于穎嘉, 崔 穎*, 張宏翔, 王大瑋, 鐘兢軍

(1.大連海事大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院, 遼寧 大連 116026;2.上海海事大學(xué) 商船學(xué)院, 上海 201306)

金屬靜密封具有承壓能力高、結(jié)構(gòu)簡單、耐高溫和耐腐蝕等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天和石油化工等領(lǐng)域[1-2].金屬靜密封由兩粗糙面接觸構(gòu)成密封界面，粗糙面上微凸體的存在使得密封界面存在孔隙，如果這些孔隙形成了泄漏通道，可能導(dǎo)致密封介質(zhì)泄漏.密封界面的壓縮量是影響泄漏通道截面尺寸的重要因素，而壓縮量與作用于密封界面的平均接觸壓力密切相關(guān).因此，建立有效的粗糙面接觸模型，研究粗糙面間的真實(shí)接觸狀況，得到壓縮量與平均接觸壓力之間的函數(shù)關(guān)系對研究密封界面的泄漏特性具有重要意義.

長期以來，眾多學(xué)者對粗糙面的接觸問題進(jìn)行了深入的研究.Johnson[3]研究了剛性球體與彈性半空間體的接觸問題，結(jié)合彈性力學(xué)與彈性空間變形規(guī)律得到平均接觸壓力與球體下降高度的關(guān)系，為研究粗糙面間的接觸問題奠定了基礎(chǔ).Greenwood和Williamson[4]將雙粗糙面的接觸簡化為剛性平面與等效粗糙面的接觸，并將微凸體簡化為具有相同曲率半徑的球體，應(yīng)用Hertz接觸理論與概率統(tǒng)計原理提出GW接觸模型.由于GW模型沒有考慮微凸體的彈塑性變形與塑性變形，無法應(yīng)用于中載與重載的情況.Pawlus等[5]和Pullen等[6]對微凸體塑性變形階段進(jìn)行研究，提出粗糙面塑性接觸模型.然而，該模型只適用于重載情況，無法對中載情況下粗糙面間的接觸進(jìn)行計算.GW模型與粗糙面塑性接觸模型均忽略了微凸體的彈塑性變形，為彌補(bǔ)這一不足，Chang等[7]基于體積守恒假設(shè)，應(yīng)用GW模型的建模方法提出了CEB接觸模型.由于CEB模型中臨界屈服點(diǎn)接觸壓力發(fā)生跳躍，降低了其計算精度[8].Zhao等[9-10]對CEB模型進(jìn)行改進(jìn)，以微凸體變形的連續(xù)性假設(shè)代替體積守恒假設(shè)，考慮微凸體的彈性、彈塑性與塑性變形提出了ZMC模型，很好地解決了CEB模型的連續(xù)性問題.李炎等[11]采用移動平均濾波方法對實(shí)際粗糙面進(jìn)行光滑處理，應(yīng)用共軛梯度法求解表面接觸壓力與摩擦力，提高了粗糙面接觸壓力的求解速度.

然而，研究表明現(xiàn)存的統(tǒng)計學(xué)模型的計算結(jié)果相對有限元計算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果偏大[12]，一些學(xué)者認(rèn)為這是由于現(xiàn)有模型沒有考慮粗糙面基底變形導(dǎo)致的[13-14].李治偉等[15]應(yīng)用有限元法研究了不同基底厚度對粗糙面接觸剛度的影響，研究表明基底厚度對粗糙面接觸剛度影響顯著.李玲等[16]以數(shù)控機(jī)床中的金屬結(jié)合面為研究對象，應(yīng)用彈性力學(xué)中集中載荷作用于彈性半空間體模型計算得到基體變形量，對GW模型進(jìn)行修正得到了考慮基底變形的彈性接觸模型.該模型為建立考慮基底變形的接觸模型提供了新思路，但其只適用于彈性接觸.

