劉雙慶，楊 臻，郁衛(wèi)星，王永艷

（中北大學機電工程學院，太原 030051）

0 引言

榴彈是戰(zhàn)場上最常見的武器，榴彈在空中爆炸時，爆炸產(chǎn)生的沖擊波在空氣中迅速減弱，對于遠距離目標的打擊作用，主要是靠破片的殺傷效應，榴彈毀傷威力的評判標準是殺傷面積，其中影響殺傷面積的因素有落速、落角和炸高［1-3］。馬永忠等通過編程計算的方式對影響殺傷面積的主要因素進行了分析［4］。孫韜等通過數(shù)值模擬和試驗的方法得到了有效炸高的范圍，其炸高的上下限值相差達到1.7 m［5］。應國淼等基于射擊線技術對殺傷面積進行了計算［6］。上述文章均需要采用傳統(tǒng)的計算方法要根據(jù)所需要結果的精度，通過數(shù)論網(wǎng)格法來計算，由于計算點數(shù)的限制，導致計算結果不夠精確。趙新通過歐拉距離法改進了粒子群算法，通過引戰(zhàn)配合的方式，以對地面立姿人員為毀傷目標，確定了不同落角情況下榴彈最佳炸高值，相比于傳統(tǒng)算法，計算結果精度更高［7］。在實際作戰(zhàn)中，臥姿人員更符合實際情況，但該文章未對臥姿人員和榴彈落速對殺傷面積的影響進行分析計算。

本文從殺傷面積與落速、落角和炸高的關系入手，以臥姿人員為毀傷目標，建立殺傷面積數(shù)學模型，利用PSO 算法來解決最優(yōu)化的問題，應用隨機慣性法對標準PSO 算法中的慣性權重進行調整，解決PSO 算法前中期局部搜索能力和后期全局搜索能力不足的問題，此方法既能減少粒子數(shù)量，又能提高收斂速度，對比傳統(tǒng)計算方法，計算結果精度更高。

1 數(shù)學模型建立

1.1 殺傷面積數(shù)學模型

殺傷榴彈質心在地面上的投影為坐標原點O，令xoy 為地面，z 軸垂直于地面，建立坐標系如圖1所示：M 為目標點；h 為炸高；θc為落角；α 為彈體和目標的連線與地夾角；φ 為破片飛向角；R 為彈體與目標的距離。

圖1 殺傷榴彈空炸坐標圖Fig.1 Coordinate graph of air burst of fragmentation grenades

殺傷榴彈在設計時，其威力已經(jīng)固定，所以殺傷榴彈在攻擊地面敵方戰(zhàn)斗人員時，殺傷面積會受到炸高、落角和落速的影響，殺傷面積可以表達為殺傷概率在目標平面上的積分［8］，其表達式為：

式中，S 為殺傷面積；h 為炸高；θc為落角；vc為落速；p 為殺傷概率，其表達式為：

式中，Sv為目標暴露面積；Ω（x，y）為殺傷破片的球面分布密度，其表達式為：

式中，N0為有效破片數(shù)目；φ 為破片飛向角；ρ（φ）的表達式為：

式中，f（φ）為密度分布函數(shù)。

1.2 破片空間分布規(guī)律

戰(zhàn)斗部靜止爆炸時，破片靜態(tài)飛向角為φ1，破片速度為v1，可以近似將破片分布密度看作是呈平緩的正態(tài)分布，靜態(tài)密度分布函數(shù)為：

式中，Nφ1為在φ1旋成的圓錐角內的破片數(shù)目；dNφ1為φ1變化dφ1時破片數(shù)目的變化量；σφ1為飛向角的均方差；φˉ1為飛向角的期望，其值通常取π/2。

戰(zhàn)斗部在動態(tài)爆炸時，還存在彈體落速vc，如圖2 所示。vd為疊加后的破片速度，φ2為破片動態(tài)飛向角。動態(tài)爆炸時的殺傷破片的球面分布密度表達式為：

圖2 破片飛向示意圖Fig.2 Schematic diagram of the direction of flying fragments

由圖2 幾何關系得：

1.3 臥姿人員受彈面積

在研究殺傷面積時，一般采用長方體作為人體等效目標，長方體的尺寸為1.5 m×0.5 m×0.25 m，人員的受彈面積與其位置，姿態(tài)，戰(zhàn)斗部位置都有關。在戰(zhàn)場環(huán)境中，人員姿態(tài)多為臥姿，故以臥姿人員為主要研究目標。在計算目標人員受彈面積時，以人員外表面在垂直炸彈目標連線的投影為主；總體受彈面積分為兩部分，一部分為頂部受彈面積Sv1，另一部分為側面受彈面積Sv2，如下頁圖3 所示。

