施仁青

［摘? 要］ 知識結構化能有效提升學生的認知品質，讓學生在簡約性中識記、存儲、檢索知識，提高對知識、方法與思想的認識，促進正遷移能力的形成. 文章從知識結構的理論基礎出發(fā)，分別從以下幾方面談一談優(yōu)化高中數學知識結構的措施：情境類比，建構概念；著眼全局，優(yōu)化設計；縱橫聯系，促進融合；變式訓練，融會貫通.

［關鍵詞］ 知識結構；教學措施；變式訓練

知識結構是指學習者為了達到認知需求，按照一定的比例關系或組合方式將所學內容建構成動態(tài)、開放的知識架構. 數學知識結構一般有寶塔型、復合型、幕簾型等. 每一個學生因個體差異，在學習過程中會按照自身對知識理解的廣度與深度組建成符合自身思維特點且具有一定規(guī)律的知識結構.

理論基礎

從高中數學內容出發(fā)，其結構主要包含概念、命題、思想與方法等，學生在知識結構的建構上一般遵循以下過程（如圖1所示）.

從知識體系的整體功能出發(fā)，將知識部分與結構部分的功能聯合在一起，挖掘出各個結構潛在的因素，通過協調能產生整體功能大于組成要素之和的效果. 充分挖掘概念內涵、數學思想方法與命題等，是增強整體功能的重要手段.

優(yōu)化知識結構的措施

1. 情境類比，建構概念

新知的建構需經歷從個體到整體、從特殊到一般的類比過程. 尤其是概念教學，應注重其來龍去脈的整理，讓學生感知知識的產生和發(fā)展順理成章. 只有弄清楚概念的內涵與外延，才能從根本上理解概念的本質，為建構良好的知識結構夯實基礎.

案例1 “平均變化率”的概念教學.

平均變化率的概念教學在高中數學中占有重要地位，目標設定時可用問題情境引導學生進行自主類比歸納.

情境1 在意大利格羅塞托空軍基地的飛機場跑道上，戰(zhàn)斗機“颶風2000”與跑車“法拉利2003”上演了一場“巔峰對決”——誰更快. 已知戰(zhàn)斗機“颶風2000”與跑車“法拉利2003”的最高時速分別為2450 km和369 km，若兩者同時奔跑，誰能獲勝？（借助視頻或動畫演示，讓學生產生直觀感知）

問題1：如圖2所示，此為兩者的位移圖象，當s∈［0，600］時，哪一段圖象更陡峭？

問題2：量化圖象陡峭程度的方法是什么？（割線斜率）

問題3：若同時奔跑600 m的路程，跑車“法拉利2003”用時更少一些，由此可判斷在這場“巔峰對決”中，戰(zhàn)斗機“颶風2000”與跑車“法拉利2003”誰更快？該如何量化這場“巔峰對決”中的快慢？（位移與時間之比）

情境2 在2022年，某市三天的最高氣溫如下（見表1）：

問題1：將2022年3月18日開始的最高氣溫整理成圖3，其中哪一段圖象更陡峭？

問題2：該怎么量化圖中陡峭的程度？

問題3：哪個時間段內溫度變化最大？

在上述兩個情境問題中，位移s為時間t的函數，也就是s=s（t）；溫度T為時間t的函數，也就是T=T（t）. 類比這兩個情境問題，一般函數y=f（x）的函數值在某個區(qū)間內的陡峭程度該如何刻畫呢？

如圖5所示，此為平均變化率的探究過程.

此處，教師若照本宣科地將平均變化率的概念直接傳給學生，學生只能進行機械式記憶，因缺乏對情境的類比、歸納與概括過程，學生沒有親歷從特殊到一般的思維變化，就無法從根本上理解速度與溫度變化的快慢與大小，更談不上揭示平均變化率的本質.

遵循學生認知發(fā)展的基本規(guī)律，結合教學內容科學設計教學程序，不僅能讓學生親歷知識發(fā)生和發(fā)展的過程，體驗克服困難的成就感，還能將所獲得的概念組裝到原有的認知結構中去，形成完整的知識體系.

2. 著眼全局，優(yōu)化設計

優(yōu)化知識結構的目的在于最大化地培養(yǎng)學生的能力，因此以“能力立意”為宗旨的教學模式是促進知識結構化的基礎. 然而，能力的發(fā)展并不像知識點的處理那樣容易落實，這就需要教師著眼全局，從宏觀、本質的角度來優(yōu)化教學設計，幫助學生更好地建構知識結構.

宏觀是指從學科的整體視角出發(fā)，站到一定的高度對知識進行宏觀梳理，一般以核心知識為主線，從方法與思想等維度對教學內容進行整理，讓學生明確知識間的邏輯關系，加強思想方法的融合，達成知識結構化的策略［2］.

從某種意義上來說，知識結構化是促進學生發(fā)展數學能力的基礎. 從全局來看，高中前兩年的教學以新知教學為主，教學重點在于對知識點的理解與應用，在此過程中，學生的知識儲備量迅速增加，但所獲得的知識如同雜亂的倉庫一樣，毫無章序可言. 在這種背景下，當要提取某個知識點或遇到綜合性的問題時，則會處于慌亂狀態(tài).

