李素馨 馮碩文

湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院

比較大小的選擇題是近年高考的常見題型，一般情況下我們會(huì)構(gòu)造函數(shù)模型代入數(shù)值進(jìn)行比較和運(yùn)算，但是對(duì)學(xué)生來說函數(shù)模型的選擇是非常有難度的，因此在選擇題中我們可以選擇利用泰勒公式計(jì)算近似值的辦法進(jìn)行比較大小.

1 泰勒公式在教材中的體現(xiàn)

在人教A版必修一教材(2019年)中三角函數(shù)一章第256頁“拓廣探索”中新增以下第26題.

英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：

解：經(jīng)計(jì)算得cos 0.3≈0.999 987 2，與由泰勒公式計(jì)算所得結(jié)果前三項(xiàng)誤差不超過0.05.

由教材的例子可以看出，泰勒公式在求實(shí)際數(shù)值的時(shí)候很方便，并且項(xiàng)數(shù)比較少的時(shí)候就可以達(dá)到比較高的精確度.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確要求了學(xué)生應(yīng)當(dāng)在現(xiàn)實(shí)問題中，能利用函數(shù)模型解決問題.在實(shí)際問題中，利用一些重要常數(shù)，例如e,π的近似值，對(duì)無理數(shù)進(jìn)行比較一直都是非常常見的一類問題.

2 泰勒公式的一般形式

如果函數(shù)f(x)在[a,b)上存在直至n階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在[a,b)內(nèi)存在(n+1)階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)于給定的x0，x0∈[a,b)，至少存在ξ∈[a,b)使得

下面給出高中階段常用的泰勒公式：

3 泰勒公式在求解高考試題中的應(yīng)用

公式常用于計(jì)算近似值，因此對(duì)求解比較大小的試題可以簡化運(yùn)算，提高解題效率，現(xiàn)舉例說明.

首先來看泰勒公式在求解高考題中的運(yùn)用,這里只給出泰勒公式解法.

A.a

C.c

解:使用泰勒公式

因?yàn)?/p>

所以c

故選：C.

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

解：由泰勒展開式(3)，放縮可得

所以b>a.由泰勒展開式(2)，放縮可得

綜上，c>b>a.

故選：A.

A.a

C.b

解：由泰勒公式，可知

將x=0.01，x=0.02，x=0.04，分別相應(yīng)代入估算，得a≈0.019 90，b≈0.019 802，c≈0.019 804.

由此可知b

故選：B

評(píng)析：通過以上示例可以看出，利用泰勒公式近似計(jì)算求解難度比較大的試題確實(shí)可以提高解題速度，但運(yùn)用該法的難點(diǎn)是要利用數(shù)字特征構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù).其次，在比較大小的解答題中也可以利用泰勒公式，舉例如下.

設(shè)f(x)=(2.1-2x)ex.

≈2.1+2.1x+1.05x2-2x-2x2-x3.

即f(x)≈2.1+x(0.1-0.95x-x2).

又a>c>1，b<1，則a>c>b.故b

評(píng)析：本例中在構(gòu)造函數(shù)時(shí)注意盡量不要除式，而是用乘積構(gòu)造函數(shù)，并且注意運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆趴s.

4 教學(xué)啟示

(1)引入泰勒公式，進(jìn)行估計(jì)

由以上例子可以觀之，在高中實(shí)際教學(xué)中教師可以借助課后習(xí)題引入一些泰勒公式的知識(shí)，讓學(xué)生了解一些估計(jì)與近似問題若用泰勒公式則會(huì)很方便，并且能夠通過對(duì)一些函數(shù)計(jì)算具體值的方法進(jìn)行研究和把握.

(2)運(yùn)用泰勒公式，簡化計(jì)算

由以上例子也可以看出，泰勒公式在小范圍內(nèi)估值時(shí)會(huì)非常準(zhǔn)確，因此在碰到此類問題時(shí)往往可以考慮泰勒公式.

(3)深度思考，激發(fā)興趣

教師可以利用“泰勒公式簡化計(jì)算”這個(gè)例子激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)這門學(xué)科的深度思考，引起學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣.