對(duì)理論思想者而言，承擔(dān)這樣的推理（或蘊(yùn)含）的命題也有其自身的興趣。（[33]，第347 頁(yè)）

不僅如此，這種邏輯觀顯然也無(wú)法解釋為什么邏輯學(xué)在歷史上與哲學(xué)關(guān)系如此緊密，這種緊密程度遠(yuǎn)超同樣可以作為工具的其他具體科學(xué)：亞里士多德的形而上學(xué)正是基于《前分析篇》之中的邏輯學(xué)；黑格爾的邏輯學(xué)是他形而上學(xué)的中心；哥德?tīng)柕韧瑫r(shí)研究邏輯學(xué)和哲學(xué)等等。

本文的目標(biāo)不是討論哪一種邏輯觀更為合理，但我們不得不指出，從另一種邏輯觀，我們能輕松地理解為什么集合論是邏輯。這種邏輯觀認(rèn)為，邏輯學(xué)的研究目標(biāo)是發(fā)現(xiàn)邏輯空間之中的客觀規(guī)律，就像物理學(xué)的研究為了找出物理空間中的客觀規(guī)律一樣。這種規(guī)律是概念本身和概念之間關(guān)系的規(guī)律，就像物理規(guī)律描述的是物理對(duì)象本身和物理對(duì)象之間關(guān)系的規(guī)律。這種視角下，一種獨(dú)特的實(shí)在論可持有這樣的觀點(diǎn)：所謂實(shí)在論者，正是認(rèn)為存在著這樣非時(shí)空對(duì)象以及它們的規(guī)律的人。顯然，哥德?tīng)栒浅钟羞@樣的邏輯觀，也正是這樣的實(shí)在論者。他依據(jù)這樣的邏輯觀將集合論自然地劃歸為邏輯學(xué)的一部分：

數(shù)學(xué)客體被給予我們，不像物理客體那樣直接。它們是介于理想世界和經(jīng)驗(yàn)世界之間的某種東西，是極限的情形，是抽象的。客體在空間之中或接近空間。集合是時(shí)空客體的極限情形……集合是準(zhǔn)時(shí)空性的。（[33]，第328 頁(yè)）

毫無(wú)疑問(wèn)，邏輯學(xué)的研究對(duì)象是形式的東西。但這并不意味著邏輯研究的對(duì)象毫無(wú)內(nèi)容、脫離對(duì)象的，而是意味著客觀性和普遍性：

邏輯是形式的東西的理論。它包括集合論和概念論。初等（或謂詞）邏輯、非初等邏輯和集合論之間的區(qū)別是主觀的區(qū)別。主觀的區(qū)別依賴于心靈特殊的情形。形式的東西與心靈無(wú)關(guān)……初等邏輯是有窮心靈的邏輯。你若有了無(wú)窮的心靈，你便有了集合論。（[33]，第347 頁(yè)）

這種邏輯觀下，邏輯不僅只是工具，邏輯學(xué)本身更接近一門(mén)描述性的科學(xué)——盡管它所描述的規(guī)律并非從感覺(jué)觀察中直接獲得。按照哥德?tīng)枺?/p>

哲學(xué)的目的不是從無(wú)中證明一切，而是把所有清晰可見(jiàn)的東西——包括概念的關(guān)系——都假定為被給予的，就像形狀和顏色，它們來(lái)自感覺(jué)但無(wú)法從感覺(jué)中導(dǎo)出。實(shí)證主義者企圖從無(wú)中證明一切……結(jié)果，觀察便起著過(guò)大的作用。（[33]，第402 頁(yè)）

與此同時(shí)，我們還可以解釋邏輯與哲學(xué)為何有著超乎任何具體科學(xué)的親密性。邏輯是我們思想時(shí)所必須接受的內(nèi)容，這并不是因?yàn)樗悄撤N人為約定的規(guī)則或者工具，而因?yàn)樗亲钜话愕年P(guān)于概念的知識(shí)，因而事實(shí)上是我們思考任何具體概念的框架。它是所有信念之中最堅(jiān)實(shí)、最具有普遍性的信念，因此對(duì)于依賴?yán)硇赃M(jìn)行概念演繹的哲學(xué)而言，邏輯當(dāng)然是其最為基礎(chǔ)、最為純粹的一個(gè)部分，而非僅僅只是工具。王浩就曾斷言：

關(guān)于邏輯和哲學(xué)的關(guān)系，說(shuō)得不那么抽象一點(diǎn)則可采取如下的觀點(diǎn)：哲學(xué)作為世界觀，其目的乃是捕捉和描畫(huà)我們的內(nèi)部資源的一般的和綜合的框架，借助于內(nèi)部資源，我們接受、消化和解釋我們關(guān)于世界和關(guān)于我們自身的所有思想。照這樣的想法，邏輯組成了哲學(xué)的一個(gè)主要部分，甚至可以等同于所謂的純哲學(xué)。（[33]，第22 頁(yè)）

