黃力江 夏 宇

安徽省宿城第一中學(xué)

1 導(dǎo)語(yǔ)

數(shù)學(xué)家M·克萊因在《古今數(shù)學(xué)思想》中提到“歷史上數(shù)學(xué)家遇到的困難，正是學(xué)生會(huì)遇到的學(xué)習(xí)障礙，因而數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南”[1].在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，很多概念的形成，定理、公式的發(fā)現(xiàn)都不是一蹴而就的，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的探索、積累、擴(kuò)充，才形成教材中這些簡(jiǎn)潔、漂亮、完備的知識(shí)體系.但是這些“冰冷”的知識(shí)并不容易被學(xué)生理解和接受，“以史為鑒，可以明得失”，如果能把數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)，利用人的認(rèn)知過(guò)程與數(shù)學(xué)發(fā)展歷程的一致性，通過(guò)引入數(shù)學(xué)史讓學(xué)生了解問(wèn)題的來(lái)源和解決方法的形成，會(huì)獲得更好的教學(xué)效果.下面筆者就以“數(shù)列”為例，談?wù)剬?duì)此的認(rèn)識(shí).

2 案例分析

教材是按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)和課標(biāo)要求編撰的知識(shí)體系，編寫(xiě)時(shí)舍棄了大量數(shù)學(xué)概念和方法的形成過(guò)程，但這并不利于學(xué)生的消化吸收.教師要通過(guò)查閱歷史文獻(xiàn)，進(jìn)行辨析和篩選，整理出數(shù)列發(fā)展簡(jiǎn)史.數(shù)列簡(jiǎn)史的整理，不是碎片化的知識(shí)點(diǎn)或歷史事件的堆砌，而是按照一定的主線，將所有知識(shí)點(diǎn)及其歷史有序地組織起來(lái)，與數(shù)列教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)相融合.結(jié)合數(shù)學(xué)史提出驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題，從而依次從數(shù)列概念的起源闡述“是什么”，從數(shù)列的應(yīng)用解釋“為什么”，從數(shù)列的發(fā)展探究“怎么樣”.

2.1 從數(shù)列概念的起源闡述“是什么”

數(shù)列相關(guān)知識(shí)點(diǎn)較多，如果將概念、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等直接呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生難免會(huì)感覺(jué)枯燥乏味，也不明白這些“數(shù)字游戲”的意義.通過(guò)在教學(xué)中追溯數(shù)學(xué)史中數(shù)列的起源，可以激發(fā)學(xué)生的興趣和探索欲，從而闡述數(shù)列是什么這一基本問(wèn)題.如：

展示一張?jiān)率硤D片(如圖1)，設(shè)置情境：大家知道月食是怎樣一個(gè)過(guò)程嗎？

圖1

師：在地球上看到被太陽(yáng)照亮部分的月球的不同形象就是月相變化.蘇軾詞里“人有悲歡離合，月有陰晴圓缺”也描述著月相的變化.在很早之前就有月相的記載了.通過(guò)課件展示巴比倫泥版K90(新亞述時(shí)期，公元前7世紀(jì))上記錄月相變化的一列數(shù)，如表1.

表1 月相變化

古巴比倫人將月盤(pán)平均分成240個(gè)部分.我們把月亮每天可見(jiàn)的部分按日期順序排成一列數(shù)，代表月亮的變化過(guò)程，可得

師：大約公元前1650年，古埃及祭司阿莫斯抄錄了一本書(shū)(萊茵得紙草書(shū))[2]，里面記載著“問(wèn)題79”，是一張財(cái)產(chǎn)表如圖2所示.故事是這樣的，一位富人有七間房屋，每間房屋有七只貓，每只貓捉了七只老鼠，每只老鼠吃了七棵麥穗，每棵麥穗上都有七粒麥粒.問(wèn)房間、貓、老鼠、麥穗、麥粒各有多少？

學(xué)生容易回答：7,72,73,74,75.