圖3 人員單位受彈部位示意圖Fig.3 Schematic diagram of the parts under fire for personnel

頂部受彈面積Sv1的表達式為：

側面受彈面積Sv2：

假設各個人員姿勢目標相位角β 出現(xiàn)幾率相等，則側面積在垂直地平面的投影面積Sl為：

將式（2）、式（7）和式（11）表達式代入式（1）中，即可得到殺傷面積表達式。

2 PSO 算法

PSO 算法是一種智能優(yōu)化算法，其全稱為粒子群優(yōu)化算法，在上世紀90 年代中期，美國學者Kennedy 和Eberhart 源于對鳥類群體覓食行為提出了此算法，核心思想是利用群體中個體對信息的共享使整個群體的運動在問題求解空間中產(chǎn)生從無序到有序的演化過程，從而獲得問題的最優(yōu)解，可用于多變量優(yōu)化問題中［9-10］。

2.1 PSO 算法流程

在n 維搜索空間中，粒子i 的當前位置Xi=（Xi1，Xi2，…，Xin），當前飛行速度Vi=（Vi1，Vi2，…，Vin），最佳位置pbesti=（pbesti1，pbesti2，…，pbestin）。

對于求解最大值問題，令g（X）目標函數(shù)，確定粒子i 最好位置的表達式為：

式中，d 為迭代次數(shù)。

種群中粒子數(shù)為M，種群中所有粒子所經(jīng)歷過最好的位置為gbest（d），即：

式中，ω 為速度慣性權重；c1為粒子的個體學習因子；c2為粒子的社會學習因子；r1、r2為［0，1］兩個相互獨立的隨機數(shù)；Vid為第d 次迭代時，第i 個粒子的速度；Xid為第d 次迭代時，第i 個粒子的位置；pbestid為第d 次迭代為止，第i 個粒子所經(jīng)過最好的位置；gbestd為第d 次迭代為止，所有粒子所經(jīng)過最好的位置。

算法流程如圖4 所示。

圖4 PSO 算法流程圖Fig.4 PSO algorithm flow chart

2.2 改進PSO 算法

PSO 算法中，慣性權重體現(xiàn)的是粒子繼承先前速度的能力，SHI Y 最先將慣性權重引入到PSO 算法中，并分析指出一個較大的慣性權重值有利于全局搜索，而一個較小的慣性權重則更有利于局部搜索，因此，提出了線性遞減慣性權重。標準PSO 算法中，使用最多的就是線性遞減慣性權重，表達式如下［11-12］：

式中，ωmax為開始迭代式時慣性權重；ωmin為迭代結束時慣性權重；K 為迭代總次數(shù)。

前期ω 的值較大，缺乏局部搜索能力，但隨著迭代次數(shù)的增加，慣性權重ω 的值越來越小，缺乏全局搜索能力，計算過程中可能造成過早收斂于局部最優(yōu)值，而不是收斂于全局的最優(yōu)值。本文利用隨機慣性權重法對PSO 算法中的慣性權重進行改進，可以有效避免在迭代前期局部搜索能力的不足，也可以避免在迭代后期全局搜索能力的不足，隨機慣性權重的表達式為：

式中：rand 為［0，1］均勻分布隨機數(shù)；randn 為正態(tài)分布的隨機數(shù)；σ（標準差）用來度量隨機變量權重ω 與數(shù)學期望之間的偏離程度，主要目的是來控制權重誤差，使權重有利于向期望權重方向進化。

通過引入隨機慣性權重的方法，提高種群的搜索能力，可以減少粒子數(shù)量來提高計算速度，并且精度和收斂速度都可以提高，改進前后慣性權重如圖5 所示。

圖5 慣性權重對比圖Fig.5 Inertia weighting comparison chart

2.3 實例計算

根據(jù)以上理論分析，所要優(yōu)化的數(shù)學模型表達式為：

模型相關的初始值為：N0=3 527；v1=1 000 m/s；σφ1為飛向角的均方差，取π/6.7；ωmax=0.9；ωmin=0.4；K=100；σ=0.3；c1=c2=2。

3 計算結果與分析

3.1 計算結果與分析

當榴彈落速為200 m/s 時，炸高、落角和臥姿人員殺傷面積的關系如圖6 所示。當落角為10°、30°、50°、70°、90°時，炸高和臥姿人員殺傷面積的關系如圖7 所示。當炸高為1 m，5 m，10 m，15 m，20 m 時，落角與臥姿人員殺傷面積的關系如圖8 所示。

