單銘成

南京大學(xué)附屬中學(xué)

切線不等式是指具有凹凸性的函數(shù)與其在某點(diǎn)處的切線關(guān)系.例如f(x)=ex，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線在點(diǎn)(t,f(t))處的切線方程為y=et(x-t)+et，根據(jù)f(x)=ex的凹凸性可得ex≥et(x-t)+et.利用這樣的切線不等式進(jìn)行放縮，可將超越式化為一次式，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解.下面就指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)中常用的幾類(lèi)切線不等式的應(yīng)用舉例進(jìn)行說(shuō)明，以有效處理相關(guān)的導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題.

1 指數(shù)函數(shù)的切線不等式

指數(shù)函數(shù)f(x)=ex的切線不等式為ex≥et(x-t)+et.若t=0，則ex≥x+1；若t=1，則ex≥ex.這些切線不等式在處理與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的壓軸問(wèn)題時(shí)，可起到化繁為簡(jiǎn)之效.

例1任意x∈(0,+∞)，不等式xex-3-x-lnx-a≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析:不等式xex-3-x-lnx-a≥0可化為xex-3-x-lnx≥a.令函數(shù)f(x)=xex-3-x-lnx，則原不等式恒成立，即fmin(x)≥a.

因?yàn)閒(x)=xex-3-x-lnx=eln xex-3-x-lnx=eln x+x-3-x-lnx,所以由指數(shù)函數(shù)的切線不等式ex≥x+1得eln x+x-3≥(lnx+x-3)+1，等號(hào)取得的條件是lnx+x-3=0，下面說(shuō)明此方程有解.

所以f(x)≥(x+lnx-3)+1-x-lnx=-2，即fmin(x)=-2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2].

點(diǎn)評(píng):本題求解中先將所證不等式構(gòu)造為與切線不等式ex≥x+1相同的形式，再利用此不等式進(jìn)行放縮處理.變形應(yīng)用中要注意不等式等號(hào)成立的條件，此時(shí)可借助二次求導(dǎo)以及函數(shù)的零點(diǎn)存在定理.

2 對(duì)數(shù)函數(shù)的切線不等式

例2已知函數(shù)f(x)=x2e3x.若x>0時(shí)，不等式f(x)≥(a+3)x+2lnx+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

因?yàn)?x=lne3x,2lnx=lnx2，所以函數(shù)

由x-1≥lnx(x>0)，可得x2e3x-ln (x2e3x)-1≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x2e3x=1時(shí)取等號(hào).下面判斷該方程是否有解.

綜上，a的取值范圍是(-∞,0].

點(diǎn)評(píng):不等式ex≥x+1與lnx≤x-1(x>0)可直接進(jìn)行互化.例如，將ex≥x+1中的x用lnx代換，即得lnx≤x-1(x>0).因此本題的求解中若將函數(shù)g(x)進(jìn)行如下變形,即

也可利用不等式ex≥x+1放縮求解.

3 三角函數(shù)的切線不等式

三角函數(shù)的切線不等式常見(jiàn)的是x≥sinx(x≥0)，通過(guò)此不等式可構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-sinx(x≥0)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷該函數(shù)在[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，則f(x)≥f(0)=0.當(dāng)然也可以將切線y=x平移到其他零點(diǎn)位置，得到新的切線再應(yīng)用.類(lèi)似地，也可以得到y(tǒng)=cosx在相應(yīng)零點(diǎn)處的切線.

若存在x1,x2∈(0,+∞)，且x1≠x2時(shí)，f(x1)=f(x2)，證明：x1x2

解析:不妨令 0

4 正切函數(shù)的切線不等式

例4已知函數(shù)f(x)=(1-m)sinx+xcosx，當(dāng)m∈(1,2)，判斷f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

點(diǎn)評(píng):熟知正切函數(shù)的切線不等式是快速解決本題的關(guān)鍵.以此為背景的命題，均可借助該不等式求解.

總之，學(xué)生在備考中要注意積累這些常用的切線放縮法，應(yīng)用這些方法在解題中常可迅速找到解題的突破口，從而準(zhǔn)確求解.Z