姜華

摘要：觀察《解決問題的策略——轉(zhuǎn)化》第2課時的教學，發(fā)現(xiàn)學生在變式練習中遭遇滑鐵盧。分析發(fā)現(xiàn)，鞏固應用環(huán)節(jié)的習題設計，存在簡單重復的問題。對此，提出用“發(fā)展”代替“重復”的改進思路。具體包括：以“熟”解“生”，夯實基礎；消除定式，深化理解；打通聯(lián)系，整體架構(gòu)。

關鍵詞：小學數(shù)學；習題設計；解決問題的策略

一、緣起：學生在變式練習中遭遇滑鐵盧

蘇教版小學數(shù)學五年級下冊《解決問題的策略——轉(zhuǎn)化》單元，主要教學內(nèi)容為用轉(zhuǎn)化的策略解決相關的問題。轉(zhuǎn)化是一種常見的、極其重要的策略。理解并掌握這一策略，對于學生形成分析問題、解決問題的能力以及發(fā)展數(shù)學思維能力，都具有非常重要的意義。轉(zhuǎn)化策略教學的難點在于引導學生針對具體問題尋找合適的轉(zhuǎn)化方法。

前段時間，學校舉行了青年教師賽課活動，其中一位教師執(zhí)教的就是《解決問題的策略——轉(zhuǎn)化》第2課時，教學內(nèi)容主要為例2（計算“1/2+1/4+1/8+1/16”）及相關習題。例2從數(shù)與運算的角度編排了連加式題的等值轉(zhuǎn)化，旨在先讓學生各自計算一組公比為12的等比數(shù)列的和，再引導他們借助直觀圖形將這組分數(shù)連加計算轉(zhuǎn)化為相對簡單的分數(shù)減法計算。該教師設計的教學流程是：先讓學生說說例題中的算式有什么特點，啟發(fā)學生從不同的角度表達發(fā)現(xiàn)；然后要求學生各自計算，再相機揭示數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化方法，即把正方形看作單位“1”；在鞏固應用環(huán)節(jié)，選用了3道習題（見下頁圖1），學生基本能基于例題學習時獲得的經(jīng)驗，繼續(xù)運用轉(zhuǎn)化策略，借助直觀圖形順利解決問題，甚至有學生能在看到題目后將答案脫口而出。學生似乎已經(jīng)掌握了轉(zhuǎn)化策略的應用過程和特點，形成了運用轉(zhuǎn)化策略解決問題的能力。

但后續(xù)的當堂檢測環(huán)節(jié)，學生在解答變式練習“1/3+1/6+1/12+1/24+1/48”時卻遭遇了滑鐵盧。學生的解題過程主要有兩種（見圖2、圖3）。從圖2中的解題過程可以看出，從例題到鞏固練習再到這里的變式，學生出現(xiàn)了思維定式，直接套用了例題中的轉(zhuǎn)化結(jié)論。圖3中，學生采用了將“異分母分數(shù)通分成同分母分數(shù)”的一般分數(shù)計算方法，過程相對比較復雜。對此類學生進行訪談得知：他們通過對比發(fā)現(xiàn)，該題中的分數(shù)與之前多道練習中的分數(shù)都不一樣，不再是“1/2，1/4，1/8，…”，感覺之前的方法不再適用，所以采用了最穩(wěn)妥的通分法。

全班37名學生中，能自覺將這個分數(shù)連加計算轉(zhuǎn)化為相對簡單的分數(shù)減法計算并計算正確的只有3人，約占總?cè)藬?shù)的8%，此前出現(xiàn)的令人欣喜的教學效果不復存在。這自然引起了我們的關注：問題到底出在哪里？

二、分析與改進：習題設計應該用“發(fā)展”代替“重復”

我們知道，習題是對例題的重要補充，能夠幫助學生鞏固基礎，助力學生將知識點串成線、織成面。而上述教師的習題設計，存在簡單重復的問題。

教材編排的例2中，4個分數(shù)的分母依次是2、2×2、2×2×2、2×2×2×2，后一個分數(shù)的分母總是前一個分數(shù)分母的2倍，也就是說后一個分數(shù)的值總是前一個分數(shù)的一半，這是一組公比為1/2的等比數(shù)列。圖1中的三道鞏固習題看似分層有序，實則思維層次比較接近：雖然分數(shù)的個數(shù)在例2的基礎上有所增加，但分數(shù)的形式、結(jié)構(gòu)都沿用了例2的。學生完全可以套用例2中獲得的方法解答三道題，這屬于機械模仿的重復訓練。學生的思維水平并沒有拾級而上，仍在淺層原地踏步。這使學生多次獲得了成功套用的體驗，例2中的轉(zhuǎn)化結(jié)論深入其心，導致思維定式。

鄭毓信教授指出：對同一類型的問題，教學中我們也應很好地體現(xiàn)這樣一個重要原則——“用發(fā)展代替重復”，也即應當特別重視認識的必要深化，而不應簡單地進行重復。［1］

筆者以為，這三道習題可以這樣改進：

1.請根據(jù)下頁圖4—圖6的涂色部分，分別列出三道分數(shù)加法算式，并計算結(jié)果。對比三個算式，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？（正方形表示“1”）