因此，邏輯學(xué)的諸多結(jié)果和這些結(jié)果之間的關(guān)系本就是哲學(xué)論證的一部分，自然談不上是一種工具。因此順理成章地，邏輯之中的結(jié)果、各結(jié)果之間的比較、可能結(jié)果的取舍自然也就是哲學(xué)論證之中最為有力的證據(jù)10必須指出，將邏輯作為工具和將邏輯學(xué)的結(jié)果作為證據(jù)有著本質(zhì)的不同。因?yàn)?，將邏輯作為工具時(shí)，我們或者依據(jù)特殊的邏輯系統(tǒng)，或者依據(jù)邏輯規(guī)則進(jìn)行推理。當(dāng)依據(jù)特殊的邏輯系統(tǒng)時(shí)，我們只能依據(jù)邏輯學(xué)之外的理由（通常這樣的理由基于感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)）支持這個(gè)系統(tǒng)；當(dāng)依據(jù)邏輯規(guī)則進(jìn)行推理時(shí)，若從無(wú)出發(fā)，我們只能得到全體重言式。而將邏輯學(xué)的結(jié)果，例如集合論的結(jié)果作為證據(jù)時(shí)，我們的所有依據(jù)都來(lái)自于邏輯內(nèi)部?？梢?jiàn)后文的展開(kāi)說(shuō)明。。例如，如果數(shù)學(xué)哲學(xué)需要回答數(shù)學(xué)是否依賴于人的心靈，那么我們的一個(gè)可靠的方法便是依據(jù)集合論的結(jié)果，比較諸多的可能情況，以此判斷是否集合宇宙依賴人的心靈。從這個(gè)意義上看，邏輯、集合論、哲學(xué)三者才能真正是一體的。

4 實(shí)在論視角下的大基數(shù)問(wèn)題

在這樣的邏輯觀和實(shí)在論視角下，集合概念是一個(gè)需要被探索的非時(shí)空中的概念，我們對(duì)它探索的結(jié)果決定著它唯一地存在或是不唯一地存在或是根本不存在。如果對(duì)集合概念的探索說(shuō)明它的確存在，那么，它顯然是獨(dú)立于我們的心靈存在的抽象對(duì)象，且集合論的目標(biāo)就是探索關(guān)于集合概念的基本規(guī)律。由此，大基數(shù)之合理性問(wèn)題所需要的，并非構(gòu)造一系列理論從而為大基數(shù)做辯護(hù)11例如，從對(duì)主流數(shù)學(xué)的實(shí)用性出發(fā)為大基數(shù)做辯護(hù)。又例如萊因哈特在[22]中那樣，構(gòu)造一系列不自然的反映原則為大基數(shù)之合理性做辯護(hù)。，而是觀察集合概念的本質(zhì)，探索大基數(shù)是否是它的一部分。因此，對(duì)大基數(shù)的辯護(hù)等同于對(duì)大基數(shù)的內(nèi)在辯護(hù)，或等同于探索集合概念的本質(zhì)。這實(shí)際對(duì)應(yīng)了一個(gè)關(guān)于集合概念的猜想：

存在一個(gè)獨(dú)立于我們心靈的集合宇宙V，在其中有大基數(shù)。

并且，這只是對(duì)集合宇宙結(jié)構(gòu)的諸多基于直觀的猜想中的一個(gè)。這些猜想的正確與否，需要集合論內(nèi)部的理由作為支撐，也就需要我們考察哪些定理支持或反對(duì)這個(gè)猜想。從尋找這些理由的框架、過(guò)程來(lái)看，我們并非在尋找一般意義下的辯護(hù)（justification），而更像在進(jìn)行一場(chǎng)一般科學(xué)研究之中的科學(xué)實(shí)驗(yàn)——盡管我們的研究并不是經(jīng)驗(yàn)性的。因此，我們?cè)趯ふ业氖亲C據(jù)（evidence），或者在尋求對(duì)我們假設(shè)的解釋（explanation）。

直觀上，我們相信那個(gè)獨(dú)立于心靈的集合宇宙應(yīng)該足夠豐富、應(yīng)該是不可簡(jiǎn)單定義的、其中應(yīng)該有大基數(shù)……那么，我們要如何尋找這些信念的證據(jù)？顯然，根據(jù)我們前文對(duì)邏輯和哲學(xué)關(guān)系的解釋，證據(jù)不在集合論之外，證據(jù)就在、也只能在集合論之內(nèi)。集合論的定理和定理之間的相互聯(lián)系正在告訴我們集合宇宙是什么樣的。

