吳天舒，蘇 軍，連梓旭

(中國(guó)人民解放軍91388 部隊(duì)，廣東 湛江 524022)

0 引 言

當(dāng)前，隨著降噪技術(shù)的發(fā)展，以及水下目標(biāo)聲反射強(qiáng)度的不斷降低[1-2]，使得水下目標(biāo)定位的難度逐漸增加，單基地水下目標(biāo)定位的精度不能滿足其定位需求，為此可以聯(lián)合多個(gè)測(cè)量平臺(tái)組成多基地聲吶定位系統(tǒng)，增加對(duì)目標(biāo)的觀測(cè)數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)聯(lián)合定位。多基地聲吶系統(tǒng)可分為[3-4]：一發(fā)多收型（T-Rn型）、多發(fā)一收型（Tn-R 型）和多發(fā)多收型（T-Rn型），其中TRn型相比于另外2 種具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低，隱蔽性好的優(yōu)點(diǎn)，因此研究T-Rn型多基地聲吶系統(tǒng)更具有應(yīng)用前景。在多個(gè)平臺(tái)進(jìn)行聯(lián)合定位時(shí)，各個(gè)平臺(tái)在接收觀測(cè)信息后，不同平臺(tái)產(chǎn)生的誤差不一樣，并且存在不知道其誤差統(tǒng)計(jì)特性的情況，因此針對(duì)不同條件，為達(dá)到最優(yōu)的定位誤差，需要使用不同的線性優(yōu)化算法。為此分析T-Rn型多基地聲吶系統(tǒng)的定位算法，能夠?yàn)槲磥?lái)的多平臺(tái)聯(lián)合定位提供參考，具有實(shí)際應(yīng)用前景。本文主要對(duì)T-Rn型多基地聲吶系統(tǒng)基于到達(dá)時(shí)間差定位（TDOA）信息進(jìn)行水下目標(biāo)定位的算法以及由此產(chǎn)生的定位誤差進(jìn)行研究，為此建立基于TDOA 信息的多基地聲吶系統(tǒng)的定位模型，分析系統(tǒng)中不同誤差的具體表達(dá)式，推導(dǎo)在未知誤差和已知誤差條件下的最優(yōu)線性算法，并給出不同算法定位誤差的計(jì)算公式，最后利用仿真對(duì)理論結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證和分析。

1 建立定位模型

在多基地聲吶定位系統(tǒng)中，接收站聲吶的作用距離通常要遠(yuǎn)高于定位目標(biāo)的深度[5]，針對(duì)深度可通過(guò)測(cè)量其俯仰角確定，因此為簡(jiǎn)化問(wèn)題只考慮二維空間的定位。由于是一發(fā)多收的定位系統(tǒng)，以發(fā)射站為原點(diǎn)建立基于TDOA 信息的T-Rn型多基地聲吶系統(tǒng)定位模型幾何圖如圖1 所示。

圖1 T-Rn 型多基地聲吶系統(tǒng)定位模型幾何圖Fig.1 Geometric diagram of positioning model of T-Rn multistatic sonar system

1.1 定位模型定義

在T-Rn型多基地聲吶系統(tǒng)中，由1 個(gè)發(fā)射站和n個(gè)接收站組成，發(fā)射站為發(fā)聲聲源，通常用T表示，其坐標(biāo)為(xT,yT)；接收站是接收從發(fā)射站發(fā)射的聲源信號(hào)經(jīng)由目標(biāo)反射后的信號(hào)并將其轉(zhuǎn)化為接收信息的裝置，通常用R表示，其中有多個(gè)接收站時(shí)接收站分別用Ri表示，坐標(biāo)為(xi,yi)；假設(shè)理想狀態(tài)下第i個(gè)接收站的接收信息為從發(fā)射站發(fā)射的聲波經(jīng)由目標(biāo)反射接收的時(shí)延信息ti，根據(jù)時(shí)延信息ti可以計(jì)算出發(fā)射站到目標(biāo)的距離rT和第i個(gè)接收站到目標(biāo)距離ri的和，需要定位的目標(biāo)用符號(hào)S表示，其坐標(biāo)為(xS,yS)。

1.2 基于TDOA 的定位模型

建立基于TDOA 信息的T-Rn型多基地聲吶系統(tǒng)目標(biāo)定位方程，假設(shè)有N個(gè)測(cè)量時(shí)延信息的接收站Ri(i∈1,2,...,N)，聲速用c表示，可以得到定位方程為：

