肖 丹 杜蘭歌 朱 哲 (浙江師范大學(xué)教育學(xué)院 321004)

1 引言

菲爾茲獎首位華人得主丘成桐在《開講啦》里說,在數(shù)學(xué)的發(fā)展中,繪畫藝術(shù)是最接近數(shù)學(xué)之美的,繪畫藝術(shù)是對數(shù)學(xué)影響最大的[1].鑲嵌世界蘊含了無與倫比的藝術(shù)價值,其簡潔、對稱、和諧、奇異的特性能使學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)的美、數(shù)與形的和諧以及幾何學(xué)的優(yōu)雅與神秘.在現(xiàn)行的各版本初中數(shù)學(xué)教材中,都安排了“鑲嵌”這一課,如:人教版出現(xiàn)在八年級上冊第十一章“三角形”的數(shù)學(xué)活動中;滬科版出現(xiàn)在八年級下冊“四邊形”的“綜合與實踐——多邊形的鑲嵌”中;浙教版出現(xiàn)在九年級上冊第三章“圓的基本性質(zhì)”的閱讀材料中.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》指出,初中階段綜合與實踐領(lǐng)域,以問題解決為導(dǎo)向,引導(dǎo)學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)學(xué)科和跨學(xué)科的知識與方法解決問題[2].本文基于浙教版的編排順序,以綜合與實踐課“美妙的鑲嵌”為例進行教學(xué)設(shè)計,希望能在學(xué)生欣賞、探究藝術(shù)大師埃舍爾的鑲嵌藝術(shù)過程中,讓隱性知識通過教學(xué)過程問題化、教學(xué)活動思維化等方式得以“顯化”,并與顯性知識相互融合,有效地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識形成的過程,讓學(xué)生在觀察、抽象、概括的過程中,看到知識背后蘊涵的思想[3],體會數(shù)學(xué)與繪畫藝術(shù)的跨學(xué)科融合.

本課的教學(xué)目標是能在欣賞畫家埃舍爾的藝術(shù)過程中,通過觀察與探究發(fā)現(xiàn)圖形鑲嵌的定義、正多邊形鑲嵌原理,以及任意三角形或四邊形都可以鑲嵌的數(shù)學(xué)特征,并抽象出圖形鑲嵌的數(shù)學(xué)原理,從中體會數(shù)形結(jié)合的思想方法,提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),發(fā)展合情推理能力,培養(yǎng)創(chuàng)造性思維,領(lǐng)略數(shù)學(xué)與藝術(shù)的魅力.教學(xué)重點是理解正三角形、正四邊形和正六邊形可以鑲嵌成平面.教學(xué)難點是理解任意一個三角形、四邊形可以鑲嵌成平面.

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境,提出問題

圖1是荷蘭著名藝術(shù)大師埃舍爾(Escher,1898—1972)的一副作品——《騎馬人》.這幅作品曾被著名物理學(xué)家楊振寧博士選作他獲得諾貝爾獎的《基本粒子發(fā)現(xiàn)簡史》一書的封面[4].騎馬人分別由黑、白色標示,各自朝相反方向行走,形成黑、白交替的水平狀帶紋,黑色馬的胸脯和雙前腿分別與白色騎馬人的臉部和胸、手相接,黑色馬的后腿及后身與白色騎馬人的背部相接[5].這幅作品由許多全等的“騎士”既不留空隙又不相重疊地鑲嵌而成,妙不可言.

圖1 畫作《騎馬人》

問題1什么是既不留空隙,又不相重疊?

師生活動 學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗,解釋說明什么是有空隙和有重疊,教師進而引導(dǎo)學(xué)生得到鑲嵌的定義:它是指一些基本圖形既不留空隙,又不相重疊地拼接成一個平面的過程.

設(shè)計意圖通過對埃舍爾《騎馬人》的簡單介紹,引導(dǎo)學(xué)生初步關(guān)注數(shù)學(xué)與藝術(shù)的融合,激發(fā)學(xué)生探索鑲嵌的好奇心和求知欲.學(xué)生根據(jù)日常生活和學(xué)習(xí)的經(jīng)驗得出鑲嵌的定義,從而感受到數(shù)學(xué)來源于生活,在日常生活中數(shù)學(xué)無處不在.

