鄭蓉蓉 蔣逸卿 唐恒鈞 (浙江師范大學(xué)教育學(xué)院 321004)

1 引言

情境是高考數(shù)學(xué)命題的三大要素(立意、情境、設(shè)問)之一[1],更是承載考查內(nèi)容、實現(xiàn)考查要求的重要載體．因此,高考試卷中情境化試題的分析研究對把握命題趨勢與高考評價方向有重要意義．以下擬對2022年10套高考試題,從情境視角進行分析,在宏觀層面總結(jié)情境設(shè)置的特點,并在微觀層面結(jié)合具體試題進一步剖析并提出相關(guān)的啟示與建議．

2 分析框架

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課標》)將“情境與問題”列為體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的首要方面,其中情境主要是指現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境,問題是指在情境中提出的數(shù)學(xué)問題．每種情境又可根據(jù)本身的復(fù)雜程度分為熟悉、關(guān)聯(lián)、綜合三個層次,與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平相對應(yīng)[2]81．這樣的劃分,明確了高考數(shù)學(xué)試題情境的材料來源和載體作用．本文便從情境的三種分類與學(xué)業(yè)質(zhì)量維度下情境的三種水平這兩方面對2022年高考試題的情境進行分析．

2.1 情境的三種分類

《課標》將情境分為現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境三類,分類描述及示例如表1所示．

表1 情境的三種分類框架

2.2 學(xué)業(yè)質(zhì)量維度下情境的三種水平

在學(xué)業(yè)質(zhì)量維度下,每一類情境可分為熟悉、關(guān)聯(lián)和綜合三個層次,分類描述及示例如表2所示．

表2 情境的三種水平框架

3 高考數(shù)學(xué)卷中情境化試題分布分析

3.1 情境的三種分類

為了更合理地得到情境化試題在整份高考卷中的比重,本文以每道題的分數(shù)與總分的比來衡量,用百分數(shù)來表示,將結(jié)果保留兩位小數(shù)得到表3．

表3 三類情境的卷別:題型分布

表3顯示,所有試卷中都是數(shù)學(xué)情境化試題的比重最大,而且遠遠超過了其余兩種情境．這是因為從廣義上說,大部分純粹的數(shù)學(xué)問題都是數(shù)學(xué)情境化試題,這也是由數(shù)學(xué)的抽象特征所決定的．但數(shù)學(xué)情境獨占全貌的情況已經(jīng)一去不復(fù)返了,2022年數(shù)學(xué)高考試卷以考查數(shù)學(xué)情境為主,輔以必要的現(xiàn)實情境與科學(xué)情境．學(xué)生不僅要掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識與基本技能,更重要的是理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),從真實背景中抽離出數(shù)學(xué)問題,感受數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性,獲得數(shù)學(xué)的基本思想．

另外運用SPSS 25軟件進行對應(yīng)分析,以研究2022年10套高考數(shù)學(xué)試題與三類情境的考查間的關(guān)系．如圖1所示,自主命題卷、全國卷以及新高考I卷和II卷在圖中大致分屬原點周圍三個區(qū)域且絕大多數(shù)距離原點較遠,這說明三類高考試卷試題情境設(shè)置存在差異,具有比較強的獨特性[3]．具體地,自主命題卷中浙江卷、上海卷和天津卷與數(shù)學(xué)情境距離較近且總體遠離原點,說明相對于其他卷別,自主命題卷更加注重數(shù)學(xué)情境化試題的考查,比重更高;同樣地,新高考I卷、II卷與科學(xué)情境較近且總體距離原點較遠,反映了相對于其他卷別,科學(xué)情境的設(shè)置在新高考I、II卷中的體現(xiàn)更多;相對而言,全國甲、乙文科卷更注重現(xiàn)實情境化試題的考查．

圖1 卷別與三類情境對應(yīng)分析圖

3.2 學(xué)業(yè)質(zhì)量維度下情境的三種水平

《課標》“學(xué)業(yè)質(zhì)量”部分,將“情境”按難度劃分為熟悉、關(guān)聯(lián)﹑綜合的情境,本文借鑒《課標》的分析框架,將現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境按上述三種水平依次劃分為九種子情境,并對10套高考卷試題的九種子情境的考查比重進行整理,得出表4．

