張梓軒, 王 飛, 齊子森, 許 華, 梁 佳

(1.空軍工程大學信息與導航學院,西安,710077;2.95133部隊,武漢,430014)

來波信號極化特征與方位信息的耦合是共形陣列天線波達方向(direction-of-arrival,DOA)估計的難點[1-2]。共形陣列DOA估計大多采用旋轉(zhuǎn)不變子空間算法(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques ,ESPRIT)[3],將來波信號的二維角參數(shù)與極化參數(shù)解耦合,以達到不考慮極化參數(shù)而實現(xiàn)高分辨方位估計的效果[2]。但此類算法的子空間估計涉及復值矩陣的特征值分解,計算量龐大的問題較為突出,有必要尋求高效處理方法。

在超分辨空間譜估計30多年的發(fā)展歷程中,學者們對經(jīng)典線陣、面陣的高效超分辨算法的研究取得了豐碩的成果[4-9]。高效超分辨算法致力于減少系統(tǒng)的復雜度和算法的運算量,以滿足應(yīng)用系統(tǒng)對多信源實時測向的需求,實值/半實值類算法[10-14]就是其中的典型代表。實現(xiàn)超分辨算法實值化最具代表性的方法是基于陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的酉變換技術(shù),文獻[10]充分利用中心對稱陣列(如均勻線陣)輸出數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為艾米特中心對稱矩陣的特性,通過數(shù)據(jù)變換,將復數(shù)運算轉(zhuǎn)換為實值運算,運算量可縮減75%。文獻[12]提出了協(xié)方差矩陣分裂思想,對實值運算和陣列結(jié)構(gòu)的任意性進行折中,進而發(fā)展了兩種全新的基于半實值運算的超分辨算法,擺脫了算法對陣列結(jié)構(gòu)的依賴性,但仍存在鏡像方位的模糊問題,需要在算法應(yīng)用過程中進一步處理。

本文將協(xié)方差矩陣分裂思想[15-18]引入到錐面共形陣列天線DOA估計,給出了一種高效的錐面共形陣列天線盲極化DOA估計方法。該方法將子空間估計過程實值化處理,通過子陣分割設(shè)計解決了協(xié)方差矩陣分裂引起的“鏡像模糊”問題,并推導了參數(shù)估計的克拉美-羅界(Gramer-Rao bound,CRB),所提算法在保證DOA估計精度的前提下降低了算法復雜度。

1 錐面共形陣列天線快拍數(shù)據(jù)建模

對于錐面共形陣列,因其具有對稱性,可將陣列劃分為多個子陣,每個子陣的DOA估計算法均相同。因此,以下進行的算法分析,針對其中的一個子陣進行即可。

錐面共形陣列的子陣設(shè)置如圖1和圖2所示,以圓錐的頂點作為坐標軸的原點O,在圓錐面的母線上劃分l1,l2,l33個子陣,每個子陣上有m個陣元均勻分布,并且處于同一條母線上的相鄰陣元間距為λ/2(λ為入射信號波長)。

圖1 錐面共形陣列(陣元全局分布)

圖2 錐面共形陣列(局部陣元與全局分布關(guān)系)

子陣l1,l2,l3在全局坐標系XOY面投影如圖3所示,3條母線與X軸順時針的旋轉(zhuǎn)方向的夾角分別為α1,α2,α3,且α1=π-α3,α2∈(α1,α3)。

圖3 錐面共形陣列天線俯視圖

以上子陣設(shè)置可實現(xiàn)方位角φ∈(α1,α3)的估計,所以將整個圓錐上的多個子陣綜合起來,可實現(xiàn)φ∈(0,2π)的方位角估計。

由文獻[17]給出的共形陣列天線快拍數(shù)據(jù)建模方法,可得錐面共形陣列的導向矢量為:

(1)

式中:ri為第i(i≤m)個陣元在全局坐標系中,對單位強度來波信號的響應(yīng);Gi為第i個陣元在全局坐標系中的位置矢量;u為來波信號的方向矢量;θ和φ分別為來波信號相對于全局坐標系的俯仰角和方位角。

當有n個來波信號時,陣列的流形矩陣為:

A=[a(θ1,φ1),a(θ2,φ2),…,a(θn,φn)]

(2)

所以,此錐面共形陣列的快拍數(shù)據(jù)模型為:

X=AS+N=(AθKθ+AφKφ)S+N

(3)

Kθ=diag(k1θ,k2θ,…,knθ)

(4)

Kφ=diag(k1φ,k2φ,…,knφ)

(5)

S=[s1,s2,…,sn]T

(6)

N=[n1,n2,…,nn]T

(7)

式中:K為對角陣;S為信號矢量;N為噪聲矢量;θ和φ分別為入射信號在全局坐標系中的俯仰角和方位角。

2 實值盲極化DOA估計方法

由協(xié)方差矩陣R的公式有:

(8)

由此,可將R-AOCM和I-AOCM表示為:

Re(R)=

(9)

Im(R)=

(10)

式(8)表明接收數(shù)據(jù)矩陣X是由所有數(shù)據(jù),也就是n個快拍數(shù)據(jù)組成的,它必須包含關(guān)于信源DOA的全部信息,而這些信息分別包含于Re(X)和Im(X)中。從這樣的觀點來看,Re(X)和Im(X)對于信源DOA的估計都是必要的,理論上必須同時用于DOA估計。

不過,根據(jù)式(9)和(10)可以直觀地發(fā)現(xiàn),它們都同時包含了Re(X)和Im(X),所以,R-AOCM和I-AOCM所包含的信息已經(jīng)足夠?qū)ふ宜笮旁吹腄OA。因此,單獨通過R-AOCM或I-AOCM來求得信源DOA是有可能的。這兩個部分單獨使用時,也就不存在復數(shù)域的計算,即完成了原本算法的實值化,所以,在理論上,將顯著降低原算法的計算復雜度。

原始的信號子空間span(S)及其共軛信號子空間span(S*)的交集為:

span(G)span(S)∩span(S*)

(11)

由式(11)可知,span(G)是span(S)的一個子集,它也自然包含了span(S)的一部分向量。因此,可用span(G)替代span(S)進行信源DOA的估計。

但是,span(G)與span(S)有一個根本性差別,即span(G)與span(A)(A為陣列流形)在信源的真實DOA方向上和它們的鏡像方向上同時具有雙重正交性[11],表示為:

(12)

所以,在對信號協(xié)方差矩陣R的實部或者虛部直接進行特征分解處理后,提取信號子空間時,需要提取的特征向量應(yīng)該翻倍。因為,此時的信號子空間既包含了真實信源方位,還包含著鏡像方向上的信源方位,也就是與真實信號等數(shù)量的虛假的信號。為了準確提取到真實信號方位的信息,必須將真實信號和虛假信號的特征信息同時提取,進行一系列處理直至求出方位信息后,再加以甄別,最終得出準確的信號方位。

如圖1所示,每個子陣對均由同一條母線上分布的m個陣元構(gòu)造,即1～m-1陣元,構(gòu)成第1個陣列,2～m陣元構(gòu)成另一個陣列,2個陣列之間的距離為λ/2。以此類推,可分別得到母線l1、l2、l3上距離矢量各不相同的3個子陣對。

分割母線l1上分布的陣元情況見圖4。

圖4 對母線上陣元的分割

如圖4所示,子陣l11的接收數(shù)據(jù)為:

X11=A11S+N11=

(A11θKθ+A11φKφ)S+N11

(13)

子陣l12的接收數(shù)據(jù)為:

X12=A12S+N12=

(A11θKθ+A11φKφ)Φ1S+N12

(14)

式中:Φ1為相位差矩陣。

Φ1=diag[exp(-jw11),exp(-jw12),…,exp(-jw1n)]

(15)

w1i=(2π/λ)dv1ui=πv1ui

(16)

展開即得:

w1i=π[sin(θv1)cos(φv1)sin(θi)cos(φi)+

sin(θv1)sin(φv1)sin(θi)sin(φi)+cos(θv1)cos(θi)]

(17)

X11和X12的最后一行組成了母線l1的快拍數(shù)據(jù)X1:

(18)

式中:N11表示子陣l11接收的噪聲矢量;N12表示子陣l12接收的噪聲矢量;v1為子陣l11與子陣l12距離的方向矢量。同理,將l2、l3劃分為l21、l22和l31、l32,即可獲得其快拍數(shù)據(jù)X2和X3以及Φ2和Φ3。文獻[3]中已證明,矩陣φ1,φ2,φ3與用對應(yīng)的Φ1,Φ2,Φ3的特征值來分別構(gòu)成的對角陣相等,此處不再詳細闡述。接下來,我們便可通過Φ1,Φ2,Φ3這幾個包含旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系的矩陣,結(jié)合式(16)求解信號的方向參數(shù)。

陣列的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為:

(19)

利用式(9)或(10)替換協(xié)方差矩陣,完成矩陣實值化處理,并進行特征分解:

(20)

式中:US為陣列信號子空間的特征矢量矩陣,根據(jù)式(18),可以知道US的第1～m-1行為子陣l11對應(yīng)的信號子空間,將其記為US11;US的第2～m行為子陣l12對應(yīng)的信號子空間,將其記為US12。同理還可得到US21,US22,US31,US32。

對應(yīng)ESPRIT里的最小二乘法為:

(21)