在實(shí)際定位過(guò)程中，其發(fā)射站、接收站的站址和接收時(shí)間都可能產(chǎn)生誤差，因此需要對(duì)上述理想條件的定位方程作變換，因此作如下假設(shè)：

1）發(fā)射站及接收站站址誤差分為X軸誤差和Y軸誤差；

2）所有誤差均為先驗(yàn)信息，且為均值為0 方差已知的相互獨(dú)立的誤差；

3）在通過(guò)時(shí)延信息計(jì)算距離時(shí)，聲速保持不變。

通過(guò)以上假設(shè)，可以將上述理想定位方程化為帶誤差的定位方程：

其中，(xi,yi)(i∈1,2,...,N)表示接收站Ri的真實(shí)坐標(biāo)，(Δxi,Δyi)表示接收站Ri的站址誤差，(xT,yT)表示發(fā)射站T的真實(shí)坐標(biāo)，(ΔxT,ΔyT)表示發(fā)射站T的站址誤差，t～i表示發(fā)射站到接收站Ri的實(shí)際觀測(cè)時(shí)間，Δti表示其時(shí)間誤差。

由于在實(shí)際中各項(xiàng)誤差很小，因此可以忽略其中二次項(xiàng)的誤差，同時(shí)為計(jì)算方便，將發(fā)射站定為坐標(biāo)原點(diǎn)，即有(xT,yT)為(0,0)，將上式進(jìn)行線性化簡(jiǎn)，可以得到線性方程組如下：

1）觀測(cè)時(shí)間誤差

由于聲源在水中傳播時(shí)會(huì)有環(huán)境噪聲和衰減[6]，從而導(dǎo)致接收到的觀測(cè)時(shí)間與實(shí)際觀測(cè)時(shí)間有誤差，用wi_Δt表示觀測(cè)時(shí)間為的接收時(shí)間誤差，由式（3）可得：

2）接收站的站址誤差

在多基地定位系統(tǒng)中，接收站所在的平臺(tái)可能為水下固定節(jié)點(diǎn)、水中UUV 或是水面船只調(diào)放的接收裝置，其在水中位置不像在陸地或空中做到位置實(shí)時(shí)精確，同時(shí)不同平臺(tái)其產(chǎn)生的誤差也各不相同，用wi_R表示接收站Ri的站址誤差，由式（3）可得：

其中方程組中的每個(gè)Δxi和Δyi(i∈1,2,...,N)相互獨(dú)立不相關(guān)，但在同一個(gè)接收站中Δxi和Δyi有相同大小的方差。

3）發(fā)射站址誤差

發(fā)射站同接收站一樣存在站址誤差，用wT表示發(fā)射站T的站址誤差，由式（3）可得：

其中，ΔxT和ΔyT為獨(dú)立同分布的誤差，有相同的方差。

由此每個(gè)接收方程中的誤差可以表示為：

將上述三元一次方程組化為矩陣形式：

2 定位算法及誤差分析

針對(duì)上述模型，要求解出目標(biāo)的坐標(biāo)，可分為線性方法和非線性方法。僅分析線性算法，其主要有3 種，分別為最小線性二乘法（LLS）、加權(quán)最小線性二乘法(W L L S) 和兩步加權(quán)最小線性二乘法(2-WLLS)，其定位精度也是逐漸提高。目標(biāo)的定位誤差主要是以定位精度的幾何解釋（GDOP）[7]表示，其可以作為衡量定位算法好壞的一個(gè)指標(biāo)。

2.1 最小二乘法

上述模型為線性矩陣，為求出目標(biāo)的坐標(biāo)，當(dāng)只知道誤差矩陣均值為零的隨機(jī)分布，而其方差未知時(shí)，為求出無(wú)偏估計(jì)，則最小二乘法的解XLLS需滿足該方程組的殘差平方和最小，即有：

據(jù)此可以求出XLLS的表達(dá)式為：

為分析該算法的定位精度好壞，可以用GDOP 作為指標(biāo)，其定義為：

其中，(xS,yS)為目標(biāo)真實(shí)坐標(biāo)點(diǎn)，()為算法估計(jì)點(diǎn)，為求出最小二乘法的GDOPLLS的值，可以將上述模型的兩邊同時(shí)乘一個(gè)(ATA)-1AT，則有：

代入上述根據(jù)最小二乘法得到的定位結(jié)果，即有：

根據(jù)上式，可以看出XLLS為無(wú)偏估計(jì)，并有：

所以有最小二乘法的GDOP 為：

2.2 加權(quán)最小二乘法

由于上面的最小二乘法是在誤差矩陣未知其方差時(shí)的最優(yōu)線性解，而當(dāng)已知誤差矩陣的方差時(shí)，則可以將其利用起來(lái)構(gòu)建加權(quán)最小二乘法，則加權(quán)最小二乘法的解XWLLS需滿足該方程組加權(quán)后的殘差平方和最小，即有：

