覃啟藝

(廣州市白云區(qū)華新學(xué)校,廣東 廣州 510440)

1 考題呈現(xiàn)

(2022 年廣州市中考數(shù)學(xué)第 25 題) 如圖1,在菱形ABCD中,∠BAD=120°時(shí),AB=6,連接BD.

圖1 2022年廣州市中考數(shù)學(xué)第25題圖

(1)求BD的長(zhǎng);

①當(dāng)CE⊥AB時(shí),求四邊形ABEF的面積.

2 思路歷程

3 方法探究

圖2 思路1解析圖

圖3 思路2例題圖

如圖3,分別過(guò)點(diǎn)C、E、F作BA或其延長(zhǎng)線的垂線,垂足分別為H、M、N,再過(guò)點(diǎn)F、E分別做CH的垂線,垂足為G、Y,則四邊形FNHG為矩形.

代入計(jì)算得:

≥3+9=12

以BD為邊作等邊△DBP(如圖4),在DB上找點(diǎn)G,使DG=BE,連接GP,CG,易得CG=CE.

圖4 思路3解析題圖

圖5 思路2解析題圖 圖6 思路2擴(kuò)展圖

∴K為定點(diǎn),∠HCK=∠ECB為定角,∴點(diǎn)H的軌跡為線段.

連接DK,易證∠CKD=60°,∠CDK=30°,DK⊥DA,且DK⊥KH,

∴KH∥AD.

∴當(dāng)F、C、H共線且CF⊥AD時(shí),CH+CF最小.下面只需求出CH+CF的最小值即可.

思路4利用余弦定理

在△CDF和△CBE中分別用余弦定理得:

CF2=DF2+CD2-2CD·DFcos60°=x2+36-6x=(x-3)2+27,

CE2=BE2+BC2-2BE·BCcos30°=3x2+36-18x=3(x-3)2+9,

4 考點(diǎn)分析

本題可能涉及到的考點(diǎn)主要有:

幾何動(dòng)態(tài):點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)變化,導(dǎo)致點(diǎn)F的變化,而相應(yīng)的CE和CF的長(zhǎng)度也發(fā)生變化.找準(zhǔn)它們的變化規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

幾何最值:從形式上看,似乎是屬于“胡不歸模型”或者“阿氏圓模型”,如果套用這兩個(gè)模型,就會(huì)誤入雷區(qū).它其實(shí)是一個(gè)拼接模型,拼接后應(yīng)用“兩點(diǎn)之間,線段最短”或者“垂線段最短”.

幾何變換:在構(gòu)造的過(guò)程中,對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換是初中數(shù)學(xué)常考的考點(diǎn),但利用相似變換去構(gòu)造更加凸顯解答此題的靈活性.作為部分?jǐn)?shù)學(xué)較好的精英學(xué)生,研究此種變換恰好可以彌補(bǔ)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)空缺.

三角函數(shù):三角函數(shù)是解決三角幾何問(wèn)題的常用方法.特別是在特殊的直角三角形中,記住常用的特殊三角函數(shù)值,活用三角函數(shù)的知識(shí),在解三角幾何問(wèn)題時(shí)有特殊的作用.

5 感悟與啟示

中考要求學(xué)生掌握各方面的能力.從 2022 年廣州中考數(shù)學(xué) 25 題中我們可以看出,廣州中考非常重視對(duì)學(xué)生抽象能力、空間想象能力、運(yùn)算能力和邏輯思維能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

平時(shí)教學(xué)要重基礎(chǔ).基礎(chǔ)知識(shí)是學(xué)生分?jǐn)?shù)的生命線,我們一定要教育學(xué)生牢牢地打好基礎(chǔ),避免在簡(jiǎn)單的問(wèn)題中出錯(cuò).

考前復(fù)習(xí)要提能力.我們不難發(fā)現(xiàn),大多學(xué)生在處理簡(jiǎn)單的幾何題、運(yùn)算題時(shí)毫無(wú)壓力,而面對(duì)一些較難的綜合題時(shí)便顯得力不從心.問(wèn)題在哪?他們經(jīng)常是對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題反復(fù)練習(xí),而在難題上,經(jīng)常是退卻和自我否定的.因此,我們要告誡學(xué)生,提升自己綜合能力的關(guān)鍵就是要認(rèn)真細(xì)心、持之以恒地把難題做好做對(duì),并在此基礎(chǔ)上多吸收、多歸納、多反思.

學(xué)有余力要提前學(xué).華南師范大學(xué)教授吳康老師提到:“高中的知識(shí)如余弦定理等在中考中可以直接使用.我們應(yīng)該鼓勵(lì)平時(shí)學(xué)有余力的精英同學(xué),不應(yīng)局限于初中的知識(shí),還可以廣泛涉獵更多更廣的內(nèi)容”.讓學(xué)生主動(dòng)思考,積極探索,這樣就能站在一個(gè)相對(duì)的高度去看待問(wèn)題,這其實(shí)就是一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.