李曉靜，馬建偉，高計(jì)委

（河南科技大學(xué)信息工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471023）

0 引言

導(dǎo)彈在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中發(fā)揮著相當(dāng)重要的作用。在末制導(dǎo)過(guò)程中不僅要求導(dǎo)彈精確命中目標(biāo)，而且往往為了增強(qiáng)對(duì)目標(biāo)的毀傷效果，需要對(duì)碰撞角度加以約束，因而產(chǎn)生了帶碰撞角約束的制導(dǎo)問(wèn)題［1］。

制導(dǎo)律是影響制導(dǎo)性能的關(guān)鍵技術(shù)，是導(dǎo)彈接近目標(biāo)的過(guò)程中應(yīng)當(dāng)遵循的彈目之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，決定著導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)軌跡［2］。到了末制導(dǎo)階段，目標(biāo)往往會(huì)進(jìn)行逃逸，目標(biāo)機(jī)動(dòng)產(chǎn)生的干擾無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)，這就對(duì)末制導(dǎo)律的抗干擾性有較高要求?；？刂茖?duì)系統(tǒng)的不確定性和外界擾動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性，因此，在制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中得到了深入研究［3］。傳統(tǒng)的滑?？刂仆ǔ２捎镁€性形式的滑模面，能夠使系統(tǒng)狀態(tài)以漸近的方式收斂到平衡點(diǎn)上，收斂時(shí)間卻是趨于無(wú)窮的［4］。然而現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中，留給末制導(dǎo)的時(shí)間非常短暫，這就需要系統(tǒng)能夠快速作出響應(yīng)。終端滑模控制（terminal sliding mode control，TSMC）通過(guò)引入非線性項(xiàng)，加快了系統(tǒng)狀態(tài)在接近平衡點(diǎn)時(shí)的收斂速度，確保系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)趨于穩(wěn)定［5］，但是有限收斂時(shí)間與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。對(duì)于有限時(shí)間穩(wěn)定的進(jìn)一步研究，文獻(xiàn)［6］提出了固定時(shí)間收斂（fixed-time convergence，F(xiàn)TC）的概念，F(xiàn)TC 理論是一種對(duì)系統(tǒng)性能要求更高的方法，可通過(guò)預(yù)先設(shè)定時(shí)間表達(dá)式中的參數(shù)計(jì)算得到收斂時(shí)間。文獻(xiàn)［8］討論了含有不確定干擾的制導(dǎo)系統(tǒng)，通過(guò)設(shè)計(jì)固定時(shí)間收斂擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)干擾進(jìn)行估計(jì)，但所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律只考慮了攻擊角約束。文獻(xiàn)［9］提出一種非奇異滑模面，利用自適應(yīng)控制來(lái)對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，設(shè)計(jì)了考慮攻擊角約束的固定時(shí)間收斂制導(dǎo)律，但是并沒有考慮加速度約束。文獻(xiàn)［10］提出了一種考慮自動(dòng)駕駛儀延遲特性的非奇異終端滑模方法，但是該方法是有限時(shí)間收斂。上述文獻(xiàn)中的方法，將攻擊角度，收斂時(shí)間等部分因素考慮到制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中，但是均未考慮加速度對(duì)制導(dǎo)性能的影響，事實(shí)上導(dǎo)彈由于物理限制，其加速度的最大值是有限的，因此，本文將考慮設(shè)計(jì)滿足加速度約束的非奇異快速終端滑模制導(dǎo)律。

本文基于固定時(shí)間理論，提出一種避免奇異的考慮多約束的固定時(shí)間收斂制導(dǎo)律。一方面同時(shí)考慮了攻擊角和加速度約束問(wèn)題，將導(dǎo)彈的最大過(guò)載考慮到制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中；另一方面利用轉(zhuǎn)換滑模面思想，提出了一種非奇異快速終端滑模面，解決了傳統(tǒng)終端滑模的奇異性問(wèn)題，同時(shí)加快了系統(tǒng)的收斂速度。另外，將目標(biāo)機(jī)動(dòng)視作有界干擾在制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中加以補(bǔ)償。最后通過(guò)仿真表明，所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律與傳統(tǒng)固定時(shí)間收斂制導(dǎo)律相比，能夠在滿足加速度飽和約束的情況下，在給定的固定時(shí)間內(nèi)以期望的攻擊角度更快速攔截目標(biāo)。

1 問(wèn)題模型及相關(guān)理論知識(shí)

1.1 問(wèn)題模型

導(dǎo)彈攔截過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)三維空間問(wèn)題，然而常把它解耦成兩個(gè)平面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，如圖1 所示。假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)均為質(zhì)點(diǎn)，速度為常值，分別用M，T，VM，VT表示。r 代表導(dǎo)彈和目標(biāo)之間的相對(duì)距離，q 代表視線角，φM，φT分別代表導(dǎo)彈和目標(biāo)的航跡角，aM，aT表示法向加速度。

圖1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 The relative motion relation between missiles and targets

制導(dǎo)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可描述為：

對(duì)式（2）關(guān)于時(shí)間t 求導(dǎo)，可得：

終端攻擊角θ 定義為導(dǎo)彈攔截目標(biāo)時(shí)VM，VT之間的夾角，qf為終端視線角，φTf為目標(biāo)終端航跡角，則攻擊角θ 與視線角qf一一對(duì)應(yīng)，關(guān)系表達(dá)式如下：