圖2

師：以上情境中的兩組數(shù)有什么共同特征？

生：都是一列數(shù)，并且有一定的次序.

接下來(lái)在學(xué)生最興奮的時(shí)候引導(dǎo)他們總結(jié)出數(shù)列的概念.通過(guò)有趣的數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生的好奇心，達(dá)到了很好的教學(xué)效果.

2.2 從數(shù)列的應(yīng)用解釋“為什么”

數(shù)列的發(fā)展歷程表明數(shù)列源于生活，承載著人們生活的方方面面.數(shù)學(xué)史中數(shù)列的廣泛應(yīng)用體現(xiàn)其重要性，從而解決為什么要學(xué)習(xí)數(shù)列的疑惑.如：

師：數(shù)列在生活中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，同學(xué)們是否還聽(tīng)說(shuō)過(guò)其他與數(shù)列相關(guān)的故事呢？

學(xué)生可以各抒己見(jiàn)，自由探索.

圖3

師：大家有沒(méi)有玩過(guò)漢諾塔游戲？該游戲起源于印度的神話傳說(shuō)，據(jù)說(shuō)上帝創(chuàng)造世界時(shí)做了三根金剛石柱子，在一根柱子上從下往上按大小順序摞著64片黃金圓盤(pán)(如圖3).上帝命令婆羅門把圓盤(pán)同樣從下往上按大小順序重新擺放在另一根柱子上.但在三根柱子之間每次只能移動(dòng)一個(gè)圓盤(pán)，而且在小圓盤(pán)上不能放大圓盤(pán).據(jù)說(shuō)，這件事完成時(shí)，宇宙就會(huì)在一瞬間閃電式毀滅.那么，宇宙會(huì)閃電式毀滅嗎？我們?cè)撛趺礃尤フ业酱鸢改兀?/p>

生：用數(shù)列知識(shí).

師：我們發(fā)現(xiàn)，如果只有一片圓盤(pán)，最少移動(dòng)1次；如果兩片，需移動(dòng)3次.以此類推，得到如下數(shù)列：1,3,7,……,2n-1.所以，如果有64片圓盤(pán)，需移動(dòng)264-1=184 467 440 737 095 516 15次，即使移動(dòng)一次只用一秒，也需要大約600億年呀！

2.3 從數(shù)列的發(fā)展探究“怎么樣”

人的認(rèn)知過(guò)程與數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程具有一致性，學(xué)習(xí)數(shù)列的發(fā)展史，是領(lǐng)悟其中數(shù)學(xué)思想的有效方式.教師結(jié)合數(shù)學(xué)史，將數(shù)列知識(shí)的推導(dǎo)演繹過(guò)程呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生親歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，用自己深刻的體驗(yàn)形成經(jīng)驗(yàn)，用積極的思維構(gòu)建知識(shí)體系，學(xué)會(huì)怎么樣學(xué)習(xí)數(shù)列，怎么樣應(yīng)用數(shù)列.如：

圖4

印度泰姬陵是印度莫臥兒王朝的皇帝為他的愛(ài)妃所建，傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案(如圖4)，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，奢華漂亮，此圖案共100層，每層寶石的個(gè)數(shù)依次是1,2,3，……，100，正好構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列.大家能否計(jì)算出一共有多少顆寶石？

多數(shù)學(xué)生熟知高斯的故事，高斯十歲時(shí)用下面的方法迅速算出：1+2+3+……+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=50×101=5 050.

師：下面請(qǐng)大家再思考，如果設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，末項(xiàng)為an，公差為d，你能推導(dǎo)出其前n項(xiàng)和Sn嗎？

教師再展示圖片(如圖5)，并給予引導(dǎo)，學(xué)生很容易受到啟發(fā)，通過(guò)類比得到解決問(wèn)題的方法.

圖5

S=1+2+3+……+100，

①

S=100+99+98+……+1.

②

①+②，得

2S=(1+100)+(2+99)+……+(100+1)=101×100.