然而，集合論的定理并不能直接“證明”集合的宇宙之中存在大基數(shù)。不能直接“證明”集合的宇宙之中是否存在大基數(shù)有多種原因：

1.顯然，我們的證明不是無(wú)前提的，而是基于ZFC 的；

2.在ZFC 中不能證明存在大基數(shù)，否則違背哥德?tīng)柕诙煌耆裕?/p>

3.盡管由于哥德?tīng)柕诙煌耆远ɡ恚琙FC 無(wú)法證明自身的一致性，但ZFC 仍被廣泛接受為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

上述的第一條和第二條說(shuō)明了現(xiàn)有的框架——ZFC——必然不可能證明集合宇宙之中存在大基數(shù)，第三條說(shuō)明了這個(gè)框架的打破面臨極大的挑戰(zhàn)。集合的宇宙之中是否存在大基數(shù)，這不像一般的物理學(xué)命題那樣容易通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算來(lái)預(yù)測(cè)，更無(wú)法通過(guò)一般科學(xué)實(shí)驗(yàn)之中的經(jīng)驗(yàn)觀察來(lái)檢驗(yàn)：地球是否是圓的？我們飛上太空觀察即可。面對(duì)這些困難，如何論證集合的宇宙之中存在大基數(shù)？

基本的方法當(dāng)然還是基于ZFC，因?yàn)橹辽僦髁鞯臄?shù)學(xué)實(shí)踐接受ZFC 的所有結(jié)論，并且，任何一個(gè)實(shí)在論者都會(huì)認(rèn)可ZFC 是關(guān)于集合概念的基本事實(shí)——盡管它還不足以以定理的形式直接告訴我們集合概念的本質(zhì)。因此，我們可以比較諸多的ZFC 的模型，判斷哪個(gè)更加接近集合宇宙。12注意，這樣的方法是合理論證方法的一個(gè)證據(jù)是，我們可能得出與“存在唯一的、不依賴于心靈的集合宇宙”這個(gè)假設(shè)框架相反的結(jié)論。例如，我們也許會(huì)發(fā)現(xiàn)沒(méi)有哪一個(gè)ZFC 的模型是足夠獨(dú)特的。即，我們的任何猜想都具有可證偽性。再例如，我們可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，沒(méi)有任何證據(jù)表明集合宇宙具有某種深刻的規(guī)律，因而集合概念的本質(zhì)就是它不可能真實(shí)存在。不僅如此，當(dāng)我們比較A、B、C 三個(gè)ZFC 的模型時(shí)，如果有理由說(shuō)明A 模型更接近集合的宇宙，那么，A 的結(jié)構(gòu)會(huì)告訴我們更多的、更本質(zhì)的信息。借助這些信息，我們可以知道更多的集合宇宙的正確信息——盡管哥德?tīng)柖ɡ砀嬖V我們，基于任何公理框架，我們都永遠(yuǎn)不能知道全部。

5 實(shí)在論者如何可能為大基數(shù)辯護(hù)

正如上一節(jié)所言，我們現(xiàn)在需要比較ZFC 的諸多模型，探索V的本質(zhì)，即看哪一個(gè)更加接近真實(shí)的集合宇宙；或者比較ZFC 的諸多模型，看是否根本沒(méi)有這個(gè)真實(shí)的宇宙。現(xiàn)在的困難在于，我們?nèi)绾沃滥膫€(gè)ZFC 的模型更接近集合的宇宙？特別是，我們既無(wú)法通過(guò)經(jīng)驗(yàn)觀察得知集合宇宙的樣貌，也無(wú)法直接通過(guò)ZFC證明集合宇宙究竟包含什么。這種情況下，什么樣的集合論結(jié)果可以作為證據(jù)？

一種可能的做法是模仿具體的經(jīng)驗(yàn)科學(xué)：每一門(mén)具體科學(xué)中猜想的驗(yàn)證，大致過(guò)程包含提出假設(shè)和尋找蘊(yùn)含這個(gè)假設(shè)成立的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)兩個(gè)步驟。例如，我們假設(shè)有月球存在且其表面凹凸不平，而我們可以尋找到許多經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明這一點(diǎn)：在天氣條件適宜時(shí)，肉眼可觀察到月亮，并且可以觀察到它表面有黑點(diǎn)；在太空中可以拍攝到月球照片，并且的確其表面凹凸不平；甚至可以直接宇航員登月，近距離觀察月球，證實(shí)其表面有大量坑洞……這些都是月球存在這一假設(shè)成立的證據(jù)。

