欒兆輝

(龍口市第一中學(xué)東校,山東煙臺(tái),265701)

一、引言

概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。當(dāng)前部分高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在教學(xué)方法單一、學(xué)生缺乏興趣、教學(xué)效果不理想等問題。這些問題嚴(yán)重影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。因此,對(duì)高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)進(jìn)行改革和創(chuàng)新迫在眉睫。APOS(action,process,object,schema)理論是一種新的數(shù)學(xué)教育理論,它認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程是由心理認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化所決定的。APOS理論強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)需要經(jīng)歷一系列的心理認(rèn)知過程,這種理論為高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供了新的視角和思路。本研究旨在探討基于APOS理論的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐應(yīng)用及效果,希望基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)能在一定程度上提高學(xué)生的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)興趣,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和掌握,提高教學(xué)效果。

二、概念意義

(一)APOS理論概述

APOS理論是杜賓斯在20世紀(jì)80年代提出的關(guān)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的理論,是對(duì)皮亞杰提出的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思抽象理論的進(jìn)一步拓展。[1]該理論認(rèn)為,學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中必須經(jīng)過一系列的心理建構(gòu),包括操作階段、過程階段、對(duì)象階段和圖式階段,才能形成完整的數(shù)學(xué)概念。操作階段是指學(xué)生通過實(shí)際操作,感受概念的實(shí)際意義;過程階段是指學(xué)生通過思維過程,理解概念的形成過程;對(duì)象階段是指學(xué)生將概念作為一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象,能夠在頭腦中形成清晰的數(shù)學(xué)概念;圖式階段是指學(xué)生將概念與其他知識(shí)聯(lián)系起來,從而構(gòu)建豐富的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。APOS理論強(qiáng)調(diào)通過操作和探究生成數(shù)學(xué)概念,結(jié)合已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)用積極的思維活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)概念,通過對(duì)概念進(jìn)行準(zhǔn)確的定義,形成心理圖式,構(gòu)建起自身的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。[2]總之,APOS理論基于實(shí)踐的教育理論,旨在幫助學(xué)生通過主動(dòng)構(gòu)建深入理解概念。通過活動(dòng)、過程、對(duì)象和結(jié)構(gòu)的引導(dǎo),學(xué)生可以在實(shí)踐中探索、思考和歸納,不斷提高自己的學(xué)習(xí)能力。同時(shí),APOS理論也可以為教師提供有效的教學(xué)策略和方法,提高教學(xué)質(zhì)量。

(二)在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)用APOS理論的重要意義

第一,APOS理論強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自我操作和體驗(yàn),通過自主探究和發(fā)現(xiàn),學(xué)生從被動(dòng)接受轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)參與,學(xué)生的求知欲和自信心會(huì)有效提升,學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和積極性提高。第二,APOS理論強(qiáng)調(diào)過程性,要求學(xué)生逐步思考和理解數(shù)學(xué)概念,從概念的背景和定義出發(fā),經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的抽象過程。這有助于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)和內(nèi)涵,提高他們的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。第三,APOS理論強(qiáng)調(diào)對(duì)象性,即將數(shù)學(xué)概念作為一個(gè)對(duì)象進(jìn)行研究和探討。這有助于學(xué)生明確數(shù)學(xué)概念的地位和作用,更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的體系和結(jié)構(gòu),提高他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。第四,APOS理論還可為教師提供新的教學(xué)思路和方法,幫助教師更好地理解和把握學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和需求,從而制定更有效的教學(xué)策略,提高教學(xué)質(zhì)量和效果。

三、具體策略

不同知識(shí)點(diǎn)的相關(guān)性、相似性要素可以組成一個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延。[3]研究表明,APOS理論可以為高中數(shù)學(xué)教師提供概念教學(xué)實(shí)踐的指導(dǎo),使教師能夠更好地把握教學(xué)節(jié)奏,更高效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我處理和建構(gòu),提高概念教學(xué)質(zhì)量。結(jié)合已有研究,在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)用APOS理論,可按照以下具體策略進(jìn)行。

