陳正隆,李同杰,李曉貞

(安徽科技學院 機械工程學院,安徽 鳳陽 233100)

隨著科學技術(shù)的發(fā)展,仿生學和智能機器人技術(shù)越發(fā)成熟,關(guān)節(jié)作為機器人運動的重要部件,結(jié)構(gòu)和尺寸越來越精密,由仿生學引起的機器人熱點分類——柔性機器人,被學術(shù)界視為最有可能的新一代機器人發(fā)展方向[1-2]。傳統(tǒng)關(guān)節(jié)主要是以剛性結(jié)構(gòu)為主,靈活性、安全性較差,基于此原因人們開始研究具有彎曲性、靈活性的關(guān)節(jié),并將這類關(guān)節(jié)稱為柔性關(guān)節(jié)[3-4]。

柔性關(guān)節(jié)廣泛地在工業(yè)、醫(yī)療等各個領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)用,驅(qū)動繩和形狀記憶合金是目前廣泛采用小型柔性關(guān)節(jié)驅(qū)動方式[5]。Dong等[6]已研制一種由3根柔性的繩索來驅(qū)動關(guān)節(jié)運動的蛇形臂機器人;李法民等[7]利用指數(shù)積(POE)公式建立繩驅(qū)動機器人的運動學模型;薛贊等[8]提出一種具有更強環(huán)境適應(yīng)性、更高自由度和更大工作空間的冗繩驅(qū)動機械臂。在形狀記憶合金方面,王魯炳等[9]基于形狀記憶合金絲設(shè)計了一種多關(guān)節(jié)可彎曲柔性機械臂。形狀記憶合金由于制造復(fù)雜、安裝要求高,所以在工程化開發(fā)中一般使用繩驅(qū)動作為小型柔性關(guān)節(jié)驅(qū)動方式[10-11]。

繩驅(qū)動的結(jié)構(gòu)原理是將驅(qū)動繩的一端固定在綁線機構(gòu)上,另一端固定在運動機構(gòu)上,并在二者之間設(shè)置驅(qū)動繩的限位通道,限位通道使得驅(qū)動繩按照設(shè)定的方向運動;通過綁線機構(gòu)的運動,帶動驅(qū)動繩在限位通道中的運動,驅(qū)動繩在綁線機構(gòu)中的繩長發(fā)生變化,從而使得運動機構(gòu)中的驅(qū)動繩繩長發(fā)生變化,進而帶動運動機構(gòu)發(fā)生運動。繞圓運動的特性導致綁線機構(gòu)在彎曲運動時內(nèi)側(cè)和外側(cè)的驅(qū)動繩長的變化值不同,使得運動機構(gòu)中對應(yīng)綁線機構(gòu)的彎曲內(nèi)外側(cè)的驅(qū)動繩長變化值也不同,即彎曲一側(cè)的驅(qū)動繩繃緊,另一側(cè)放松,導致綁線機構(gòu)和運動機構(gòu)存在運動不同步的情況[12-13]。因此,需要對綁線機構(gòu)進行設(shè)計優(yōu)化,使用三維軟件建數(shù)學模型,Matlab軟件進行數(shù)值模擬等方法來分析模型[14],旨在減少綁線機構(gòu)造成的驅(qū)動繩繩長變化差值,提高運動的同步性。

繩驅(qū)動作為小型柔性關(guān)節(jié)的一種驅(qū)動方式,應(yīng)用的結(jié)構(gòu)中柔性關(guān)節(jié)的直徑普遍小于20 mm,由于結(jié)構(gòu)的設(shè)計,驅(qū)動繩直徑選擇在1 mm以下,應(yīng)用的結(jié)構(gòu)受力不超過50 N,已知直徑0.3 mm的尼龍線拉力為187 N,遠遠超出結(jié)構(gòu)最大受力,產(chǎn)生的拉伸變形可以忽略不計;由于運動機構(gòu)的運動方向是由若干個限位通道的軸線方向擬合而成的弧線,驅(qū)動繩安裝在限位通道中,運動方向沿著限位通道的軸線方向前后運動,驅(qū)動繩對限位通道壁的壓力可以忽略,即忽略摩擦力。本研究在模型的建立和計算結(jié)果的分析中均設(shè)為理想狀態(tài)下,不考慮驅(qū)動繩拉伸變形和驅(qū)動繩與綁線結(jié)構(gòu)之間摩擦的情況。

1 繩驅(qū)動萬向關(guān)節(jié)綁線機構(gòu)數(shù)學模型的建立

1.1 綁線機構(gòu)的三維模型

綁線機構(gòu)由1個二自由度球關(guān)節(jié)作為主要部分,如圖1所示,為限制三自由度球關(guān)節(jié)的自由度,球關(guān)節(jié)底座上的球體單方向在徑向處設(shè)有凹槽讓位腔,球關(guān)節(jié)搖桿上的外球體相對應(yīng)位置處設(shè)有凸臺限位塊[15-17];球關(guān)節(jié)底座運動時固定,球關(guān)節(jié)搖桿在平面兩方向上自由運動,疊加形成萬向運動,控制萬向關(guān)節(jié)的萬向運動;萬向關(guān)節(jié)一般由4根驅(qū)動繩控制,驅(qū)動繩的穿線點分布在萬向關(guān)節(jié)圓截面上,4個穿線點均分由穿線點到關(guān)節(jié)圓心為半徑的圓,1組穿線點之間的連線經(jīng)過凹槽讓位腔和凸臺限位塊的對稱中心;軸截面上的2根驅(qū)動繩為1組控制1個方向,球關(guān)節(jié)搖桿單向運動時,同組的2根驅(qū)動繩同步運動,處于萬向關(guān)節(jié)彎曲內(nèi)側(cè)的繩子收緊變短,彎曲外側(cè)的繩子放松變長,使得萬向關(guān)節(jié)同步彎曲。球關(guān)節(jié)因為凹槽讓位腔和凸臺限位塊的存在不發(fā)生相對自轉(zhuǎn),不打亂驅(qū)動繩的分布;凹槽讓位腔和凸臺限位塊使得球關(guān)節(jié)在萬向運動時2個方向上的運動軌跡并不相同,2組驅(qū)動繩繩長的變化也不同,因此建立數(shù)學模型時將2組驅(qū)動繩分別計算分析。

圖1 綁線機構(gòu)三維模型Fig.1 Three-dimensional model of the wire tying mechanism

1.2 綁線機構(gòu)的數(shù)學模型

1.2.1 三維模型簡化 將綁線機構(gòu)的三維模型進行分析、簡化,簡化后的模型如圖2所示,三維模型中繩長轉(zhuǎn)換成簡化模型中2點之間的距離,數(shù)學模型中體現(xiàn)為距離的數(shù)值大小。簡化后的綁線機構(gòu)模型由綁線球、限位圓盤、驅(qū)動線組成,綁線球是半徑為r的球體,位于XaYaZa坐標系中,球心為XaYaZa坐標系原點,原模型中凹槽讓位腔和凸臺限位塊位于XaZa平面。XaYa平面圓周均分設(shè)4個綁線點A1、B1、C1、D1。綁線球正下方放置1個限位圓盤,圓盤的半徑為R,圓盤的圓心和球體的球心的距離為L,設(shè)圓盤平面為XY平面,限位圓盤指向綁線球的方向為Z軸正方向,XY平面上圓周均分4個出線點A、B、C、D。在XaYaZa坐標系的坐標為：A(0,-R,-L)、B(R,0,-L)、C(0,R,-L)、D(-R,0,-L)。XaYaZa坐標系經(jīng)過繞Ya軸和Xb軸分別旋轉(zhuǎn)α度和β度后變換為XbYbZb坐標系、XcYcZc坐標系,綁線點A1在旋轉(zhuǎn)后為點A2、A3,B1、C1、D1點同理。驅(qū)動繩為連接對應(yīng)綁線點和出線點之間的線段,根據(jù)角度變換導致驅(qū)動繩繩長的變化。將驅(qū)動繩分為BD側(cè)驅(qū)動繩和AC側(cè)驅(qū)動繩：B和D點的驅(qū)動繩經(jīng)過1次角度的變化,控制1個方向的運動且位于同一軸截面上;A和C點的驅(qū)動繩經(jīng)過2次角度的變化,控制1個方向的運動且位于同一軸截面上。

圖2 簡化后的綁線機構(gòu)模型Fig.2 Simplified model of the wire tying mechanism

1.2.2 數(shù)學模型建立 使用旋轉(zhuǎn)矩陣求A3點在XaYaZa坐標系的坐標：A3點在XcYcZc坐標系中的坐標為(0,-r,0),首先通過繞Xc軸旋轉(zhuǎn)β度得到XbYbZb坐標系,其次通過Yb軸旋轉(zhuǎn)α度得到XaYaZa坐標系;用齊次方程法將A3點在XcYcZc坐標系中的坐標轉(zhuǎn)換成(0,-r,0,1),寫成矩陣的格式。

(1)

XcYcZc坐標系繞Xc軸旋轉(zhuǎn)β度得到A3點在XbYbZb坐標系中的坐標：

A3b=RX×A3

(2)

XbYbZb坐標系繞Yb軸旋轉(zhuǎn)α度得到A3點在XaYaZa坐標系中的坐標：

A3a=RY×A3b

(3)

聯(lián)立式(2)～(3)得：

A3a=RY×RX×A3=R×A3

(4)

總的旋轉(zhuǎn)矩陣R：

(5)

聯(lián)立式(1)、(4)、(5)得：

(6)

即A3點在XaYaZa坐標系中的坐標：

A3：(-rsinαsinβ,-rcosβ,-rcosαsinβ)

同理可得B1、C1、D1等3點在經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換后的B3、C3、D3等3點的坐標：

B3：(rcosα,0,-rsinα)

C3：(rsinαsinβ,rcosβ,rcosαsinβ)

D3：(-rcosα,0,rsinα)

三維坐標系中兩點之間的距離公式：

(7)

將得到的4個點的坐標帶入式(7),得到經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換后4個綁線點對應(yīng)圓盤出線點的距離：

(8)

(9)

(10)

(11)

聯(lián)合式(8)、(10)得到AC側(cè)2根驅(qū)動繩繩長變化值的差值：

(12)

聯(lián)合式(9)、(11)得到BD側(cè)2根驅(qū)動繩繩長變化值的差值：

(13)

2 數(shù)字模型計算分析

分析數(shù)學模型發(fā)現(xiàn)同組驅(qū)動繩繩長的差值只和綁線球半徑r、限位圓盤半徑R和綁線球球心與限位圓盤圓心之間的距離L相關(guān),原模型中綁線球半徑r和限位圓盤半徑R相等,綁線球球心與限位圓盤圓心之間的距離L在不同應(yīng)用結(jié)構(gòu)中變化,將數(shù)學模型導入Matlab軟件中進行數(shù)值分析計算,計算2組驅(qū)動繩在不同的綁線球半徑r、限位圓盤半徑R和綁線球球心與限位圓盤圓心之間的距離L之間的關(guān)系導致的驅(qū)動繩繩長差值大小。綁線球半徑設(shè)為r=50,旋轉(zhuǎn)角度α和β設(shè)為0°～30°。

2.1 BD側(cè)驅(qū)動繩繩長差值

BD側(cè)驅(qū)動繩繩長經(jīng)過1次旋轉(zhuǎn)變換,設(shè)限位圓盤半徑R和距離L為綁線球半徑r的倍數(shù)來進行數(shù)值分析。

2.1.1 原模型繩長差值 原綁線機構(gòu)模型中限位圓盤半徑R等于綁線球半徑r,取不同長度的距離L,得到BD側(cè)繩長差值與角度的折線圖。由圖3可知,限位圓盤半徑R等于綁線球半徑r時,在同一根折線上α=30°時差值最大,隨著距離L的不斷增大,驅(qū)動繩繩長的差值越來越小,但折線的變化趨勢不變,表示距離L不是影響結(jié)果的主要參數(shù)。

圖3 R=r時BD側(cè)驅(qū)動繩繩長變化Fig.3 Change of BD side drive rope length when R=r

2.1.2 優(yōu)化模型繩長差值 距離L不是影響驅(qū)動繩繩長差值變化趨勢的主要參數(shù),因此取不同的限位圓盤半徑R值來分析計算結(jié)果的變化趨勢,取限位圓盤半徑R等于1.2r和0.8r時,得到差值折線圖。由圖4可知,同根折線上在α=30°時差值最大;由圖4(a)可以明顯發(fā)現(xiàn)在R=1.2r時,繩長差值的變化明顯的提高了2倍以上;由圖4(b)可知當限位圓盤半徑R等于0.8r時,繩長的差值變成了負值,但繩長差值極值的絕對值與原模型接近。結(jié)合圖3～4中折線的發(fā)展趨勢和數(shù)值大小分析易知：在限位圓盤半徑R的值(0.8～1)r,BD側(cè)驅(qū)動繩繩長變化的差值從正值變?yōu)樨撝登医^對值接近,表明當R取值范圍在此區(qū)間內(nèi)時,模型的BD側(cè)驅(qū)動繩繩長變化的差值小于原模型。該取值范圍減小了繩長差值,優(yōu)化了萬向關(guān)節(jié)運動的同步性。

圖4 R=1.2r和R=0.8r時BD側(cè)驅(qū)動繩繩長變化Fig.4 Change of BD side drive rope length when R=1.2r and R=0.8r

2.1.3 二次優(yōu)化模型繩長差值 為進一步優(yōu)化繩長的差值,將特定參數(shù)帶入數(shù)學模型,反求出R和r的關(guān)系。將L=r、α=30°帶入模型中得到折線圖(圖5),當R和r的比值在0.9～0.95時,差值存在零點;將差值0帶入圖5,得到R=0.928r。將該參數(shù)下的模型進行數(shù)值分析,得到差值的折線圖(圖6)。由圖3～6和表1可知,影響計算結(jié)果變化趨勢的主要參數(shù)是限位圓盤半徑R和綁線球半徑r的比值;當R=0.928r時,BD側(cè)繩長變化的差值明顯小于其他情況,也驗證了優(yōu)化的限位圓盤半徑R的取值范圍。

圖5 30°時差值隨R與r比值變化Fig.5 Variation of the difference with the ratio of R to r at 30°

圖6 R=0.928r時BD側(cè)驅(qū)動繩繩長變化Fig.6 Variation of BD side drive rope length when R=0.928r

表1 不同R、L值下BD側(cè)繩長差值的極值Table 1 Extreme values of rope length difference on BD side with different values of R and L

2.2 AC側(cè)繩長差值

AC側(cè)的驅(qū)動繩繩長經(jīng)過2次角度的變換,由于距離L不是影響結(jié)構(gòu)的主要參數(shù),因此只取L=r的參數(shù)進行分析。

2.2.1 原模型繩長差值 取限位圓盤半徑等于綁線球半徑的情況,由圖7可知,AC側(cè)驅(qū)動繩繩長變化的差值因為經(jīng)過2次變化,形成的變化圖是曲面,隨著α和β角度的變大而越來越大,差值的最大值在2個參數(shù)的最大值處。

2.2.2 優(yōu)化模型繩長差值 取不同的取限位圓盤半徑R來分析結(jié)果的變化趨勢,由圖8(a)發(fā)現(xiàn),在R=1.2r時,AC側(cè)繩長差值的變化趨勢明顯提高;由圖8(b)、8(c)可知,當限位圓盤半徑R小于綁線球半徑r時,繩長的差值部分變成了負值,且繩長差值的極差小于原模型,在R=0.8r和R=0.928r時繩長差值的極差接近。結(jié)合圖7～8和表2可知,AC側(cè)驅(qū)動繩繩長變化差值的大小隨著R的變大而變大,因此R的取值應(yīng)該小于r,AC側(cè)驅(qū)動繩分析結(jié)果驗證了BD側(cè)驅(qū)動繩分析的結(jié)果,反證了數(shù)學模型和數(shù)值模擬的合理性。

圖8 R=1.2r、R=0.8r和R=0.928r時AC側(cè)驅(qū)動繩繩長變化Fig.8 Variation of AC side drive rope length when R=1.2r,R=0.8r and R=0.928r

表2 不同R值下AC側(cè)繩長差值的極差Table 2 Polar difference of rope length difference on AC side with different R values

3 結(jié)論

本研究通過將綁線機構(gòu)的三維模型簡化后重建為數(shù)學模型,并對其進行了數(shù)值模擬計算,對計算結(jié)果進行分析研究從而優(yōu)化模型,發(fā)現(xiàn)驅(qū)動繩繩長變化的差值只和綁線球半徑r、限位圓盤半徑R和綁線球球心與限位圓盤圓心之間的距離L相關(guān)。距離L只影響驅(qū)動繩繩長變化的差值數(shù)值大小,不影響變化趨勢,因此不是主要參數(shù)。限位圓盤半徑R的取值為(0.8～1)r時,BD側(cè)驅(qū)動繩繩長變化的差值比原模型的差值小;在R=0.928r時差值最小。限位圓盤半徑R的取值大于綁線球半徑r時,AC側(cè)驅(qū)動繩繩長變化的差值比原模型的差值大,且數(shù)值變化快、幅度大;限位圓盤半徑R的取值小于綁線球半徑r時,AC側(cè)驅(qū)動繩繩長變化的差值比原模型的差值小,且數(shù)值變化慢、幅度慢。限位圓盤半徑R為0.928r、距離L為機構(gòu)允許的最大值時,繩長變化的差值最小,提高了萬向關(guān)節(jié)運動的同步性,達到優(yōu)化綁線結(jié)構(gòu)的目的。