若在新知建構時就從全局出發(fā)，將知識進行結構化的整理，則能讓“知識庫”變得井井有條，應用起來得心應手. 如何建立知識間的聯系，讓各個知識點有秩序、有層次地排列起來呢？這就需要教師在教學設計時多加琢磨.

一般從“一條線索與三個維度”出發(fā)進行思考，“一條線索”指核心知識，包括概念、法則、公式、定理等；“三個維度”分別指知識、知識所承載的數學思想、由知識形成的方法. 一旦方向明確，那么教學設計則有章可循.

案例2 “橢圓的第二定義”的教學.

橢圓的兩個定義是解析幾何的基礎，單從定義本身來看，橢圓的第一定義與第二定義并沒有明顯的聯系，這是不少教師在講授橢圓第二定義時直接呈現它的主要原因. 開門見山地呈現定義的教學方法對于高中階段的學生而言也無可厚非，但從天而降的定義到底表達了什么？它從何而來？這是學生的困惑之處.

為了讓學生從根本上掌握這個知識點，教師可從全局出發(fā)，站在宏觀的角度進行教學設計，讓學生感知橢圓的第二定義其實與第一定義有著重要聯系，是第一定義演化的結果.

（1）定義演化.

（2）導出距離之比.

（3）獲取幾何意義.

（4）逆命題的探索.

此教學設計以橢圓的第一定義為出發(fā)點，帶領學生通過化簡與變形導出第二定義. 整個教學流程和諧、自然，不僅讓學生明確感到了橢圓兩個定義間的關系，還從全局的角度優(yōu)化了教學設計，讓學生更加容易理解橢圓第二定義的本質，為學生建構良好的知識結構奠定了基礎.

從一個線索、三個維度來剖析該教學設計，顯然橢圓的第二定義是主線，而相關知識、方法與思想則為探究的各個維度. 學生親歷定義形成與發(fā)展的過程，不僅建構了長時記憶，還觸類旁通地理解了相關問題的本質，為接下來的知識應用夯實了基礎.

3. 縱橫聯系，促進融合

數學本身就是一門系統學科，每一個知識點都不是孤立存在的個體，加強子知識間的聯系是有序建構知識結構的關鍵，也是數學學習不可或缺的一部分. 基于數學學科存在數量關系與空間形式兩大模塊，它們從不同角度來刻畫數學事物的性質. 由此，中學數學分成了代數、三角、幾何（平面、立體、解析幾何）等主干，每個主干都由豐富的子知識組成，但這些子知識并非只依附于主干而存在，知識點間存在著互相印證的關系，在特定的條件下還可以互相轉化.

為了幫助學生更好地建構數學知識結構，教師應在日常教學中關注知識的縱橫聯系，讓學生充分感知知識間的互通功能，為靈活應用奠定基礎.

案例3 “三角最值”問題的例題教學.

本題若執(zhí)拗于三角這一部分知識去求解，雖然也能獲得結論，但過程冗長煩瑣，失誤率較高. 若從解析法著手去分析，則能化繁為簡，讓解題變得更加便捷.

由此可見，知識點間并非離散且隔絕的關系，而是存在著縱橫交錯的聯系. 學生在建構知識結構時，不僅要把握知識的深度，還要掌握其廣度. 只有將縱向結構的系統性與橫向結構的連貫性融合在一起，才能形成立體、完善的知識網絡，彰顯出數學體系的生命力與靈活性.

4. 變式訓練，融會貫通

當學生從多維度掌握了相應的知識后，則進入應用階段. 變式訓練是揭示知識本質的主要途徑，學生可從變式的“變”中發(fā)現知識“不變”的本質，而“不變”的本質又是探尋事物變化規(guī)律的關鍵條件. 因此，完善知識結構離不開變式訓練，這是促進知識達成融會貫通的必經之路.

變式題1：求證（tanα+1）（tanβ+1）=2.

變式題3：如圖8所示，將三個不同的矩形拼接在一起，已知a+c=1，d+e=1，b+f=1，求證拼接而成的圖形的面積必然小于1.

逐層遞進的變式題涉及三角、幾何、不等式等知識，學生在解題過程中能不斷完善知識結構，深化對知識縱橫發(fā)展的理解，達到融會貫通的解題能力，為形成良好的應變能力與創(chuàng)新意識奠定了基礎.

布魯納認為，理解學科知識結構是知識應用的基本要求. 教師的職責不僅僅是引導學生弄清楚知識的來龍去脈，更重要的是帶領學生從知識的寬度與廣度著手，在對其思想方法產生深刻理解的基礎上建構嚴謹的知識結構.

參考文獻：

［1］ 皮亞杰. 結構主義［M］. 倪連生，王琳，譯. 北京：商務印書館，2006.

［2］ 任長松． 探究式學習——學生知識的自主建構［M］． 北京：教育科學出版社，2005.