基于上述研究，本文作者根據(jù)連續(xù)性假設(shè)與基底嚴(yán)重變形區(qū)域理論，得到壓縮量與微凸體真實(shí)變形量的關(guān)系，建立包含基底的微凸體接觸模型；結(jié)合粗糙面微凸體高度分布規(guī)律與微凸體接觸模型提出考慮基底體變形的粗糙面接觸模型.通過與接觸模型的對比驗(yàn)證了本文中接觸模型的合理性.通過分析橫向分辨率與名義接觸面積對粗糙面平均接觸壓力的影響規(guī)律，驗(yàn)證了模型的穩(wěn)定性，為研究密封界面的泄漏特性提供理論基礎(chǔ).

1 考慮基底變形的粗糙面接觸模型

微凸體接觸模型是建立粗糙面接觸模型的基礎(chǔ).根據(jù)統(tǒng)計學(xué)接觸模型的基本假設(shè)[4]，兩微凸體的接觸可簡化為剛性平面與單個微凸體的接觸，如圖1所示.

圖1中ω為壓縮量，z為微凸體高度，d為剛性平面與粗糙面基準(zhǔn)平面的距離，R為微凸體等效半徑，ωb為基底變形量.當(dāng)不考慮基底變形時，由ZMC模型可知微凸體的真實(shí)變形量與壓縮量相等，即

當(dāng)考慮基底變形時，微凸體的真實(shí)變形量ωa為

由公式(2)可知，微凸體的真實(shí)變形量為壓縮量與基底變形量的差值，若不考慮基底變形量，則導(dǎo)致微凸體真實(shí)變形量偏大.為準(zhǔn)確計算微凸體的真實(shí)變形量，需要先計算基底變形量.將微凸體與基底分開討論，當(dāng)微凸體在受到擠壓時，基底同時受到微凸體傳遞過來的壓力，如圖2所示，p0為微凸體傳遞的接觸壓力.根據(jù)彈性力學(xué)，若應(yīng)力分布在1個特征長度為2R的有限表面區(qū)域內(nèi)，則這個區(qū)域稱為嚴(yán)重變形區(qū)域，那么整個半空間體的總變形和應(yīng)力與尺寸為2R的體積在三維空間的總應(yīng)變和應(yīng)力屬于同一數(shù)量級.超過這個嚴(yán)重變形區(qū)域，應(yīng)力以r-2衰減，r為遠(yuǎn)離嚴(yán)重變形區(qū)域的距離，即體積為8R3的正方體空間為能量和力的主要分布空間[17].根據(jù)嚴(yán)重變形區(qū)域理論，我們可以對基底變形量進(jìn)行評估.

1.1 微凸體彈性變形階段

隨著壓縮量的增大，微凸體的變形逐漸由彈性向完全塑性轉(zhuǎn)化.根據(jù)嚴(yán)重變形區(qū)域理論，當(dāng)基底下降ωb時，嚴(yán)重變形區(qū)域的應(yīng)變ε為

則接觸壓力p0為

假設(shè)基底受到的接觸合力為F1，即

式中：E*為等效彈性模量.

E為粗糙面彈性模量，ν為粗糙面泊松比.由赫茲接觸可知，微凸體接觸合力F2為

微凸體的接觸合力與基底的接觸合力相等，即

聯(lián)立公式(2)與公式(7)，得到ωa與ω的關(guān)系：

由GW模型可知，當(dāng)微凸體處于彈性階段時，微凸體上平均接觸壓力Pet為

當(dāng)平均接觸壓力等于0.6H時(H為兩個粗糙面中軟質(zhì)材料的硬度)，微凸體開始進(jìn)入屈服階段[18].根據(jù)公式(9)可導(dǎo)出微凸體進(jìn)入屈服階段的臨界變形量為

當(dāng)ωa小于ω1時，微凸體處于彈性階段，當(dāng)ωa大于等于ω1時，微凸體處于彈塑性階段或塑性階段.

1.2 微凸體塑性變形階段

定義進(jìn)入完全塑性的微凸體臨界變形量為ω2，當(dāng)ωa大于ω2時，微凸體處于完全塑性階段.根據(jù)FA模型[19]：

Fig.1 Contact deformation of asperity圖1 微凸體接觸變形

Fig.2 Severely deformed area of the substrate圖2 基底的嚴(yán)重變形區(qū)域

式中：Ppt為完全塑性階段微凸體的平均接觸壓力.