近代科學(xué)之中，相對(duì)論即是一個(gè)很好的例子。愛(ài)因斯坦發(fā)現(xiàn)，僅根據(jù)光速不變?cè)砗偷刃г恚纯赏品ｎD的絕對(duì)時(shí)間觀，并且這一推理從直觀上看異常簡(jiǎn)單。光速不變?cè)韮H僅來(lái)自于簡(jiǎn)單的一個(gè)觀察：麥克斯韋的理論證實(shí)光是一種波，那么如果我們能和光并駕齊驅(qū)，按照牛頓時(shí)空觀，光線在我們看起來(lái)應(yīng)該是完全靜止的。這就意味著在運(yùn)動(dòng)者看來(lái)，光是凝固的波，而這似乎有問(wèn)題，而在麥克斯韋的理論中，光線總以同樣的速度運(yùn)動(dòng)，不論我們以何種速度運(yùn)動(dòng)。因此，麥克斯韋的理論和牛頓的理論相互矛盾。在假設(shè)光速不變?cè)淼那疤嵯?，拋開(kāi)愛(ài)因斯坦的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，只需直觀上考慮：我們駕車(chē)以光速行駛，此時(shí)回頭看背后的鐘表會(huì)發(fā)生什么？愛(ài)因斯坦立刻意識(shí)到，鐘表看起來(lái)會(huì)是靜止的，但自己的表卻正常運(yùn)轉(zhuǎn)，因此與牛頓的靜止時(shí)空觀不同，時(shí)間并不是絕對(duì)的，在宇宙不同的地方，時(shí)間的速率不同?？紤]駕車(chē)以光速追逐光線，會(huì)發(fā)生下面的矛盾：我們與光跑了個(gè)并駕齊驅(qū)；但我們會(huì)覺(jué)得怎么都追不上這一束光。這種矛盾的原因也可以用時(shí)間速率不同做出解釋：由于速度達(dá)到光速，時(shí)間對(duì)于我們減慢了。

問(wèn)題在于，是牛頓的理論對(duì)，還是光速不變?cè)韺?duì)？有多個(gè)證據(jù)支持光速不變?cè)恚?/p>

1.牛頓理論若要與麥克斯韋方程協(xié)調(diào)，則必須假設(shè)以太的存在（可見(jiàn)[5,6,10]；邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)和各種現(xiàn)代的精確版本實(shí)驗(yàn)支持地球不存在相對(duì)于以太的運(yùn)動(dòng)。

2.如果光速確實(shí)是自然界的常數(shù)，那么通常的解決方案就是洛倫茲變換，而麥克斯韋方程恰好的確遵循洛倫茲變換（[21]，第210-213 頁(yè)；[16]）。

3.洛倫茲變換下，有兩種方式可以解釋邁克耳孫-莫雷實(shí)驗(yàn)，一種是洛倫茲收縮（[24]），一種是愛(ài)因斯坦的相對(duì)論。前者無(wú)法驗(yàn)證，而相對(duì)論卻有實(shí)驗(yàn)觀測(cè)作為證據(jù)。例如，攜帶原子鐘的實(shí)驗(yàn)證明，運(yùn)動(dòng)越快，時(shí)間就越慢。

4.在牛頓的絕對(duì)時(shí)空理論下，引力不能很好地被納入洛倫茲變換中，但廣義相對(duì)論可以很好地將引力納入其中。13愛(ài)因斯坦1915 年的演講和論文引入了引力場(chǎng)方程，其論文為德文寫(xiě)作。本文參考的材料為[18]。

不僅如此，在等效原理下，還可以推理出光必須在引力的作用下彎曲：考慮在加速向上的火箭上打開(kāi)手電筒，由于火箭向上加速而光束下落，引力必須會(huì)使光彎曲(可見(jiàn)[7]，第34 章）。也有多個(gè)證據(jù)支持這一點(diǎn)：日食期間星光的彎曲、紅移現(xiàn)象以及水星的近日點(diǎn)。在擁有諸多證據(jù)的等效原理和光速不變?cè)硐?，牛頓時(shí)空觀被徹底顛覆。

不難發(fā)現(xiàn)，愛(ài)因斯坦理論是在多種證據(jù)下被逐步接受，而非依據(jù)空想而被接受。其基本模式十分簡(jiǎn)單：觀察到一些現(xiàn)象、做出一些假設(shè)、利用觀測(cè)到的現(xiàn)象進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)集合宇宙的結(jié)構(gòu)而言也是如此。我們用一些定理作為“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”輔助我們驗(yàn)證關(guān)于集合概念的假設(shè)。例如，我們有直觀告訴我們：V應(yīng)該足夠豐富，其中存在大基數(shù)。