表4 九種子情境總體分布

從整體看,數(shù)學(xué)情境水平一(B1)在2022年的高考卷中考查的比重最大(34.93%),而現(xiàn)實情境水平三(A3)和科學(xué)情境水平三(C3)考查比重最小(0%);試卷以考查熟悉的情境和關(guān)聯(lián)的情境為主(77.66%),并且在每種情境內(nèi)部都呈現(xiàn)出考查比重隨難度水平升高而降低的趨勢,這是由學(xué)業(yè)質(zhì)量水平二為高考要求決定的．

依據(jù)卷別對10套高考卷試題的九種子情境考查情況統(tǒng)計分析(圖2),其中天津卷數(shù)學(xué)情境水平一(B1)比重最大(46.67%),甲卷文科現(xiàn)實情境水平一(A1)比重最大(19.33%),乙卷理科情境種類最豐富(七種)．部分試卷情境設(shè)置比例相對均衡,如甲卷文科,而另一部分試卷則差異顯著,如天津卷．這體現(xiàn)了不同卷別情境設(shè)置的關(guān)注點存在差異．

圖2 九種子情境在10套試題中的分布

4 典型案例分析

綜合以上統(tǒng)計分析結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),2022年數(shù)學(xué)高考試題的特點是:數(shù)學(xué)情境比重大且層次豐富、科學(xué)情境化試題比重偏低且層次單一、不同卷別的情境關(guān)注點存在差異．

4.1 數(shù)學(xué)情境比重大且層次豐富

例1(2022年北京卷第20題)已知函數(shù)f(x)=

exln(1+x).

(1)求曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程;

(2)設(shè)g(x)=f′(x),討論g(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性;

(3)證明:對任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).

北京卷第20題屬于數(shù)學(xué)情境化試題,三個小題分別處于數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一(熟悉情境)、水平二(關(guān)聯(lián)情境)、水平三(綜合情境)層次,為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)能力有差異的學(xué)生均提供了發(fā)揮空間,更精準地發(fā)揮了數(shù)學(xué)學(xué)科考試的選拔區(qū)分功能．

小題(1)屬于熟悉的數(shù)學(xué)情境,考查在已知函數(shù)解析式的情境下,曲線在某點處的切線方程求法．大部分學(xué)生對這題應(yīng)該都有似曾相識的感覺.該題的求解需要學(xué)生在平時解決相似問題的經(jīng)驗中感悟數(shù)學(xué)的通性通法．因此小題(1)只需根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,先求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),再將點的橫坐標代入f′(x)得到在該點處的切線斜率,由點斜式便可求出切線方程．

小題(2)屬于關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)情境,考查用導(dǎo)數(shù)研究較復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性．學(xué)生需要掌握常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及可導(dǎo)函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則,厘清導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的邏輯關(guān)系,理解其中的數(shù)學(xué)思想,這樣不論遇見多復(fù)雜的函數(shù)都能夠有思路、有信心地往下做．對于本題來說,難點一便是對g(x)進行求導(dǎo),難點二是判斷x∈[0,+∞)時g′(x)的正負情況,需要將g′(x)通分之后才能看出來．

小題(3)屬于綜合的數(shù)學(xué)情境,考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用．本題解法不唯一,但是利用數(shù)形結(jié)合的方法是最簡單的．這要求學(xué)生具備數(shù)形結(jié)合的思想,能夠借助圖形探索解決問題的思路,充分利用小題(2)的結(jié)論,由曲線斜率過渡,探索論證途徑．由小題(2)可知g(x)在(0,+∞)上是遞增的函數(shù),通過求導(dǎo)可得函數(shù)F(s)=f(s+t)+f(s)-f(t)在[0,+∞)上單調(diào)遞增且F(s)>0,故結(jié)論成立．

基于以上分析,北京卷第20題的數(shù)學(xué)情境設(shè)置確實層次豐富,這也是2022年高考試題數(shù)學(xué)情境設(shè)置的縮影:數(shù)學(xué)情境化試題的比重最大且層次豐富,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)高考的科學(xué)選拔與全面發(fā)展人才的功能．

4.2 科學(xué)情境化試題比重偏低層次單一

例2(2022年北京卷第7題)在北京冬奧會上,國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù),為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻.圖3描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)T與lgP的關(guān)系,其中:T表示溫度,單位是K;P表示壓強,單位是bar.在下列結(jié)論中正確的是( )．

圖3

A.當(dāng)T=220,P=1 026時,二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)T=270,P=128時,二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)T=300,P=9 987時,二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)T=360,P=729時,二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