(一)操作階段

操作階段是幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的關(guān)鍵步驟。這個(gè)階段的設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā),幫助學(xué)生進(jìn)行觀察、歸納、演繹、推理等學(xué)習(xí)活動(dòng)。首先,問題情境的設(shè)計(jì)是操作階段的重要部分,生動(dòng)的教學(xué)情境能夠引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考。例如,教師在教授“指數(shù)函數(shù)”這個(gè)概念時(shí),可以提供一張細(xì)胞分裂的圖片,讓學(xué)生觀察細(xì)胞的個(gè)數(shù)和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,進(jìn)而引入指數(shù)函數(shù)的概念。其次,觀察和歸納是操作階段的重要技能。教師可通過具體的例子,引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析,歸納出數(shù)學(xué)概念的特征。例如,在教授“等差數(shù)列”這個(gè)概念時(shí),教師可給出一些具體的等差數(shù)列,讓學(xué)生觀察并總結(jié)這些數(shù)列的規(guī)律,進(jìn)而理解等差數(shù)列的概念。最后,演繹和推理是操作階段的更高層次技能。教師可通過問題解決的方式,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行演繹和推理,從而使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念。例如,教授“不等式”這個(gè)概念時(shí),教師可通過一些不等式的例子,讓學(xué)生進(jìn)行推理和證明,進(jìn)而理解不等式的性質(zhì)和證明方法。

(二)過程階段

在過程階段,高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)引發(fā)學(xué)生一系列的思維活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生逐步理解數(shù)學(xué)概念的形成過程。例如,教授“極限”這個(gè)概念時(shí),教師可引導(dǎo)學(xué)生思考一些無限趨近于某個(gè)數(shù)值的例子,讓學(xué)生理解極限的概念,以及極限在數(shù)學(xué)中的意義和作用。首先,教師可以向?qū)W生展示一些極限的例子,如一個(gè)圓形的半徑逐漸趨近于一個(gè)點(diǎn),或者一個(gè)物體在運(yùn)動(dòng)中逐漸趨近一個(gè)極限位置。通過這些例子,學(xué)生可較為直觀地感受極限的概念。其次,教師可引導(dǎo)學(xué)生思考一些抽象的問題。例如,可以讓學(xué)生思考一個(gè)數(shù)列的極限,這個(gè)數(shù)列由一些數(shù)字組成,當(dāng)這些數(shù)字逐漸趨近于某個(gè)值時(shí),這個(gè)值就是這個(gè)數(shù)列的極限。通過解決這些問題,學(xué)生可深入理解極限的概念和極限在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。最后,學(xué)生可通過一些數(shù)學(xué)練習(xí)題加深理解,更好地掌握極限這個(gè)數(shù)學(xué)概念,并在實(shí)際問題中進(jìn)行應(yīng)用。