1.3 微凸體彈塑性變形階段

當(dāng)ω1≤ωa<ω2，微凸體處于彈塑性階段.為滿足微凸體變形的連續(xù)性，構(gòu)建樣板函數(shù)平滑連接微凸體的彈性階段與塑性階段.樣板函數(shù)為

樣板函數(shù)具有在邊界點(diǎn)連續(xù)可導(dǎo)的特點(diǎn)，定義兩個函數(shù)：

在邊界點(diǎn)ω1和ω2，應(yīng)用樣板函數(shù)連接Q與S：

令Q(ωa)=Pet，S(ωa)=Ppt，可以得到微凸體彈塑性階段平均接觸壓力的表達(dá)式：

式中Pept為彈塑性階段微凸體的平均接觸壓力.

1.4 粗糙面接觸模型

由GW模型可知，粗糙面上微凸體的高度服從高斯分布，則在名義接觸面An上，微凸體的個數(shù)n為

式中 ?為微凸體的面密度，Φ(z)為微凸體高度的概率密度函數(shù).當(dāng)壓縮量為ω時，粗糙面上彈塑性變形微凸體的接觸合力Fept(ω)為

粗糙面上彈性變形微凸體的接觸合力Fet為

粗糙面上塑性變形微凸體的接觸合力Fpt(ω)為

則接觸面上接觸合力Ft為

假設(shè)上粗糙面的彈性模量與泊松比分別為E1與ν1，下粗糙面的彈性模量與泊松比分別為E2與ν2，則等效彈性模量為

粗糙面的平均接觸壓力為Ft(ω)/An：

式中等效半徑R以及微凸體面密度η的計算方法參閱文獻(xiàn)[20].

2 接觸模型對比與穩(wěn)定性分析

為驗(yàn)證本文作者提出的接觸模型的合理性，首先應(yīng)用自相關(guān)函數(shù)法生成粗糙度為0.8 μm，自相關(guān)系數(shù)βx=βy=10，名義接觸面積為800 μm×800 μm的各向同性表面[21]，如圖3所示.

粗糙面彈性模量E=210 GPa，泊松比為0.33，硬度為850 MPa.ZMC模型、基于有限元法與粗糙面接觸經(jīng)驗(yàn)公式的KE接觸模型[19]與本文中模型計算得到的接觸合力如圖4所示.由圖4可知，在本文中模型計算得到的接觸合力隨壓縮量的變化關(guān)系與ZMC模型和KE模型相同.當(dāng)壓縮量較小時，三種模型的接觸合力數(shù)值差異很小，隨著壓縮量的增大，三種模型計算得到的接觸合力差異逐漸增大，且本文中模型的計算結(jié)果小于ZMC模型的計算結(jié)果.這表明，基底變形在輕載情況下對接觸面的接觸特性影響較小，在重載時對粗糙面接觸特性影響顯著.同時，在本文中模型的計算結(jié)果更接近KE模型，且考慮了基底變形對粗糙面接觸合力的影響，更貼近于工程實(shí)際，因此模型對比表明本文中模型合理有效.

Fig.3 Rough surface 3D point cloud data圖3 粗糙面三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)

Fig.4 Comparison of contact models圖4 接觸模型對比

針對粗糙接觸面，橫向分辨率和名義接觸面積是其特征參數(shù)，通常需人為選定，因而有必要分析本文中模型的計算是否對這兩個參數(shù)敏感.橫向分辨率是表征粗糙面觀測尺度的物理量，橫向分辨率越小，粗糙面體現(xiàn)的細(xì)節(jié)特征越多.在粗糙面點(diǎn)云數(shù)據(jù)中，樣本個數(shù)N為表征橫向分辨率的量，橫向分辨率越小，N越大.自相關(guān)函數(shù)法生成的點(diǎn)云數(shù)據(jù)橫向分辨率為1 μm，即在100 μm×100 μm的粗糙面上，N=100×100.因此為了研究橫向分辨率對粗糙面接觸特性的影響，應(yīng)用自相關(guān)函數(shù)法在1001 μm×1001 μm的區(qū)域生成N=1001×1001個樣本點(diǎn)，然后分別以1、2、4以及5 μm的間隔進(jìn)行采樣，間隔長度即為橫向分辨率.在壓縮量為2 μm的情況下，計算得到了平均接觸壓力與橫向分辨率的關(guān)系.