2.2 探索發(fā)現(xiàn),引入新知

問題2請繼續(xù)欣賞埃舍爾《蜥蜴II》這幅鑲嵌畫(圖2),它和數(shù)學(xué)有什么關(guān)系?它是一個什么圖形經(jīng)過怎樣的圖形變換(平移、旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ)得到的?

圖2 畫作《蜥蜴II》

師生活動 教師借助GeoGebra軟件邊講解邊操作,屏幕中顯示:選定1只綠色(黃色)的蜥蜴,繞其頭頂(尾尖)連續(xù)3次旋轉(zhuǎn)90°可得3只綠色(黃色)的蜥蜴.這樣,由2只蜥蜴通過旋轉(zhuǎn)變換形成了6只相同的蜥蜴,并且鑲嵌成了一個平面.學(xué)生也用自己的平板電腦操作蜥蜴的變換,發(fā)現(xiàn)通過對兩只不同顏色的蜥蜴各旋轉(zhuǎn)180°也能實現(xiàn)鑲嵌.

設(shè)計意圖借助埃舍爾鑲嵌作品的藝術(shù) 熏陶,引導(dǎo)學(xué)生進行初步觀察和探索,使學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析、思考與表達藝術(shù)品中的鑲嵌,感受數(shù)學(xué)與藝術(shù)學(xué)科領(lǐng)域的融合.同時借助GeoGebra的可視化呈現(xiàn),直觀展示蜥蜴圖形的變換過程,激發(fā)學(xué)生的求知欲.因此,此環(huán)節(jié)的設(shè)置既有利于學(xué)生理解“美妙的鑲嵌”這一課題,也有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)與藝術(shù)是相互關(guān)聯(lián)的.

問題3這是不規(guī)則的蜥蜴進行圖形變換所得到的鑲嵌圖,為了更好地研究這幅神奇的作品,我們先從熟悉的規(guī)則和特殊的圖形入手來探究鑲嵌的奧秘.請同學(xué)們拿出課前用卡紙制作的若干個正三角形、正四邊形、正六邊形、正七邊形、正八邊形(不同正多邊形的邊長相等),如果用其中一種正多邊形鑲嵌,哪幾種能鑲嵌成一個平面?哪幾種不能鑲嵌成一個平面?

師生活動 學(xué)生動手探究得到結(jié)論,繼而教師用GeoGebra軟件向?qū)W生展示不同正多邊形鑲嵌或者不鑲嵌的直觀過程.

追問1 這些單一正多邊形鑲嵌成平面有什么共同特點?如何把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題?請用數(shù)量的方式加以說明.

師生活動 學(xué)生充分思考探究結(jié)果,通過計算可鑲嵌的正多邊形內(nèi)角度數(shù),歸納出:正多邊形的內(nèi)角可以被360整除.當(dāng)正多邊形的一個內(nèi)角度數(shù)的整數(shù)倍是360°時,這種正多邊形就能鑲嵌.

追問2 其實,歷史上人們對鑲嵌的認識很早,我們今天得到的結(jié)論早在兩千多年前就已經(jīng)被古希臘畢達哥拉斯學(xué)派所證明和使用.我們能否像古希臘畢達哥拉斯學(xué)派一樣去嚴格地證明這個結(jié)論?

設(shè)計意圖單一正多邊形的鑲嵌是最基礎(chǔ)的平面鑲嵌,學(xué)生在日常生活中會經(jīng)常遇到正三角形、正四邊形和正六邊形的平面鑲嵌.學(xué)生通過動手實驗,更加深刻地理解單一正多邊形鑲嵌的原理.同時,通過在教學(xué)中融入古希臘鑲嵌史,可以幫助學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣,同時還能向?qū)W生強調(diào)數(shù)學(xué)嚴謹證明的必要性,發(fā)展學(xué)生的合情推理能力.

問題4我們繼續(xù)欣賞埃舍爾的《飛鳥與魚》(圖3),在這個平面中(框出一個小平面),它是由幾個圖形鑲嵌的?

圖3 畫作《飛鳥與魚》

追問3 類似地,如果用兩種正多邊形鑲嵌,哪兩種正多邊形能鑲嵌成一個平面?

師生活動 學(xué)生任意挑選兩種正多邊形進行拼接,在嘗試中得到豐富多彩的鑲嵌圖(圖4),教師輔以GeoGebra予以肯定(圖5).

圖5 GeoGebra演示

追問4 鑲嵌成平面的這幾個幾何圖形有什么共同特點?

