吳謙

構(gòu)造函數(shù)法是解答高中數(shù)學(xué)問題的一種常用方法，即通過構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或單調(diào)性問題來求解.構(gòu)造函數(shù)法常用于求參數(shù)的取值范圍、證明不等式、比較函數(shù)式的大小等.本文主要談一談運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的三種思路，供大家參考.

一、通過作差構(gòu)造函數(shù)

有些不等式左右兩邊的式子中含有多個(gè)單項(xiàng)式， 此時(shí)可將不等式左右兩邊的式子移項(xiàng)，通過作差，來構(gòu) 造出函數(shù)，如將 f （x） > g（x） 化為 h（x） = f （x） - g（x） > 0 ， 將 f （x） < g（x） 化為 h（x） = f （x） - g（x） < 0 .求得函數(shù) h（x） 在定義域內(nèi)的最值，并使函數(shù) h（x） 的最值恒大于（小 于）0，即可證明不等式成立.

例1.

證明：

目標(biāo)不等式左右兩邊的式子較為復(fù)雜，于是將左 右兩邊的式子作差，構(gòu)造出新函數(shù) F（x） ；然后利用導(dǎo) 函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性， 求得函數(shù) F（x） 在 x > 0 時(shí)的最小值，證明 F（x） > 0 ，即 可證明不等式.通過作差構(gòu)造出函數(shù)，就可以將問題轉(zhuǎn) 化為函數(shù)最值問題，即可通過轉(zhuǎn)換解題的思路，順利 證明不等式.

例2

證明：

首先將要證明的不等式進(jìn)行移項(xiàng)、作差，使所有 項(xiàng)都位于不等號的左邊；然后將變形后不等式左邊的 式子構(gòu)造成函數(shù)式，探討在 x > 0 時(shí)函數(shù)的單調(diào)性以 及值域，即可證明不等式成立.

二、通過換元構(gòu)造函數(shù)

有些不等式的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，其中含有根式、絕 對值、指數(shù)冪、對數(shù)式等，此時(shí)為了簡化不等式，需將 不等式中的某一部分式子進(jìn)行換元，從而構(gòu)造出新函 數(shù).運(yùn)用該思路證明不等式，需仔細(xì)分析已知條件和不 等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選取合適的代數(shù)式進(jìn)行換元.同時(shí)， 在換元的過程中，要注意新舊元取值范圍的等價(jià)性.

例3

證明：

本題中要證明的不等式較為復(fù)雜，于是先根據(jù)已 知條件將不等式變形為 ln x1 - ln x2 x1 - x2 > 2 x1 + x2 ；然后引 入新變量，將其替換 x1 x2 ，并構(gòu)造關(guān)于新變量 t 的函數(shù) 式，通過討論函數(shù)的單調(diào)性和最值，證明函數(shù)的最值 小于 0 ，從而證明結(jié)論.在遇到結(jié)構(gòu)復(fù)雜的不等式問題 時(shí)，往往可將其變形，選取多次出現(xiàn)的式子進(jìn)行換元， 這樣便可使復(fù)雜的不等式得以簡化，以構(gòu)造出合適的 函數(shù)模型.

例4

證明：

首先根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將 1 n 替換為變量 x ，以簡化不等式；然后將化簡后的不等式構(gòu)造成函數(shù) 式，在定義域 （0，1） 內(nèi)探討函數(shù)的最小值，即可通過證 明函數(shù)的最小值大于 0 ，證明不等式成立.

三、通過放縮構(gòu)造函數(shù)

有時(shí)不等式左右兩邊的式子沒有直接聯(lián)系，我們 很難證明不等式.此時(shí)，不妨將不等式左右兩邊的式子 進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，可根據(jù)重要不等式 ln x ≤ x - 1 、 e x ≥ x + 1 、a + b ≥ 2 ab （a > 0，b > 0） 等進(jìn)行放縮，也可 將不等式與某個(gè)函數(shù)關(guān)聯(lián)起來進(jìn)行放縮.再構(gòu)造出函 數(shù)模型，通過求函數(shù)的值域，進(jìn)而運(yùn)用不等式的傳遞 性證明不等式成立.

例5

證明：

在證明第二個(gè)問題中的不等式時(shí)，需借助第一個(gè) 問題中的結(jié)論，將要證明的不等式進(jìn)行放縮，并構(gòu)造 函數(shù) h（x） = ln x - x + 1 以及 g（x） = x 2 - x + 2 - 2 sin x ，使 問題轉(zhuǎn)化為證明 f （x） < h（x） < g（x） ，利用導(dǎo)數(shù)法分別 求得兩個(gè)函數(shù)的最值，即可證明不等式成立.

根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，如作差、換元、放縮，從而構(gòu)造出不同的函數(shù)模型，即可將不等式問題轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)最值問題來求解，這樣便達(dá)到了化難為易，化繁為簡的效果.

（作者單位：江蘇省泗洪姜堰高級中學(xué)）