圖1:集合宇宙結(jié)構(gòu)的證據(jù)

那么，為尋找這一假設(shè)的證據(jù)，我們尋找一些蘊(yùn)含大基數(shù)存在的命題，或者接近大基數(shù)存在的命題。如果能在集合論中證明這些命題，那么當(dāng)然它們就是大基數(shù)存在的證據(jù)。如圖1(a)所示。這種方法的一個(gè)良好示范即是終極L猜想、HOD猜想14這是兩個(gè)由集合論學(xué)家武丁（W.H.Woodin）提出的關(guān)于集合宇宙本質(zhì)的猜想。和V=HOD 的關(guān)系。

所謂HOD，指的是遺傳序數(shù)可定義集的類。武丁發(fā)現(xiàn)，在一定的大基數(shù)假設(shè)下，其滿足二歧性（[28]）：

定理5.1.設(shè)κ是可擴(kuò)張基數(shù)。則：

1.對(duì)任意V中的奇異基數(shù)γ，γ在HOD中也是奇異基數(shù)，并且(γ+)HOD=γ+；

2.所有大于κ的正則基數(shù)都是ω-強(qiáng)可測(cè)基數(shù)。

也就是說(shuō)，在一定強(qiáng)度的大基數(shù)假設(shè)下，HOD 或者非常接近V，或者在κ以上離V 很遠(yuǎn)。并且假設(shè)存在可擴(kuò)張基數(shù)，則HOD 中必然存在可測(cè)基數(shù)。據(jù)此，武丁提出了HOD 猜想：{δ|δ是正則基數(shù)但不是ω-可測(cè)基數(shù)}是一個(gè)真類，即HOD的確十分接近V。此外，武丁發(fā)現(xiàn)，HOD 猜想有下列等價(jià)形式（[31]，第127 頁(yè)）：

定理5.2.設(shè)κ是可擴(kuò)張基數(shù)，則下列等價(jià)：

1.HOD猜想成立；

2.HOD是κ是超緊基數(shù)的弱擴(kuò)張模型。

因此，如果HOD 接近V，武丁證明，HOD 是κ的弱擴(kuò)張模型。故而，在一定的大基數(shù)假設(shè)下，HOD 是一個(gè)包含了所有大基數(shù)的典范內(nèi)模型。HOD 到底有多接近V呢？它到底是否呈現(xiàn)了集合概念的本質(zhì)？基于此，武丁又提出了終極L猜想：假設(shè)κ是可擴(kuò)張基數(shù)，武丁猜想，存在模型N滿足（[28]）：

1.N是κ是超緊基數(shù)的模型；

2.N ?HOD；

3.N|=存在Woodin 基數(shù)的真類。

因此，如果HOD 猜想和終極L 猜想成立，那么V=HOD，并且HOD 是超緊基數(shù)的弱擴(kuò)張模型。這表明，存在一個(gè)使得力迫失效的、包含所有大基數(shù)的典范模型，并且它就是真實(shí)的集合宇宙。并且，終極L猜想是一個(gè)算術(shù)命題，它必然有一個(gè)確定無(wú)疑的真值。因此，上述兩個(gè)猜想是V=HOD 這個(gè)信念的證據(jù)15說(shuō)一個(gè)“猜想”是一個(gè)“信念”的證據(jù)聽(tīng)起來(lái)很奇怪，有點(diǎn)像某個(gè)假說(shuō)是另一個(gè)假說(shuō)的證據(jù)，似乎是循環(huán)。但終極L 猜想不是一個(gè)隨意的猜想，是有諸多數(shù)學(xué)結(jié)果做支撐的一個(gè)猜想。并且這個(gè)猜想的反面有諸多定理暗示有可能不成立。同時(shí)，最近的一篇論文（[1]）顯示，這個(gè)猜想還可能是不成立的，因此具有可證偽性。本文限于篇幅，對(duì)這個(gè)問(wèn)題不再展開(kāi)。。故而，它們也是大基數(shù)存在的證據(jù)。

經(jīng)驗(yàn)科學(xué)中還有另一種尋找證據(jù)的方法。圖1(b)試圖表明，有許多現(xiàn)象是除了某種特定的理論外無(wú)法解釋的。即除了特定理論外，再也找不到別的對(duì)證據(jù)的合理解釋：如果出現(xiàn)了結(jié)果B，那么除了A，再也沒(méi)有其他合理的解釋。這種證據(jù)的形式亦類似于經(jīng)驗(yàn)科學(xué)之中的實(shí)驗(yàn)。例如，我們想知道某種藥物是不是有療效，通常的方法是進(jìn)行雙盲實(shí)驗(yàn)，即確保藥物引起了身體的好轉(zhuǎn)，而不是其它原因造成了好轉(zhuǎn)。換言之，A 會(huì)造成結(jié)果B，同時(shí)再?zèng)]有其它條件會(huì)造成B。