師生活動 學(xué)生通過觀察自己所拼成的鑲嵌圖并類比單一正多邊形的鑲嵌原理,可得到,當(dāng)兩種正多邊形拼接在同一個點的各個角的和恰好等于360°時,這兩種正多邊形就能鑲嵌.

設(shè)計意圖借助埃舍爾的復(fù)合鑲嵌作品,通過類比單一正多邊形鑲嵌的探究過程抽象出數(shù)學(xué)圖形,從中發(fā)現(xiàn)兩種正多邊形的鑲嵌原理,再輔以GeoGebra驗證,使學(xué)生再次感受到埃舍爾帶來的奇妙的數(shù)學(xué)之美,進一步理解數(shù)學(xué)與藝術(shù)是密不可分、息息相關(guān)的.

問題56個正三角形能鑲嵌成一個平面,那6個形狀、大小均相同的任意三角形能鑲嵌成一個平面圖案嗎?

師生活動 學(xué)生由三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì),得到將3個三角形各個角拼接可形成一個180°的平角,那么,6個形狀、大小均相同的任意三角形就能拼成一個360°的圓周角.教師再次借助GeoGebra軟件,通過任意改變?nèi)切蔚男螤疃寄苄纬设偳兜钠矫鎴D形來驗證學(xué)生的結(jié)論.

追問5 用形狀、大小均相同的任意四邊形能鑲嵌成一個平面圖案嗎?

設(shè)計意圖學(xué)生在教師的引導(dǎo)下從探究特殊的正多邊形到思考一般的三角形、四邊形的鑲嵌原理,教師多次利用GeoGebra軟件進行可視化研究,讓靜態(tài)教學(xué)“活”起來,讓學(xué)生從特殊到一般中深入理解鑲嵌原理.

課后思考:任意一個三角形或四邊形可以鑲嵌成平面,那其他任意多邊形是否可以鑲嵌?多個不同的多邊形是否可以鑲嵌?總結(jié)其規(guī)律.

2.3 揭秘創(chuàng)作,成果展示

藝術(shù)大師埃舍爾用他獨具匠心的數(shù)學(xué)思維與藝術(shù)稟賦,創(chuàng)作出廣受歡迎的作品.我們再來欣賞一下埃舍爾與鑲嵌有關(guān)的作品 (圖6、圖7、圖8).

圖6 畫作《小矮人》

圖7 畫作《圓的極限 IV》 圖8 畫作《馬塞克II》

問題6埃舍爾的鑲嵌作品到底是如何創(chuàng)作的?

(播放微視頻“《蜥蜴II》的創(chuàng)作方法”)

師生活動 學(xué)生易從視頻中概括出埃舍爾以正六邊形為基礎(chǔ),對其多次進行一部分切割后沿著平移方向補到另一個邊上,然后通過旋轉(zhuǎn)、對稱得到了鑲嵌的蜥蜴.教師總結(jié)其原理:因為正六邊形是可以鑲嵌的,所以將改變后的蜥蜴進行圖形變換也可以形成鑲嵌圖形.因此,為了設(shè)計出美妙的鑲嵌圖形,我們可以根據(jù)所學(xué)習(xí)的正三角形、正四邊形、正六邊形,以及任意一個三角形或四邊形都可以鑲嵌成平面的數(shù)學(xué)原理進行創(chuàng)作.

問題7你能否借鑒埃舍爾的創(chuàng)作設(shè)計出屬于你的“美妙的鑲嵌”圖形?

小組合作 完成“美妙的鑲嵌”圖形并進行成果展示(圖9)并講解創(chuàng)作理念.

圖9 部分學(xué)生作品2

設(shè)計意圖通過微視頻揭示埃舍爾的創(chuàng)作原理,讓學(xué)生體會到小小鑲嵌圖案背后竟又“鑲嵌”著如此無與倫比的美,激發(fā)學(xué)生去創(chuàng)作美妙的鑲嵌圖形的積極性,讓學(xué)生在親身創(chuàng)作過程中感受數(shù)學(xué)與藝術(shù)的完美融合,充分發(fā)展學(xué)生跨學(xué)科的應(yīng)用意識與實踐意識.

拓展:其實,埃舍爾的作品中與數(shù)學(xué)有關(guān)的不僅僅只有鑲嵌,還有無限、非歐幾何等.多邊形鑲嵌平面的理論,不僅呈現(xiàn)于藝術(shù)中,在建筑結(jié)構(gòu)、經(jīng)濟用料、廢物利用等方面都已得到廣泛應(yīng)用.