式(15)中的exp(-jw1i)(i=1,2,…,n)即為Φ1的特征值t1i。同理可得Φ2的特征值t2i,Φ3的特征值t3i。

此時,結(jié)合α1=π-α3,α2∈(α1,α3)分別求解t1i,t2i,t3i,就可求出入射信號的方位角φi為:

φi=arctan

(22)

入射信號的俯仰角θi為:

(23)

zji=angle(tji)/(πλ),j=1,2,3

(24)

至此,在不考慮來波信號的極化參數(shù)的情況下,求解得到來波信號的方向信息,實現(xiàn)了盲極化DOA估計。

綜上所述,錐面共形陣列天線的實值盲極化DOA估計算法的流程為:

1)在已求出快拍數(shù)據(jù)矩陣X的基礎(chǔ)上,按照式(8)得到此陣列的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R;

2)采用實值化算法,在R-ACOM上進行特征分解,得到實值的信號子空間,從而分別得到母線l1、l2、l3對應(yīng)的Φ1、Φ2、Φ3;

3)對Φ1、Φ2、Φ3進行特征分解,得到t1i、t2i、t3i;

4)根據(jù)式(22)～(24),得到對應(yīng)的n個接收信號的方向信息;

5)通過限定子陣的空域覆蓋范圍,對估計出的信號俯仰角和方位角進行判定,排除虛假信號,從而得到最終準確的信號方位。

就運算復雜度而言,ESPRIT算法的運算復雜度主要集中在對數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R的處理上,所以本節(jié)僅對協(xié)方差矩陣R特征分解部分的計算量進行討論。表1給出了錐面共形陣列天線盲極化DOA估計算法和錐面共形陣列天線實值盲極化DOA估計算法的運算復雜度對比情況,其中,算法的運算復雜度均以各算法中包含的實數(shù)乘法運算次數(shù)來表示。表格中4×O(M2L)為給出的計算復數(shù)矩陣R的逆矩陣或EVD所包含的實數(shù)乘法次數(shù)[13]。其中,M為陣元個數(shù),L為仿真實驗的快拍次數(shù)。

表1 運算復雜度(實數(shù)乘法次數(shù))對比

由表1可以看出,錐面共形陣列天線實值盲極化DOA估計算法在運算復雜度上相較于錐面共形陣列天線盲極化DOA估計算法,降低了約75%的運算量。按照此對比,節(jié)省時間約75%,但是在實際仿真中,由于本文所采用的實值化算法將真實信號和虛假信號的特征信息同時提取出來,進行一系列處理直至求出方位信息后,再加以甄別,最終得出準確的信號方位。這其中甄別真假信號的過程是原算法所沒有的,所以,最終節(jié)省時間的百分比會小于75%。具體數(shù)值則與這部分操作所占時間比有關(guān)。

3 理論性能分析

ESPRIT算法可實現(xiàn)對信源方位角參數(shù)的無偏估計,與之對應(yīng)的CRB給出了無偏參數(shù)估計方差的下限,本節(jié)將推導實值盲極化DOA估計的CRB。為了簡化推導過程,假設(shè)信源的相關(guān)矩陣RS已知,且噪聲方差歸一化為1。則陣列協(xié)方差矩陣R中包含4n個未知參數(shù),即n個俯仰角參數(shù),n個方位角參數(shù),2n個極化參數(shù)。估計參數(shù)可用矢量p表示為:

pT=[θ1,φ1,θ2,φ2,…,θn,φn,k1,k2,…,kn,

δ1,δ2,…,δn]

(25)

方位參數(shù)與極化參數(shù)聯(lián)合估計的CRB設(shè)為BCR,則:

(26)

BCR=F-1

(27)

4n×4n的Fisher信息矩陣F可分塊表示為:

(28)

式中:Fθθ為俯仰角估計塊;Fφφ為方位角估計塊;Fkk為極化矢量幅度比分量估計塊;Fδδ為極化矢量相差的分量估計塊;其它模塊為相應(yīng)參數(shù)估計的互相關(guān)塊。Fisher矩陣的第i行j列元素Fij為[14]:

trace[DiRSAHR-1DjRSAHR-1]}

(29)

(30)

式中:trace(·)表示取矩陣(·)的跡;?R/?pi表示對矩陣R求pi的偏導,則有:

(31)

(32)

(33)

(34)

4 仿真實驗

4.1 實驗1:估計參數(shù)誤差與信噪比分析

實驗條件:陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示,極化幅度比為5,相差為30°,實驗執(zhí)行次數(shù)5 000次;信噪比-5 dB～15 dB,步進1 dB;陣元數(shù)30個,快拍次數(shù)100次。波達方向1的俯仰角為65°,方位角為80°;波達方向2的俯仰角為80°,方位角為95°。

(a)俯仰角估計偏差與信噪比分析

由仿真實驗可知,所提算法可以解決多輻射源方位估計問題,隨著信噪比的增加,本文實值高效算法的DOA估計成功概率、估計方差以及估計偏差都逐步趨近文獻[3]中所提算法,當信噪比大于5 dB時,對方位角的估計效果與文獻[3]中算法基本相同,對俯仰角的估計效果與文獻[3]中算法相比存在一定差距,但是本文算法的俯仰角估計偏差控制在0.5°以內(nèi),基本滿足對多信源精細分辨的需求。

4.2 實驗2:估計參數(shù)誤差與快拍次數(shù)分析

實驗條件:陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示,極化幅度比為5,相差為30°,實驗執(zhí)行次數(shù)5 000次;信噪比5 dB;陣元數(shù)30個,快拍次數(shù)1 000次起,步長100次,結(jié)束于5 000次,波達方向1,俯仰角為65°,方位角為80°;波達方向2,俯仰角為:75°,方位角為90°。

(a)俯仰角估計偏差與快拍次數(shù)分析

由仿真實驗可知,快拍次數(shù)的提升對本文算法以及文獻[3]中算法的DOA估計效果影響十分明顯,當快拍數(shù)在3 000次以上時,估計效果隨著快拍的增加變化趨于平緩,但整體估計精度的變化并不如信噪比對估計結(jié)果的影響明顯。本文算法對俯仰角與方位角的估計效果均未隨快拍增加,與文獻[3]中算法的實驗結(jié)果趨勢一致。這也說明協(xié)方差矩陣分裂造成了數(shù)據(jù)信息的丟失,影響了所采樣本的信息含量,帶來的差距不能單純靠數(shù)據(jù)累計來補償。

4.3 估計參數(shù)誤差與陣元數(shù)分析

實驗條件:陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示,極化幅度比為5,相差為30°,實驗執(zhí)行次數(shù)5 000次;信噪比0 dB;快拍次數(shù)200次;陣元數(shù)150～600個,步進30個。波達方向1,俯仰角為65°,方位角為80°;波達方向2,俯仰角為75°,方位角為90°。

(a)俯仰角估計偏差與陣元個數(shù)分析

由仿真實驗可知,陣元個數(shù)的增加對參數(shù)估計效果的提升十分明顯,成功概率、估計偏差以及估計方差均隨著陣元個數(shù)增加快速變化并與文獻[3]中算法的估計效果趨于一致,這也說明參數(shù)估計效果對天線口徑的變化極其敏感。

4.4 參數(shù)估計理論界仿真

實驗條件:陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示,極化幅度比為5,相差為30°,實驗執(zhí)行次數(shù)為5 000次;信噪比-5 dB～15 dB,步進1 dB;陣元數(shù)30個,快拍次數(shù)100次;波達方向1,俯仰角為65°,方位角為80°;波達方向2,俯仰角為75°,方位角為90°。文獻[3]中算法的參數(shù)估計CRB推導詳見該文獻。

圖8 估計參數(shù)的理論界限對比

由仿真結(jié)果可知:對協(xié)方差矩陣進行實值化處理后,參數(shù)的估計性能有損失,估計的理論線均大于實值化處理之前,但隨著信噪比的增加,逐步趨于一致。仿真還呈現(xiàn)出俯仰角的估計效果好于方位角,主要原因是圖1給出的陣列結(jié)構(gòu)中母線上陣元數(shù)多于錐體橫截面陣元數(shù),所以對俯仰角分辨能力強,方位角分辨能力則差一些。

4.5 算法仿真時間分析

實驗條件:陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示,極化幅度比為5,相差為30°,信噪比10 dB;快拍次數(shù)為100次;運行次數(shù)100次;波達方向1,俯仰角為65°,方位角為80°;波達2,俯仰角為80°,方位角為95°;陣元數(shù),150～600,步進150。

表2 算法仿真時間對比

由算法仿真時間對比可以看出,算法經(jīng)過實值化處理后可顯著降低算法復雜度,總體運行時間是文獻[3]中所提算法的60%～70%之間,而且天線規(guī)模越大,陣元個數(shù)越多,復雜度下降比例越大,充分驗證了算法的高效性。

5 結(jié)語

本文基于協(xié)方差矩陣分裂思想,將快拍數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣實值化處理,給出了一種高效的錐面共形陣列盲極化波達方向估計方法,所提算法將子空間估計過程進行實值化,并通過子陣分割解決了協(xié)方差矩陣分裂引起的“鏡像模糊”問題,推導了實值盲極化DOA估計的克拉美-羅界,對參數(shù)估計的理論性能界進行了分析,討論了算法復雜度改善情況,在保證DOA估計精度的前提下有效降低了算法復雜度.計算機仿真表明,新算法在信噪比為10 dB時,估計精度與原算法基本一致,而運算量僅為原算法的60%～70%,驗證了算法的有效性。