如圖5所示，平均接觸壓力隨橫向分辨率的降低而逐漸升高.然而，平均接觸壓力最大上升幅值僅為0.5 MPa，隨著分辨率的降低，平均接觸壓力逐漸收斂.因此，當(dāng)橫向分辨率為1 μm時，可計算得到穩(wěn)定的平均接觸壓力值，進(jìn)而可對粗糙面接觸特性進(jìn)行準(zhǔn)確評估.同時，分別生成名義接觸面積為400 μm×400 μm、600 μm×600 μm、800 μm×800 μm和1 000 μm×1 000 μm，橫向分辨率均為1 μm的三維點(diǎn)云數(shù)據(jù).應(yīng)用本文中的接觸模型對不同名義接觸面積的接觸面分別計算100次，并進(jìn)行均化處理，平均接觸壓力與壓縮量的關(guān)系曲線如圖6所示.

Fig.5 The effect of resolution on average contact pressure 圖5 分辨率對平均接觸壓力的影響

Fig.6 Relation between average contact pressure and nominal contact area 圖6 平均接觸壓力與名義接觸面積關(guān)系曲線

可見，當(dāng)名義接觸面積大于600 μm×600 μm時，名義接觸面的變化對平均接觸壓力影響很小.這表明，粗糙面名義接觸面積的選取應(yīng)大于600 μm×600 μm，此時本文中的粗糙面接觸模型對橫向分辨率和名義接觸面積的選取并不敏感，具有良好的穩(wěn)定性.名義接觸面積為400 μm×400 μm的接觸面計算得到的平均接觸壓力與其他三組數(shù)據(jù)偏差較大，導(dǎo)致該現(xiàn)象的原因是：在計算各向同性表面的面密度η時，需要對點(diǎn)云進(jìn)行一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)的計算并取平均值.對于具有相同橫向分辨率和粗糙度，接觸面名義接觸面積越大，點(diǎn)云數(shù)據(jù)越多，計算得到的面密度越準(zhǔn)確[22].因此，當(dāng)名義接觸面積為400 μm×400 μm時，由于點(diǎn)云數(shù)據(jù)較少，使得m2、m4和面密度η的計算值出現(xiàn)偏差，導(dǎo)致平均接觸壓力值出現(xiàn)誤差.

3 結(jié)論

a.根據(jù)基底的嚴(yán)重變形區(qū)域理論推導(dǎo)得到基底變形量，應(yīng)用受力平衡原理建立粗糙面壓縮量與微凸體真實(shí)變形量的關(guān)系，并提出包含基底的微凸體彈塑性接觸模型；進(jìn)而結(jié)合粗糙面微凸體高度分布規(guī)律與統(tǒng)計學(xué)原理建立考慮基底體變形的粗糙面接觸模型.

b.由本文中的模型與ZMC模型和KE模型的對比可知，本文中模型對平均接觸壓力的計算結(jié)果與ZMC模型和KE模型的計算結(jié)果具有相同的變化趨勢與量級，驗(yàn)證了本文中模型的有效性.本文中模型計算得到的平均接觸壓力在輕載時與ZMC模型的計算結(jié)果相同，隨著載荷的增大，兩種模型計算結(jié)果的分離度逐漸增加，且本文中模型的計算結(jié)果小于ZMC模型的計算結(jié)果.這表明，基底變形只在重載的情況下對接觸面的接觸狀態(tài)有顯著影響.

c.應(yīng)用本文中模型研究了橫向分辨率與名義接觸面積對接觸面平均接觸壓力的影響，結(jié)果表明，平均接觸壓力與橫向分辨率成反比，當(dāng)橫向分辨率為1 μm時，可計算得到穩(wěn)定的平均接觸壓力值；名義接觸面積的取值應(yīng)大于600 μm×600 μm，此時名義接觸面積對平均接觸壓力無影響，平均接觸壓力對橫向分辨率與名義接觸面積的變化并不敏感，這表明本文中模型具有良好的穩(wěn)定性.