2.4 課堂小結(jié),情感提升

問題8(1)我們是怎么探索鑲嵌的?運用了哪些數(shù)學(xué)思想方法?

(2)經(jīng)過這一節(jié)課的學(xué)習(xí),有什么收獲?

(3)通過本課的學(xué)習(xí),你能運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(不僅僅是鑲嵌)創(chuàng)作出更多藝術(shù)作品嗎?

總結(jié)埃舍爾的創(chuàng)作中數(shù)學(xué)與藝術(shù)一直是相輔相成的,他那神奇而又復(fù)雜的藝術(shù)鑲嵌創(chuàng)作是基于對正三角形、正四邊形以及正六邊形的鑲嵌原理的充分認知,然后通過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等變換將它們擴展成復(fù)雜的連鎖圖案,例如鳥類、魚類和爬行動物等,再將其設(shè)計成一個鑲嵌圖形.埃舍爾的作品中所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)形式特征提高了更多人對數(shù)學(xué)與繪畫藝術(shù)的認識,而鑲嵌的數(shù)學(xué)原理也為藝術(shù)創(chuàng)作提供了參照模型.

3 教學(xué)反思

3.1 激發(fā)學(xué)生探索新知的興趣

藝術(shù)欣賞能夠快速抓住學(xué)生的注意力,激發(fā)其對新知探索的興趣.本節(jié)課從對荷蘭藝術(shù)大師埃舍爾作品的欣賞與探究,到以問題解決為導(dǎo)向,探索數(shù)學(xué)中單一正多邊形、兩種正多邊形,以及任意一個三角形或四邊形的鑲嵌實驗,再到揭秘作品背后的數(shù)學(xué)鑲嵌原理,繼而讓學(xué)生創(chuàng)作自己的平面鑲嵌圖形,其本質(zhì)是讓學(xué)生在藝術(shù)欣賞中深刻理解其背后的數(shù)學(xué)原理,了解數(shù)學(xué)的價值,激發(fā)探究數(shù)學(xué)與藝術(shù)融合的興趣.

3.2 培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力

在教學(xué)過程中,通過微視頻直觀揭示埃舍爾藝術(shù)背后的數(shù)學(xué)原理,讓學(xué)生感受他創(chuàng)作背后數(shù)學(xué)與藝術(shù)完美融合的奇妙方法.學(xué)生從最初借助GeoGebra軟件直觀呈現(xiàn)變換,到可以獨立從單一正多邊形鑲嵌類比兩種正多邊形及任意多邊形的思考探究,再到能夠通過小組合作創(chuàng)作出自己的鑲嵌圖形,說明學(xué)生在觀察、抽象、概括的過程中,理解了平面圖形鑲嵌原理中思維的一致性,領(lǐng)悟了類比、從特殊到一般等重要的解決問題的方法,自然地提升了跨學(xué)科解決問題的能力.

3.3 引領(lǐng)學(xué)生走向深度的思考

葉瀾曾說:“盡管我的數(shù)學(xué)成績并不好,但由此生出了數(shù)學(xué)奇妙和對數(shù)學(xué)家的敬意.我想,這些可能就是數(shù)學(xué)“魂”的構(gòu)成之一.”[6]本節(jié)課讓學(xué)生在欣賞數(shù)學(xué)美、創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的教學(xué)過程中,激發(fā)出對數(shù)學(xué)奇妙和“數(shù)學(xué)”藝術(shù)家埃舍爾的敬意,引發(fā)對數(shù)學(xué)文化的思考.此外,學(xué)生感受到的不僅僅是對繪畫作品的純粹欣賞,更多的是對整個數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考.學(xué)生通過數(shù)學(xué)的眼光,可以從藝術(shù)創(chuàng)作中發(fā)現(xiàn)圖形鑲嵌的原理;通過數(shù)學(xué)的思維,可以建立數(shù)學(xué)與藝術(shù)之間的邏輯聯(lián)系;通過數(shù)學(xué)的語言,可以簡約、精確地描述藝術(shù)創(chuàng)作.以此發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識與實踐能力,促使學(xué)生在學(xué)習(xí)中深度思考數(shù)學(xué)與藝術(shù)的跨學(xué)科融合.