(三)對(duì)象階段

在對(duì)象階段,教師需要有的放矢地引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)概念作為一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象進(jìn)行思考和運(yùn)用。例如,教授“導(dǎo)數(shù)”這個(gè)概念時(shí),教師可引導(dǎo)學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的定義、性質(zhì)、應(yīng)用等知識(shí),從而能夠熟練地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決一些數(shù)學(xué)問題。第一,學(xué)生需要理解導(dǎo)數(shù)的定義,即函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率。第二,學(xué)生需要掌握導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),如可導(dǎo)必連續(xù)、連續(xù)不一定可導(dǎo)等。第三,學(xué)生需要知道導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用,如求切線斜率、求最大值或最小值等。在掌握這些知識(shí)后,學(xué)生就能夠更好地理解和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)概念。此外,教師還需通過大量的實(shí)例幫助學(xué)生理解和應(yīng)用導(dǎo)數(shù),如速度公式、路程公式等。通過這些實(shí)例,學(xué)生能夠更好地理解導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,并能將其應(yīng)用到實(shí)際生活中。除以上提到的一些重點(diǎn)內(nèi)容外,教授導(dǎo)數(shù)這個(gè)概念時(shí),教師還可以引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個(gè)方面深入理解和學(xué)會(huì)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)。第一,函數(shù)的變化率。教師可講授函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率,引導(dǎo)掌握導(dǎo)數(shù)的概念和具體應(yīng)用策略。例如,教師可引導(dǎo)學(xué)生尋找身邊的函數(shù)變化率,如氣溫隨時(shí)間的變化、物體運(yùn)動(dòng)的速度等。第二,導(dǎo)數(shù)的幾何意義。教師通過計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),幫助學(xué)生掌握曲線的斜率變化規(guī)律,使學(xué)生更好地理解函數(shù)的圖象和性質(zhì)。第三,導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用。教師可通過物理實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生理解和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)。例如,通過計(jì)算物體的運(yùn)動(dòng)速度或熱傳導(dǎo)等物理問題,學(xué)生可以更好地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義和應(yīng)用。

(四)圖式階段

在圖式階段,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)概念形成一個(gè)完整的認(rèn)知圖式,這有助于學(xué)生更好地理解和應(yīng)用這些概念。例如,在教授“三角函數(shù)”這個(gè)概念時(shí),教師可引導(dǎo)學(xué)生將三角函數(shù)的定義、周期性、奇偶性、振幅、相位等知識(shí)點(diǎn)構(gòu)建成一個(gè)認(rèn)知圖式,從而更好地掌握和應(yīng)用三角函數(shù)的概念。第一,讓學(xué)生了解三角函數(shù)的定義。三角函數(shù)是描述周期性現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)工具,可用來表示周期性運(yùn)動(dòng)的位移、速度和時(shí)間之間的關(guān)系。例如,正弦函數(shù)可以表示一個(gè)周期性運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系,余弦函數(shù)可以表示一個(gè)周期性運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變化關(guān)系。第二,讓學(xué)生了解三角函數(shù)的周期性。三角函數(shù)具有周期性,即在一個(gè)周期內(nèi),函數(shù)的取值是重復(fù)出現(xiàn)的。例如,正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的取值都以2π為周期。第三,讓學(xué)生了解三角函數(shù)的奇偶性。三角函數(shù)具有奇偶性,即在一個(gè)周期內(nèi),函數(shù)的取值是奇數(shù)還是偶數(shù)。例如,正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的取值都是偶數(shù)。第四,讓學(xué)生了解三角函數(shù)的振幅和相位。三角函數(shù)具有振幅和相位,即在一個(gè)周期內(nèi),函數(shù)的取值的大小和初始位置。例如,正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的取值都是以振幅和相位為參數(shù)的。第五,讓學(xué)生將以上知識(shí)點(diǎn)整合成一個(gè)認(rèn)知圖式,從而更好地掌握和應(yīng)用三角函數(shù)的概念。例如,教師可讓學(xué)生畫出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象,并觀察它們的周期性、奇偶性和振幅等性質(zhì)。

四、注意事項(xiàng)

APOS理論操作性強(qiáng),可以指導(dǎo)教師設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的探究活動(dòng),幫助學(xué)生對(duì)概念學(xué)習(xí)進(jìn)行自主探究。[4]然而,如何將其有效地應(yīng)用于實(shí)際教學(xué),還需進(jìn)一步探討和研究。為提升實(shí)際應(yīng)用成效,具體踐行過程中還應(yīng)著重注意把握以下三點(diǎn)問題。

