楊 東 李洪全 姜遠(yuǎn)航

成都七中 石室天府中學(xué)

學(xué)生在面對思維需求量較大的題目時(shí)，往往具有一定的困難.而借助思維導(dǎo)圖將思考過程可視化，可以幫助他們更好地呈現(xiàn)思維過程，厘清邏輯的基本關(guān)系.這里，筆者以2022年全國甲卷第12題為例，來探索思維如何在清晰的流程中得以更好地展示出來.

1 題目呈現(xiàn)

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

本題為2022年全國高考理科甲卷第12題(選擇題最后一題)，是一個(gè)典型的比較大小的問題，這類問題不僅充分考查學(xué)生對知識的綜合應(yīng)用，而且對數(shù)學(xué)方法的選取也會顯得多種多樣.下面提供幾種解法，供大家討論.

2 解法分析及詳解

2.1 b與c的大小比較

首先我們注意到b，c兩個(gè)數(shù)中，有非常顯眼的數(shù)字“4”，因此可通過構(gòu)造函數(shù)將這個(gè)固定的“4”變?yōu)橐粋€(gè)變量，這是構(gòu)造函數(shù)中非常典型的一種處理方式.另一方面，如果挖掘三角函數(shù)的特性，也可以考慮將角的三角函數(shù)，用幾何方法構(gòu)建出來.試著解決這個(gè)比較大小問題.我們通過思維導(dǎo)圖，將下列三種解法呈現(xiàn)出來.

下面分別通過代數(shù)思路分析方式和幾何思路分析方式來呈現(xiàn)幾種解法，以期望能夠更好更清晰地表達(dá)出解決問題的突破口和思考方式.

代數(shù)思路思維導(dǎo)圖，如圖1所示：

圖1

幾何思路思維導(dǎo)圖，如圖2所示：

圖2

所以b

圖3

以上三種解法中，解法1是常規(guī)的通過兩式比值與1的大小來判斷，具有普遍性，是我們首先可以想到的方法.

第二種解法是構(gòu)造函數(shù)，也是對不同式子中的相同量加以抽象把握得到的函數(shù)模型.而解法2中提到的兩種函數(shù)構(gòu)造方法，其實(shí)告訴我們即使不是一次性就選出最優(yōu)的函數(shù)模型(實(shí)際問題中也往往不可能一眼就選出最優(yōu)解)，通過合理的分析也能夠找到解決問題的途徑.

2.2 a與b的大小比較

下面利用思維導(dǎo)圖將思維過程可視化.如圖4所示：

圖4

同樣地，通過回歸教材，利用幾何方法加以思考，可以得到如圖5所示的思維導(dǎo)圖：

圖5

解法1-1：構(gòu)造二次函數(shù).

而對于構(gòu)造一次函數(shù)形式，將通過后面的解法1-2進(jìn)行更深入的介紹.

解法2：發(fā)現(xiàn)二倍角關(guān)系.

解法3-1：利用單位圓將特殊值三角函數(shù)化.

圖6

圖7

故a

3 深挖題目背景，借助大學(xué)先修知識來解決問題

3.1 利用積分處理a，b的一次函數(shù)構(gòu)造比較

圖8

3.2 利用泰勒展開式對a,b,c的大小判斷一步到位

通過進(jìn)一步挖掘試題背景，發(fā)現(xiàn)這個(gè)題目中有很明顯的多項(xiàng)式與三角函數(shù)的替代關(guān)系.如果具備一定的級數(shù)知識基礎(chǔ)，那么很快會發(fā)現(xiàn)，此題目其實(shí)具有麥克勞林級數(shù)的特點(diǎn)，只需要把sinx和cosx在原點(diǎn)處展開，可以瞬間解決這個(gè)問題.過程如下.

已知以下麥克勞林展開式：

故a