其中，K為誤差權(quán)值矩陣，根據(jù)參考文獻(xiàn)[8]有:

據(jù)此可以求出XWLLS的表達(dá)式為：

利用同樣的方式在定位模型的兩邊乘以(ATKA)-1ATK后代入K=[E(WTW)]-1，可以算出加權(quán)最小二乘法的GDOP 為：

其中，PWLLS=(ATKA)-1，PWLLS,11和PWLLS,22分別為PWLLS矩陣對(duì)角線上的第1 個(gè)和第2 個(gè)元素。由于加權(quán)最小二乘法相比于最小二乘法，多用到了誤差矩陣的方差信息，因此當(dāng)誤差矩陣中每個(gè)元素的方差不相等時(shí)，其加權(quán)最小二乘法優(yōu)于最小二乘法；當(dāng)誤差矩陣中每個(gè)元素的方差相同時(shí)，則2 個(gè)算法的結(jié)果相同。若誤差矩陣的方差相等，根據(jù)誤差計(jì)算公式可以看出，其不僅與初始的誤差有關(guān)，還與目標(biāo)位置有關(guān)。因此總體來(lái)說(shuō)，加權(quán)最小二乘法要優(yōu)于最小二乘法。

2.3 兩步加權(quán)最小二乘法

在加權(quán)最小二乘法求出的自變量XWLLS為3×1 的矩陣，其中不僅包括了目標(biāo)的橫縱坐標(biāo)，同時(shí)還包括目標(biāo)到發(fā)射站距離的信息。為充分利用模型中的信息進(jìn)行求解，可以在求得XWLLS的基礎(chǔ)上，將求得的xS_WLLS,yS_WLLS,rS T_WLLS作為新的觀測(cè)信息，進(jìn)一步構(gòu)造線性方程組，求出更為精確的定位目標(biāo)。為此可以構(gòu)造如下線性方程組：

據(jù)此可以求出兩步加權(quán)最小二乘法的定位結(jié)果為：

為求解兩步加權(quán)最小二乘法的GDOP，在第2 個(gè)線性[方程組的]兩邊乘以(K2A2)-1K2G2后聯(lián)立K2=E()-1可以得到兩步加權(quán)最小二乘法的GDOP 為：

其中，tr(·)表示求矩陣的跡。

分析可知，兩步加權(quán)最小二乘法是在加權(quán)最小二乘法的基礎(chǔ)上利用了自變量矩陣中的目標(biāo)到發(fā)射站的距離信息，因此其性能也要優(yōu)于加權(quán)最小二乘法。

2.4 影響算法優(yōu)劣因素的分析

通過(guò)分析利用信息的角度，得出了在未知誤差分布時(shí)，線性二乘法為最優(yōu)線性算法，在已知誤差分布時(shí)，兩步加權(quán)最小二乘法為最優(yōu)算法。定義平均為在定位區(qū)域內(nèi)的平均誤差值，以此為指標(biāo)衡量算法的優(yōu)劣，表達(dá)式為：

其中：S為系統(tǒng)的定位區(qū)域；M為在定位區(qū)域內(nèi)定位目標(biāo)數(shù)目。

由于每個(gè)線性方程中的誤差不同，同時(shí)根據(jù)前面對(duì)誤差表達(dá)式的推導(dǎo)可以看出，在每個(gè)線性方程中的誤差不僅與系統(tǒng)產(chǎn)生的誤差有關(guān)，還與目標(biāo)與發(fā)射站和接收站的距離有關(guān)，其距離越遠(yuǎn)，誤差也越大，因此導(dǎo)致線性方程組中的誤差分布不均勻，為衡量不均勻度，定義誤差的平均值和不均勻度η為：

通過(guò)對(duì)3 個(gè)算法GDOP的分析，可以看出主要因素包括以下3 個(gè)部分：線性方程中wi的大小、線性方程中wi的不均勻度和接收站的數(shù)量。其中wi越大，則3 個(gè)算法中的越大；隨著接收站的數(shù)量增加，接收到的信息也越多，使得3 個(gè)算法中的也越?。蛔钚《朔ǖ牟痪鶆蚨圈荓LS越大則其越大，而針對(duì)另外2 種算法由于利用了誤差信息進(jìn)行加權(quán)，所以受到的影響較小。為驗(yàn)證理論分析結(jié)果，進(jìn)行仿真分析。