愛(ài)因斯坦的相對(duì)論中也有類似的情況，即除了假設(shè)成立，再也找不到其它的合理解釋（可參考[32]；[29]，第54-76 頁(yè)）：

1.為什么必須承認(rèn)速度越快時(shí)間會(huì)越慢？因?yàn)?，即便沒(méi)有實(shí)驗(yàn)支持的前提下，在絕對(duì)時(shí)間觀中，無(wú)法解釋為什么我們和光束并駕齊驅(qū)，卻在我們自己看起來(lái)，我們根本無(wú)法追上光速這樣的矛盾；即便使用調(diào)和牛頓理論和麥克斯韋理論的以太，也無(wú)法解釋這樣簡(jiǎn)單的矛盾；相反，只有相對(duì)時(shí)間觀，才能統(tǒng)一兩個(gè)現(xiàn)象。

2.為什么必須承認(rèn)光速不變?cè)恚恳驗(yàn)?，即便沒(méi)有實(shí)驗(yàn)支持的前提下，如果我們可以與光速相對(duì)靜止，那么無(wú)法解釋為什么光是一種波，因?yàn)槟菢右粊?lái)，光會(huì)是凝固的波；如果承認(rèn)以太，那么無(wú)法回答為什么光作為一種波可以在真空中傳播，因?yàn)檎婵找馕吨鴽](méi)有任何東西可以震動(dòng)；相反，如果承認(rèn)光速不變?cè)恚覀兣c光并駕齊驅(qū)，而在我們看起來(lái)由于時(shí)間靜止，我們無(wú)法追上光，因此光不再是凝固的波。

事實(shí)上，這樣的情況在數(shù)學(xué)中常常發(fā)生。描述集合論對(duì)可決定性公理（AD）的研究即為一例。由于AD 與選擇公理相矛盾，集合論學(xué)家一度試圖證明AD 是錯(cuò)的。一個(gè)思路是證明較簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù)子集：波萊爾集上AD 就是錯(cuò)的，但最終集合論學(xué)家發(fā)現(xiàn)無(wú)法構(gòu)造出這樣的反例。以馬丁（D.Martin）對(duì)這個(gè)問(wèn)題的探索為例：馬丁本人證明了AD 與錐體概念之間的聯(lián)系16令≤為圖靈歸約，若d 是一個(gè)圖靈度，將{d＇ | d ≤d＇}稱為d 的錐體（cone）。一個(gè)圖靈度的集合是錐體當(dāng)且僅當(dāng)它是某個(gè)圖靈度的錐體。該定理可見(jiàn)[4]，第223-224 頁(yè)。：

定理5.3.[錐體引理]假設(shè)AD成立。如果A是一個(gè)圖靈度的集合，那么或者A中含有一個(gè)錐體，或A的補(bǔ)中含有一個(gè)錐體。

類似地，可表明若波萊爾決定性成立，那么波萊爾的度集滿足上述二歧性。因此，在證明這個(gè)定理的時(shí)候（1968 年）17此時(shí)波萊爾決定性還沒(méi)有被證明（1975 年才被證明）。這兩個(gè)定理均出自馬丁。，馬丁堅(jiān)信這個(gè)定理可用于證明AD 可導(dǎo)出矛盾，因此AD 是錯(cuò)的。比如，馬丁試圖表明波萊爾決定性是錯(cuò)的。作為一個(gè)熟悉遞歸論的數(shù)學(xué)家，他嘗試了他所知的所有圖靈度的集合，但這些圖靈度的集合總是要么就含有錐體，要么補(bǔ)集含錐體。至此，他開(kāi)始相信波萊爾集上的AD成立，因?yàn)槌怂闪⑼?，再找不到理由表明為什么無(wú)法舉出任何反例。

集合宇宙中也有類似的情況。例如，目前為止，我們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)大基數(shù)會(huì)帶來(lái)任何可能的矛盾。相反，一些十分有用的工具的一致性與大基數(shù)的一致性強(qiáng)度有巧妙的對(duì)應(yīng)。例如，如果ZFC+超緊基數(shù)是一致的，那么ZFC+馬丁極大原則也是一致的。因此，大基數(shù)很可能就是一致的。大基數(shù)一致的唯一解釋只能是大基數(shù)存在——即便我們有諸多的真實(shí)集合宇宙，也應(yīng)該每個(gè)世界都里都存在著大基數(shù)。除此之外，我們無(wú)法對(duì)大基數(shù)的一致性給出更好的解釋。

6 可能的反駁

一種可能的反對(duì)是，HOD 猜想和終極L猜想都預(yù)設(shè)了某種大基數(shù)的存在，用它們作為證據(jù)來(lái)表明大基數(shù)存在，是一種循環(huán)論證。另一種可能的反駁是，存在可測(cè)基數(shù)，則V≠L，那么，為什么L中不包含可測(cè)基數(shù)不能作為可測(cè)基數(shù)不存在的證據(jù)呢？我們對(duì)上述反駁進(jìn)行一個(gè)初步的解釋。

首先，較小的大基數(shù)無(wú)需假設(shè)較強(qiáng)的大基數(shù)即可得到辯護(hù)，不難找出一些較小的大基數(shù)的證據(jù)。例如，ZFC 中有反映定理：

定理6.1.[反映定理（[13]，第136 頁(yè)）]給定任意公式φ1,...,φn，

我們能在ZFC 中證明的反映定理只是RP1（first order reflection principle，簡(jiǎn)稱RP1），即只允許使用集合而非類。若我們不限定φ是一個(gè)一階公式，則有：

RP2（higher order reflection principle，簡(jiǎn)稱RP2）形式的反映原理可被視為相對(duì)合理的較小大基數(shù)存在的證據(jù)18可參考[11]，該文的論證表明，反映原理可為不超過(guò)0?的大基數(shù)——例如不可達(dá)基數(shù)——做辯護(hù)。，因?yàn)樗枰募僭O(shè)很少，而這個(gè)假設(shè)有反映定理作為證據(jù)。因此，與L相容的較小的大基數(shù)的確有證據(jù)。

想為更大的大基數(shù)做辯護(hù)，則首先要考慮是否V=L成立。從直觀上看，V=L顯然不成立，因?yàn)長(zhǎng)中只放入了上一層中可定義的子集。進(jìn)一步地，沒(méi)有任何數(shù)學(xué)家認(rèn)真地認(rèn)為V=L是一個(gè)事實(shí)，盡管L是一個(gè)非常典范的模型。更決定性的證據(jù)是，我們可以找到一些證據(jù)表明超出L的大基數(shù)——例如Woodin 基數(shù)——的確很可能存在，而V的確等于L則除了清晰分層上的好處外，無(wú)法找到別的證據(jù)。

我們考慮Woodin 基數(shù)的例子。實(shí)數(shù)的可定義子集可分出一個(gè)復(fù)雜度的層譜：在某個(gè)波蘭空間X上，從開(kāi)集出發(fā)，借助交并補(bǔ)運(yùn)算和連續(xù)函數(shù)的投影，可以逐步產(chǎn)生波萊爾集、解析集和投影集……。集合論學(xué)家關(guān)心的是，這些實(shí)數(shù)的可定義子集是否都有良好的性質(zhì)。借助描述集合論中常討論幾種實(shí)數(shù)的正則性質(zhì)：拜爾性質(zhì)、勒貝格可測(cè)性、完美集性質(zhì)，我們可以討論是否實(shí)數(shù)的子集都有良好的性質(zhì)，并且可以觀察在哪一步出現(xiàn)了困難。對(duì)最簡(jiǎn)單的拜爾集、解析集，可以知道它們具有拜爾性質(zhì)、是勒貝格可測(cè)的、都具有完美集性質(zhì)。但是在投影集這一層，投影集是否具有這些良好的性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)獨(dú)立于ZFC。描述集合論學(xué)家從博弈論中提取經(jīng)驗(yàn)，考慮投影集上的可決定性，即投影可決定性(PD)：所有投影集都是可決定的。集合論學(xué)家發(fā)現(xiàn)，PD 恰好能解決投影集上所有的獨(dú)立性問(wèn)題。不僅如此，巧合的是，ZFC+PD 恰好是一個(gè)對(duì)二階算術(shù)經(jīng)驗(yàn)完全的理論，即所有二階算術(shù)的命題都可以借助ZFC+PD 確定真值。