2022年高考卷整體上科學(xué)情境化試題比重偏低,且具有情境的復(fù)雜水平單一等特點．北京卷第7題以國家速滑館“冰絲帶”綠色環(huán)保場館為背景設(shè)置科學(xué)情境,考查學(xué)生的信息提取能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和對數(shù)數(shù)值的估算能力．學(xué)生只要能夠明確該問題的特征,即坐標位置對應(yīng)二氧化碳狀態(tài),再根據(jù)問題特征形成合適的運算思路,依據(jù)選項給出的T和P的具體數(shù)值,對lgP進行估值后得到相應(yīng)坐標,對照圖表易知二氧化碳所處的狀態(tài)．因此本題相關(guān)知識與問題特征能從情境中直接抽象出來且數(shù)學(xué)關(guān)系單一、運算簡單,按復(fù)雜程度劃分屬于熟悉的科學(xué)情境．本題雖難度不大,但創(chuàng)設(shè)了科學(xué)情境將數(shù)學(xué)與化學(xué)聯(lián)系起來,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識在其他學(xué)科領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用．

4.3 不同地區(qū)試卷的情境關(guān)注點存在差異

上一節(jié)中的圖1和圖2表明自主命題卷、全國卷以及新高考卷三類高考卷試題情境設(shè)置傾向有所差異,反映在自主命題卷更注重數(shù)學(xué)情境化試題的考查;新高考卷更傾向于科學(xué)情境化試題的設(shè)置;全國甲、乙文科卷則更關(guān)注現(xiàn)實情境化試題．具體表現(xiàn)在:對于同一內(nèi)容(數(shù)列)的考查,三類高考卷設(shè)置了不同類型的情境.以下取三道典型試題加以探析．

A.b1

C.b6

乙卷理科第4題以嫦娥二號深空探測這一科學(xué)活動為情境的載體,設(shè)置科學(xué)情境.試題里數(shù)列遞推公式來源于情境中兩個繞日周期的比值問題,考查學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力、信息提取能力、綜合應(yīng)用各項知識的能力以及數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)．若能發(fā)現(xiàn)ak在題中的任意性,便可取特殊值代入,對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進行簡單、直觀的表達,抓住問題的本質(zhì),形成解決思路．

圖4

A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9

新高考II卷第3題依托中國古建筑設(shè)置現(xiàn)實情境,考查學(xué)生將與學(xué)習(xí)生活緊密關(guān)聯(lián)的實物抽象為幾何圖形、建立圖形與實物之間的聯(lián)系、發(fā)現(xiàn)圖形與數(shù)量關(guān)系的思維過程,學(xué)生進而借助圖形探索解決問題的途徑,發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)．本題的關(guān)鍵在于建立等差數(shù)列和直線OA斜率間的聯(lián)系,從而求解得出k3．此題選取中國傳統(tǒng)建筑結(jié)構(gòu)為情境載體,可以使等差數(shù)列和直線斜率這類理論知識在現(xiàn)實情境中展現(xiàn)生機,貼近現(xiàn)實．

例5(2022年天津卷第18題)設(shè){an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且a1=b1=a2-b2=a3-b3=1.

(1)求{an}與{bn}的通項公式.(2)(3)略.

天津卷第18題第(1)問以數(shù)列為背景,通過給出一等差數(shù)列和等比數(shù)列前三項之間的等量關(guān)系構(gòu)建數(shù)學(xué)情境．問題的關(guān)鍵是利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的特征進行消元,從而求出公差和公比．這個過程考查學(xué)生是否能把握研究對象的數(shù)學(xué)特征,感悟通性通法的數(shù)學(xué)原理和其蘊含的數(shù)學(xué)思想,進而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理核心素養(yǎng)．

三道試題考查內(nèi)容均為數(shù)列,整卷中數(shù)列題普遍不會超過三道,但不同地區(qū)的三類試卷為其設(shè)置了不同類型的情境,這在一定程度上反映了三類試卷在情境類型的關(guān)注點上具有比較強的獨特性．

5 啟示與建議

《課標》指出,高考命題要充分考慮對教學(xué)的積極引導(dǎo)作用[2]88.上述研究反映了2022年高考數(shù)學(xué)試題在情境的類型、層次和卷別傾向上的命題特點,教師應(yīng)把握命題方向,選擇合適的考查載體,以考促學(xué).