圖6 落速200 m/s，炸高、落角和臥姿人員殺傷面積關系圖Fig.6 Killing area relationship chart of，burst height，angle of falling and personnel in prone position with the falling speed of 200 m/s

圖7 落速200 m/s，炸高與臥姿人員殺傷面積曲線圖Fig.7 Killing area curve graph of，explosive height and personnel in prone position with the falling speed of 200 m/s

圖8 落速200 m/s，落角與臥姿人員殺傷面積曲線圖Fig.8 Killing area curve graph of falling angle and personnel in prone position with the falling speed of 200 m/s

當榴彈落角為90°時，炸高、落速和殺傷面積的關系圖，如下頁圖9 所示。當落速為100 m/s、150 m/s、200 m/s 時，炸高和殺傷面積的關系如圖10 所示。

圖9 落角90°時，炸高、落速和殺傷面積關系圖Fig.9 The relationship diagrap among burst height，fall speeding and killing area with the falling angle of 90°

圖10 落角90°時，炸高與殺傷面積曲線圖Fig.10 The curve diagrap of burst height and killing area with the falling angle of 90°

當落速為200 m/s，用傳統(tǒng)方法、PSO 算法和改進PSO 算法對落角15°、30°、50°、70°、90°求解最大殺傷面積和達到最大殺傷面積時所對應的炸高，如表1 所示。

表1 落速200 m/s 時，殺傷面積、炸高、落角對應的結果Table 1 The results corresponding to killing area，burst height and angle of falling at a falling speed of 200 m/s

當落角為90°時，用傳統(tǒng)方法和改進PSO 算法對落速100 m/s、150 m/s、200 m/s 求解最大殺傷面積和達到最大殺傷面積時所對應的炸高，如表2所示。

表2 落角90°時，殺傷面積、炸高、落速對應的結果Table 2 The results corresponding to killing area，burst height and falling speed with the falling angle of 90°

3.2 結果分析

由圖6 和圖7 中可看出，隨著炸高的增加，殺傷面積先增大后減小，其主要原因是，炸高較低時，破片較為集中，作用到目標區(qū)域上的破片數(shù)量較少，殺傷面積較?。划斦ǜ咻^大時，作用到目標區(qū)域的破片數(shù)量減少，所以殺傷面積較??；當炸高超過某一數(shù)值時，隨著落角的增大，殺傷面積衰減得越快，主要原因是，大落角時，榴彈所產(chǎn)生的破片幾乎平行于地面飛行，大部分破片飛向空中，作用到目標區(qū)域內破片數(shù)量減少。

由圖8 可以看出，當炸高為1 m 時，其殺傷面積要比5 m 時小得多，主要原因是飛到目標區(qū)域的破片較為集中，導致殺傷面積較小。當炸高為1 m 和5 m時，隨著落角的增大，殺傷面積逐漸增大；當炸高大于5 m 時，落角存在最優(yōu)值，使得殺傷面積最大。

從圖9 和圖10 可以看出，隨著落速的增加，對殺傷面積的影響并不大，主要原因是，破片的速度要比落速大得多，對破片的飛行軌跡造成的影響較小。

從表1 和表2 可以看出，改進PSO 算法對比傳統(tǒng)方法，改進PSO 算法對最大殺傷面積和炸高的計算精度明顯高于傳統(tǒng)方法，其最大的炸高誤差超過0.1 m。改進PSO 優(yōu)化算法對比標準PSO 算法在落角為30°的計算時，改進的PSO 算法精度要更高。

圖11 為PSO 算法的優(yōu)化過程，標準PSO 算法粒子數(shù)為10，改進PSO 算法粒子數(shù)為5，改進PSO算法所需的粒子數(shù)量更少，且收斂速度更快。

圖11改進PSO 算優(yōu)化過程Fig.11 Optimization process of improving PSO calculation

4 結論

本文提出了計算榴彈最佳殺傷參數(shù)的高效計算方法。首先，以臥姿人員為研究目標，建立了榴彈殺傷面積的數(shù)學模型。其次，基于隨機慣性權重法對PSO 算法進行了改進，并以最大殺傷面積為目標函數(shù)，計算得到本文條件的榴彈，其最優(yōu)落速、落角和炸高的組合為200 m/s，90°，4.457 9 m。對比標準PSO 算法，改進后的算法所需的粒子數(shù)量更少，收斂速度更快，從而計算效率更高。本文計算方法可為榴彈最佳殺傷參數(shù)的設計提供依據(jù)，同時也為毀傷效能評估提供了一種高效的計算方法。