此外，PD 還有兩個(gè)深層的特點(diǎn)。其一，ZFC+PD 對(duì)二階算術(shù)的經(jīng)驗(yàn)完全性，與一階算術(shù)的情況存在著對(duì)應(yīng)。有獨(dú)立于PA 的一階算術(shù)命題，但不存在任何獨(dú)立于ZFC 的一階算術(shù)命題。不僅如此，ZFC 還使得“一階算術(shù)的真”可被固定為“H(ω)中的真”，因?yàn)檫@個(gè)概念本身是力迫不變的。這解釋了為什么我們對(duì)自然數(shù)的理解沒(méi)有受到任何自然的挑戰(zhàn)。所有這些一階算術(shù)中的情況都能在ZFC+PD 中在二階算術(shù)上完美復(fù)刻。這表明，ZFC+PD 和ZFC 的關(guān)系，就像一階算術(shù)上ZFC 和PA 的關(guān)系一樣，因此，似乎也可以合理地說(shuō)：二階算術(shù)命題是真的，當(dāng)且僅當(dāng)ZFC+PD能證明它。其二，與波萊爾集上的AD 類似，沒(méi)有任何反例能表明ZFC+PD 不一致。因此，很多數(shù)學(xué)家傾向于相信PD 是一致的。

巧妙的是，這樣一個(gè)獨(dú)特的、被認(rèn)為極可能一致的命題，與Woodin 基數(shù)之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系：

定理6.2.如果存在Woodin 基數(shù)的真類，則PD 成立。（[27]，第3 頁(yè)）

定理6.3.下列等價(jià)（可見(jiàn)[12]，第188 頁(yè)，定理8.2）：

1.PD

2.對(duì)任意n ∈ω，存在一個(gè)內(nèi)模型M使得M|=存在n個(gè)Woodin 基數(shù)。

因此，我們有強(qiáng)烈的證據(jù)表明，Woodin 基數(shù)是一致的。而這個(gè)現(xiàn)象唯一的解釋是，的確存在Woodin 基數(shù)。以上對(duì)Woodin 基數(shù)的論證不涉及任何更強(qiáng)的大基數(shù)，因而也不涉及循環(huán)論證。故而，司各特定理恰好說(shuō)明了V≠L，而不是相反地將其解讀為說(shuō)明不存在可測(cè)基數(shù)。

V=HOD 這一命題也有一個(gè)不基于大基數(shù)的證據(jù)。如果Woodin 基數(shù)一致，那么我們完全有理由認(rèn)為，包含Woodin 基數(shù)在內(nèi)的盡可能多大基數(shù)的內(nèi)模型更加典范。恰好，終極L猜想和HOD 猜想提供了一種尋找這樣典范模型的理論可能性，它使得V的確十分接近HOD19此處，盡管兩個(gè)猜想是基于大基數(shù)的猜想，但它至少提供了一個(gè)必然有對(duì)錯(cuò)的理論。而V ≠HOD 無(wú)法提供這樣的猜想或結(jié)構(gòu)化的理論。。相反，如果Woodin 基數(shù)不一致，也可得到類似的結(jié)果。2007 年，詹森（R.Jensen）和斯蒂爾（J.Steel）在不存在Woodin基數(shù)的假設(shè)下，得到了一種弱形式的覆蓋定理（[17]）：

定理6.4.假設(shè)不存在傳遞模型滿足ZFC+“存在Woodin 基數(shù)”，那么：若κ是V中的奇異基數(shù)，則κ+K=κ+。

包括弱覆蓋引理在內(nèi)的多種跡象表明，K與V十分接近（[25]）。若Woodin 基數(shù)不一致，則不存在包含Woodin 基數(shù)的內(nèi)模型，因此，根據(jù)詹森和斯蒂爾的結(jié)果，K十分接近V。又因?yàn)镵 ?HOD，因此有V仍然十分接近HOD。無(wú)論Woodin基數(shù)是否一致，我們都能得到V與HOD 非常接近，我們有理由相信，HOD 中至少應(yīng)該包含Woodin 基數(shù)的真類，從而獲得了超出L的大基數(shù)存在的證據(jù)。

7 總結(jié)

我們?cè)诒疚挠懻摿艘环N實(shí)在論視角下的邏輯觀。這種邏輯觀可為邏輯、集合論和哲學(xué)的關(guān)系提供一種較為合理的解釋?；谶@種邏輯觀，我們分析了實(shí)在論視角下什么是大基數(shù)的內(nèi)在辯護(hù)，即為集合宇宙的結(jié)構(gòu)尋找證據(jù)。這種為集合宇宙的結(jié)構(gòu)尋找證據(jù)的思路不僅是哲學(xué)上可解釋的，而且是集合論實(shí)踐中可操作的，它基于數(shù)學(xué)-物理平行論的實(shí)在論，大致的確可與物理學(xué)對(duì)物理世界的刻畫(huà)相對(duì)應(yīng)。我列舉了武丁工作中可以作為證據(jù)的例子，并簡(jiǎn)單討論了其如何與科學(xué)方法論對(duì)應(yīng)。基于實(shí)在論視角的尋找證據(jù)、對(duì)集合概念的本質(zhì)進(jìn)行探索將是一個(gè)有廣闊前景的問(wèn)題。