(一)重視概念的形成階段

APOS理論認(rèn)為,概念的形成階段是概念教學(xué)的基礎(chǔ)和前提,能夠促進(jìn)之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。因此,教師需要重視概念的形成階段,引導(dǎo)學(xué)生能夠通過自主學(xué)習(xí)思考和解決問題,使學(xué)生獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自豪感。在概念形成階段,教師需要鼓勵(lì)學(xué)生勇于面對(duì)問題,敢于質(zhì)疑,通過分析和探索,逐步理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念。這樣不僅可讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí),還能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力。在概念教學(xué)中,教師可設(shè)計(jì)一些具有挑戰(zhàn)性的問題,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考和探索,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。此外,教師還可通過一些數(shù)學(xué)活動(dòng),如數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)建模等,讓學(xué)生在實(shí)際操作中體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成和應(yīng)用,更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。

(二)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體作用

在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中,教師需以學(xué)生為中心,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和探索,讓學(xué)生主動(dòng)參與概念的形成過程。首先,教師需了解學(xué)生的認(rèn)知水平和興趣愛好,以便更好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)。教師可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況,設(shè)計(jì)出適合學(xué)生的教學(xué)方案,讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍中學(xué)習(xí)。其次,教師需引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和探索。教師可讓學(xué)生通過自己的操作、過程、對(duì)象和圖示學(xué)習(xí)概念,讓學(xué)生主動(dòng)參與到概念的形成過程中。例如,在講解三角函數(shù)的概念時(shí),教師可引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)測(cè)量教室的長度、高度、寬度等數(shù)據(jù),計(jì)算出三角函數(shù)的值,從而更好地理解三角函數(shù)的概念。最后,教師需給予學(xué)生反饋和評(píng)價(jià)。教師可根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn),適當(dāng)?shù)乇頁P(yáng)和鼓勵(lì)學(xué)生,讓學(xué)生感受到教師的認(rèn)可和肯定,提高學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)積極性。

(三)注重概念的應(yīng)用階段

教師需要注重概念的應(yīng)用階段,通過引導(dǎo)學(xué)生解決實(shí)際問題,讓學(xué)生更好地理解和掌握高中數(shù)學(xué)概念,提高其數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。在概念的應(yīng)用階段,教師可采取以下措施。第一,創(chuàng)設(shè)問題情境。教師可根據(jù)所學(xué)概念,創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的問題情境,讓學(xué)生在實(shí)際問題中應(yīng)用所學(xué)概念。例如,在學(xué)習(xí)“函數(shù)的單調(diào)性”時(shí),教師可讓學(xué)生通過觀察函數(shù)圖象,分析函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,從而解決實(shí)際問題。第二,引導(dǎo)學(xué)生探究。教師需注重學(xué)生的探究過程,引導(dǎo)學(xué)生自主探究問題的解決方法。例如,在學(xué)習(xí)“三角函數(shù)的圖象”時(shí),可讓學(xué)生通過觀察三角函數(shù)的圖象,探究三角函數(shù)的性質(zhì),從而解決實(shí)際問題。第三,幫助學(xué)生總結(jié)。教師需要幫助學(xué)生總結(jié)所學(xué)知識(shí),形成知識(shí)體系。例如,在學(xué)習(xí)“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”時(shí),可讓學(xué)生總結(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用范圍、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法,以及導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用等,從而更好地掌握所學(xué)知識(shí)。

五、結(jié)語

在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)用APOS理論具有重要意義。通過APOS理論的應(yīng)用,學(xué)生可以更好地理解數(shù)學(xué)概念,提高數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)。因此,教師在具體的概念教學(xué)過程中,應(yīng)注重操作階段、過程階段、對(duì)象階段及圖式階段,采用豐富的教學(xué)方法。除此之外,在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)用APOS理論時(shí),還需要重視概念的形成階段,強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體作用,注重概念的應(yīng)用階段,更好地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),提高其數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)。將APOS理論應(yīng)用于數(shù)學(xué)概念教學(xué),需要教師在實(shí)際教學(xué)中進(jìn)行深入研究和探索,根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況靈活運(yùn)用,以達(dá)到更好的教學(xué)效果。同時(shí),教師也需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和鼓勵(lì),激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情和主動(dòng)性,推動(dòng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的全面發(fā)展。