3 仿真分析

3.1 觀測(cè)時(shí)間誤差對(duì)算法影響

為分析觀測(cè)時(shí)間誤差對(duì)算法的影響，將4 個(gè)接收站接收的觀測(cè)時(shí)間誤差分別設(shè)為：0.8 ms，3 ms，6 ms 和9 ms 并逐漸增加，圖2 為不同觀測(cè)時(shí)間誤差下3 種算法的比較結(jié)果。

圖2 3 種算法 與觀測(cè)時(shí)間誤差關(guān)系圖Fig.2 Relationship between and observation time error of three algorithms

3.2 接收站站址誤差對(duì)算法影響

為與前面的觀測(cè)時(shí)間誤差比較，將每個(gè)接收站的站址誤差設(shè)為和觀測(cè)時(shí)間誤差一致，分析接收站站址誤差對(duì)算法的影響。將4 個(gè)接收站的站址誤差分別設(shè)為：1.2 m，4.5 m，9 m 和13.5 m 并逐漸增加，圖3 為不同接收站站址誤差下3 種算法的比較結(jié)果。

圖3 3 種算法與接收站站址誤差關(guān)系圖Fig.3 Relation diagram between of three algorithms and site error of receiving station

3.3 發(fā)射站站址誤差對(duì)算法影響

為與前面的觀測(cè)時(shí)間誤差和接收站站址誤差比較，分析發(fā)射站站址誤差對(duì)算法的影響。將發(fā)射站的站址誤差設(shè)為7.05m 并逐漸增加。由于在T-Rn型多基地聲吶系統(tǒng)中發(fā)射站只有一個(gè)，當(dāng)誤差僅為發(fā)射站站址誤差時(shí)其E(WTW)為奇異矩陣，從而導(dǎo)致權(quán)值誤差矩陣K無(wú)法計(jì)算，解決方法是在E(WTW)的基礎(chǔ)上加一個(gè)單位矩陣，據(jù)此得到不同發(fā)射站的站址誤差下3 種算法平均GDOP 值的比較結(jié)果，如圖4 所示。

圖4 3 種算法與發(fā)射站站址誤差關(guān)系圖Fig.4 Relation diagram between of three algorithms and site error of transmitting station

3.4 誤差不均勻度對(duì)算法影響

根據(jù)仿真研究可以看出，觀測(cè)時(shí)間誤差對(duì)定位算法的影響最大，因此為分析誤差不均勻?qū)? 種算法的影響時(shí)，以觀測(cè)時(shí)間誤差為變量進(jìn)行研究，保持觀測(cè)時(shí)間誤差的平均值為5 ms 不變，設(shè)置6 組誤差不均勻度不同的情況進(jìn)行仿真，其具體參數(shù)設(shè)置如表1 所示。

表1 參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter setting

圖5 3 種算法與 η關(guān)系圖Fig.5 Relation diagram between andη of three algorithms

4 結(jié) 語(yǔ)

本文建立T-Rn型多基地聲吶的定位幾何模型，在基于TDOA 時(shí)間信息進(jìn)行定位時(shí)，分析模型中存在的3 種誤差的計(jì)算公式，并根據(jù)模型分別推導(dǎo)了在未知誤差信息和已知誤差的條件下的最優(yōu)線性算法以及相應(yīng)的表達(dá)式。以為指標(biāo)，兩步加權(quán)最小二乘法的定位效果最好。利用Matlab 進(jìn)行數(shù)值仿真，比較模型中3 種誤差對(duì)線性算法的影響。從仿真結(jié)果看，觀測(cè)時(shí)間誤差對(duì)定位精度影響最大；線性方程組中誤差不均勻度對(duì)最小二乘法的影響最大，同時(shí)兩步最小二乘法隨誤差不均勻的增加而減少。研究成果可為T-Rn型多基地聲吶系統(tǒng)的總體設(shè)計(jì)、站址配置和誤差分析提供理論支撐，為T-Rn型多基地聲吶系統(tǒng)基于方位角、TOA等信息進(jìn)行定位時(shí)提供分析思路，同時(shí)可為后續(xù)Tn-Rn型多基地聲吶系統(tǒng)的研究奠定基礎(chǔ)。由于水下環(huán)境的復(fù)雜性以及在未來(lái)的聯(lián)合定位探測(cè)中，多基地系統(tǒng)的誤差信息并未是完全已知或完全未知的，因此下一步將研究已知部分誤差信息的多基地系統(tǒng)定位誤差問(wèn)題。