師：類比以上推導(dǎo)過(guò)程，你能得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn嗎？

生：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

Sn=a1+a2+a3+……+an，

③

Sn=an+an-1+an-2+……+a1.

④

由等差數(shù)列性質(zhì)，可得

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……=an+a1.

師：我們把上述方法叫做倒序相加法.再把a(bǔ)n=a1+(n-1)d代入，能得到什么形式的公式？

利用泰姬陵的寶石圖案引出我們要研究的問(wèn)題，推導(dǎo)出求和公式.數(shù)學(xué)史融入課堂，既增添了趣味性，又滲透了數(shù)學(xué)思想.

3 教學(xué)反思

學(xué)黨史，悟思想，開(kāi)新局.同樣，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，體會(huì)千百年來(lái)沉淀下來(lái)的理性智慧，不僅有助于新知的探索，更有助于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.下面，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐對(duì)數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)談一些感悟.

3.1 “學(xué)史明理”，數(shù)學(xué)史是思想方法的重要載體

要深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生需要發(fā)現(xiàn)、探索數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，查閱相關(guān)數(shù)學(xué)史，然后在驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題探索活動(dòng)中提高自主學(xué)習(xí)能力、內(nèi)化數(shù)學(xué)思想[3].比如，在等比數(shù)列求和教學(xué)中，除了用錯(cuò)位相減法外，還可以介紹古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得《幾何原本》中用合比定理推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的方法.一段數(shù)學(xué)史本身也是一種思想方法的體現(xiàn).結(jié)合數(shù)學(xué)史教學(xué)，學(xué)生更能明白所學(xué)知識(shí)的道理，把握其豐富內(nèi)涵.

3.2 “學(xué)史增信”，數(shù)學(xué)史是高效課堂的重要工具

數(shù)學(xué)概念不僅抽象，還往往具有豐富的起源“背景”.教師可以在數(shù)學(xué)史中找到我國(guó)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的重要?dú)v史事件和數(shù)學(xué)家的趣事等史料并將其添加到數(shù)學(xué)教學(xué)中.比如,在等差數(shù)列的教學(xué)中，教師可以引用《周髀算經(jīng)》中“七衡圖”的例子.這樣不僅讓課堂高效，還可以增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和社會(huì)責(zé)任感，提升文化自信.

3.3 “學(xué)史崇德”，數(shù)學(xué)史是德育價(jià)值的重要體現(xiàn)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反應(yīng)數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神.”歷史上，數(shù)學(xué)家為了論證某個(gè)結(jié)論通常會(huì)花費(fèi)大量的時(shí)間，經(jīng)歷巨大的困難與挫折，但是他們依然孜孜不倦，上下求索，這種精神是值得學(xué)習(xí)的.

3.4 “學(xué)史力行”，數(shù)學(xué)史是高考評(píng)價(jià)的重要形式

教育部考試中心發(fā)布的《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》由“一核”“四層”“四翼”組成，其中“四翼”指高考的考查要求為“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”.數(shù)學(xué)文化是高考的熱點(diǎn)，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)史正是反映了“應(yīng)用性、創(chuàng)新性”的考查要求，因此在教學(xué)中，教師應(yīng)力所能及地介紹數(shù)學(xué)史中的問(wèn)題，這不僅符合高考的要求，而且有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

4 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)可以讓課堂更加生動(dòng)、有趣，激發(fā)學(xué)生的好奇心.按照一定的主線，將數(shù)學(xué)知識(shí)與相關(guān)數(shù)學(xué)史結(jié)合，不斷提出驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題，從而促使學(xué)生層層遞進(jìn)，一步一步深入探索數(shù)學(xué)知識(shí).這樣，數(shù)學(xué)史把對(duì)知識(shí)的感知、理解、鞏固、應(yīng)用融為一體，很好地呈現(xiàn)了知識(shí)的生成過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)感受前人的智慧，努力培養(yǎng)自己的務(wù)實(shí)和理性精神，從而不斷地提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).