因此，通常將攻擊角約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為考慮LOS角約束問(wèn)題［11］。

假設(shè)qd是期望的終端LOS 角，定義LOS 角誤差為x1=q-qd，LOS 角速率為x2=q˙。根據(jù)式（5）可得

其中，amax為導(dǎo)彈的最大過(guò)載。通過(guò)式（8）可以看出，控制輸入u 不會(huì)超過(guò)導(dǎo)彈的最大過(guò)載。

1.2 理論知識(shí)

定義1［6］考慮如下非線性系統(tǒng)：

注1 由以上定義及引理可看出，固定時(shí)間穩(wěn)定實(shí)際上是一種特殊的有限時(shí)間穩(wěn)定，收斂時(shí)間上界Tmax與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，可通過(guò)設(shè)計(jì)參數(shù)提前給定。

2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 構(gòu)造非奇異固定時(shí)間快速收斂終端滑模面

考慮制導(dǎo)系統(tǒng)（7），文獻(xiàn)［14］給出了一種傳統(tǒng)的固定時(shí)間終端滑模面（conventional fixed time convergence terminal sliding mode，CFTCTSM）設(shè)計(jì)方法：

2.2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性證明

定理1 對(duì)于制導(dǎo)系統(tǒng)（7），采用滑模面（17），如果制導(dǎo)指令aM設(shè)計(jì)為

注4 由于固定時(shí)間制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中使用符號(hào)函數(shù)來(lái)對(duì)干擾上界進(jìn)行補(bǔ)償，所以系統(tǒng)存在抖振問(wèn)題，可以利用飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)來(lái)削弱抖振，設(shè)計(jì)如下：

其中，ε0是一個(gè)很小的正常數(shù)。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證所提出的固定時(shí)間快速收斂制導(dǎo)律的有效性，本章采用如下方式進(jìn)行仿真分析。

假設(shè)導(dǎo)彈和目標(biāo)的初始彈目距離r0=10 km，初始LOS 角q0=π/6，航跡角φM0=π/4，φT0=5π/6，導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度VM=500 m/s，VT=250 m/s，目標(biāo)的加速度aT=10cos（0.3t），重力加速度g=9.8 m/s2，導(dǎo)彈的最大過(guò)載為25 g。制導(dǎo)律中參數(shù)設(shè)定為l1=0.8，l1=0.2，m1=1.6，m2=0.6，l3=0.5，l4=0.3，m3=1.28，m4=0.5，由定理1 得T1=7.280 5 s，T2=14.583 3 s，T=21.863 8 s。

注5 參數(shù)的選擇直接影響收斂時(shí)間上界T 的大小，由于設(shè)定的收斂時(shí)間是任意初始條件下的收斂時(shí)間上界，因此，往往為了保證固定時(shí)間收斂，這個(gè)上界設(shè)定的比較大，而實(shí)際收斂時(shí)間要比它小。為了使設(shè)計(jì)的收斂時(shí)間上界T 更合理，通常會(huì)根據(jù)導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)能力來(lái)調(diào)整參數(shù)的大小。

3.1 以期望視線角攔截目標(biāo)

圖2 彈目相對(duì)距離及飛行軌跡Fig.2 The relative distances and flight trajectories between missiles and targets

圖3 滑模面及導(dǎo)彈加速度變化曲線Fig.3 Variation curves of sliding mode surface and the acceleration of missiles

圖4 視線角及視線角速率變化曲線Fig.4 Variation curves of LOS angles and LOS angle rates

3.2 與其他的固定時(shí)間收斂制導(dǎo)律對(duì)比

若采用形如式（15）的固定時(shí)間終端滑模面，則制導(dǎo)律形式如下：

表1 不同制導(dǎo)律下的脫靶量與攔截時(shí)間Table 1 Miss distance and interception time under different guidance laws

圖5 彈目相對(duì)距離及飛行軌跡Fig.5 The relative distances and flight trajectories between missiles and targets

圖6 滑模面及導(dǎo)彈加速度變化曲線Fig.6 Variation curves of sliding mode surface and the acceleration of missiles

圖7 視線角及視線角速率變化曲線Fig.7 Variation curves of LOS angles and LOS angle rates

4 結(jié)論

本文將攻擊角約束、輸入飽和約束考慮到制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中，從而保證了所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律在滿足加速度最大過(guò)載約束的同時(shí)以期望的角度攔截目標(biāo)。由于引入了多冪次形式的非奇異快速終端滑模面，使得導(dǎo)彈系統(tǒng)能在給定的固定時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)，解決了傳統(tǒng)終端滑?？刂拼嬖诘钠娈愋浴⑹諗克俣嚷膯?wèn)題。進(jìn)一步，在制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中，通過(guò)飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，有效地削弱了控制輸入的抖振。通過(guò)仿真驗(yàn)證，設(shè)計(jì)的非奇異快速固定時(shí)間收斂制導(dǎo)律，保證了LOS 角和LOS 角速率均在設(shè)定的固定時(shí)間內(nèi)快速收斂。由于本文只考慮了平面模型的制導(dǎo)問(wèn)題，針對(duì)帶有約束的三維空間的制導(dǎo)問(wèn)題，將是未來(lái)的研究方向。