5.1 有意識地創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境,用數(shù)學(xué)問題鏈驅(qū)動教學(xué)

2022年高考數(shù)學(xué)試題均呈現(xiàn)出“數(shù)學(xué)情境比重大且層次豐富”的特點.數(shù)學(xué)情境層次的豐富性反映了情境中的問題具有跨度,這需要教師有意識地創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境,用數(shù)學(xué)問題鏈組織和驅(qū)動教學(xué).時下教學(xué)中經(jīng)常存在教師通過系列問題來推動和引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的情況,然而教師所提問題之間往往跨度較小且過于直接,限制了學(xué)生思考的空間.反觀例1,三道小題分屬情境由低到高的三個層次,問題之間具有一定的思維跨度,這對當(dāng)下的問題教學(xué)提出了挑戰(zhàn).事實上,數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)強調(diào)通過主干問題驅(qū)動學(xué)生思考:一方面問題鏈中問題之間的跨度為學(xué)生提供適度思考空間;另一方面為學(xué)生的數(shù)學(xué)思考建構(gòu)隱性脈絡(luò),引向深入[4].基于此,教師首先要充分認識到數(shù)學(xué)情境是認知活動的信息載體,是發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ);其次,設(shè)置具有階梯性、思維跨度的關(guān)鍵問題,有意識地創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境,使目標問題自然產(chǎn)生,體現(xiàn)以數(shù)學(xué)思維方法為主線的內(nèi)在脈絡(luò)結(jié)構(gòu).學(xué)生在有序解決梯度性問題的過程中主動參與、積極思考,感受基本的數(shù)學(xué)思維方法,由此對問題產(chǎn)生深度理解[5].

5.2 更新學(xué)科觀念,促進學(xué)科間的交叉互融

《課標》提出,要強調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科之間的聯(lián)系[2]2.數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)性學(xué)科,在任何學(xué)科領(lǐng)域,哪怕是人文社科領(lǐng)域,都有它的身影.數(shù)學(xué)的交叉和融合是由數(shù)學(xué)的本質(zhì)決定的[6].從2022年高考試題中也可以看出,數(shù)學(xué)已經(jīng)不再“純粹”,它能夠以各種學(xué)科背景為載體考查學(xué)生的能力.即使科學(xué)情境化試題當(dāng)前所占比重偏低,對學(xué)科交叉融合的重視仍將是體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價值和時代特征的必然趨勢.但是與之相對的,我國數(shù)學(xué)課程因長期以來強調(diào)邏輯性、強調(diào)概念定理的深入理解而導(dǎo)致封閉有余而開放不足.因此教師更應(yīng)該追隨新課改的浪潮,更新學(xué)科觀念,促進學(xué)科間的交叉互融,在教學(xué)中有意識地設(shè)計一些跨學(xué)科情境問題,給學(xué)生提供自主探索、合作交流的機會,讓學(xué)生體會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達世界.

5.3 注重同一對象的多情境認識,避免問題與情境的固化配對

分析發(fā)現(xiàn),不同卷別的試題情境設(shè)置相對而言側(cè)重不同.例3～例5在不同類型的情境中考查同一知識點,這為教學(xué)提供了一個參考方向.情境是認知活動的信息載體,設(shè)置類型豐富、層次多樣的情境,能引領(lǐng)學(xué)生從多個角度、多種抽象層次體會數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),對同一數(shù)學(xué)對象的認識和理解也會逐步加深.其次,在不同類型、層次的情境下引導(dǎo)學(xué)生采取多種方式表達與交流對于相同數(shù)學(xué)對象的理解,這有助于學(xué)生心智模式的激活與優(yōu)化,為深度理解提供了可能[6].此外,注重同一對象的多情境認識可以破除一類問題與一種情境間的固化,改變思維定勢.例如,高考試題中導(dǎo)數(shù)和解析幾何的內(nèi)容往往與數(shù)學(xué)情境配對,概率統(tǒng)計則常與現(xiàn)實情境結(jié)合.這固然受制于知識內(nèi)容本身的結(jié)構(gòu)特征、應(yīng)用性程度和考試要求,但教學(xué)中需要關(guān)注到相關(guān)內(nèi)容的多種情境,如在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中創(chuàng)設(shè)熟悉的現(xiàn)實情境和關(guān)聯(lián)的科學(xué)情境.