2.計算1/3+1/9+1/27+1/81。

3.我們通過畫圖研究了“1/2問題”“1/3問題”，你還想研究“1/（）問題”？通過研究，你發(fā)現(xiàn)了什么？

第1題，以“熟”解“生”。

本節(jié)課中，例題的教學讓學生初步感知可以借助直觀圖形將復雜的加法算式轉(zhuǎn)化為簡單的減法算式，這屬于對策略的淺層感知。于是，在此基礎上逆向設計三道“由圖到式”的形似習題。說其形似，是因為三幅圖的涂色部分所對應的加法算式，都是公比為12的等比數(shù)列的和（簡稱“1/2問題”），而且圖形的整體結(jié)構(gòu)相似，但與例題圖相比，同中有異，異中有深化。

圖4與例題的圖最為相似，只是分數(shù)個數(shù)的差別，旨在引導學生鞏固例題中初步獲得的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗：首項為1/2的這一列等比分數(shù)的和，都等于1減去加數(shù)中的最后一個單位分數(shù)；隨著分數(shù)的增多，結(jié)果越來越接近1。圖5與圖4及例題圖相比，首項不再從1/2出發(fā)，打破了之前的認知平衡，給了學生一個全新而有力的沖擊，使他們意識到這樣的轉(zhuǎn)化策略不是只能運用于求首項為1/2的一列等比分數(shù)的和，還可以做進一步拓展。轉(zhuǎn)化的策略是相通的，但是轉(zhuǎn)化后的算法是有變化的，不再用1來減，而是用2/3減去加數(shù)中的最后一個單位分數(shù)。圖6的出現(xiàn)是為了引導學生進一步提煉“1/2問題”的轉(zhuǎn)化規(guī)律。

三張圖、三個算式，依托同一情境，有層次地呈現(xiàn)有變化的問題，旨在引導學生在例題學習的基礎上拾級而上。前一算式的熟悉、熟練為后一算式的解答儲備知識和經(jīng)驗，后一算式又會在前一算式的基礎上生長出新的變化，引發(fā)新的思考，從而幫助學生提升轉(zhuǎn)化策略的認知層次。

第2題，消除定式。

學生在第1題的解決中，已經(jīng)建立了“1/2問題”的解答模型，“1/3+1/9+1/27+1/81”的出現(xiàn)，旨在消除“1/2問題”的思維定式，向更廣、更深處延伸。由于“1/2問題”的解答模型的影響，多數(shù)學生看到第2題的第一反應就是轉(zhuǎn)化成“2/3－1/81”。在用常見的通分方法驗證后，發(fā)現(xiàn)這樣轉(zhuǎn)化的結(jié)果并不正確。此時，學生自然會產(chǎn)生疑惑，想到用畫圖來驗證。在初次畫圖時，幾乎所有的學生都沿用了“1/2問題”中的圖形結(jié)構(gòu)（見圖7），發(fā)現(xiàn)1/3+1/9+1/27+1/81應轉(zhuǎn)化成2/3－2/81－1/27－1/9，所以2/3－1/81的轉(zhuǎn)化結(jié)果是錯誤的。此時依圖而來的轉(zhuǎn)化，并沒有讓問題的解決得到簡化。不成功的轉(zhuǎn)化經(jīng)歷，迫使學生回到起點重新去觀察這一組分數(shù)的特點，從而發(fā)現(xiàn)這是一類新的問題（簡稱“1/3問題”），需要進一步探究適用于其的畫圖方法（見圖8），并在此基礎上探尋有別于“1/2問題”的轉(zhuǎn)化過程。

由基礎的“1/2問題”延伸到變式的“1/3問題”，學生把畫圖這一方法用到了深處、實處。他們在畫圖中對比，在畫圖中突破，在一次次看似失敗的經(jīng)歷中，數(shù)學思維卻在向縱深拓展。學生通過類比、探究，不僅明晰了不能機械模仿的道理，也在多變的現(xiàn)象中完善了認知結(jié)構(gòu)，達成了對策略的深度理解。

第3題，打通聯(lián)系。

從形似習題到變式習題，學生打開了思維的閘門，跳出了教材的局限，不僅畫圖研究了“1/2問題”，還拓展研究了“1/3問題”，學生的視野更廣闊了。此時，大部分學生對“1/（? ）問題”的研究印象是“各有各的轉(zhuǎn)化策略”，彼此之間是割裂的。第3題，意在給學生一個更廣闊的研究空間，從一道題的研究走向一系列問題的研究，打通學生對“1/（? ）問題”初步形成的轉(zhuǎn)化策略的“隔斷墻”。通過研究，學生自然會發(fā)現(xiàn)：當a為大于等于2的自然數(shù)時，求關于幾分之一的等比數(shù)列的和是有通法的，也就是有相通的轉(zhuǎn)化策略的，即1a+1a2+1a3+…+1an=1-1an÷（a-1）。當然，實際教學中有時不會這么深入，不需要學生得到這一公式。

這凸顯了知識的結(jié)構(gòu)化與一致性，也讓轉(zhuǎn)化的策略得到了充分的延展。

參考文獻：

［1］ 鄭毓信.數(shù)學深度教學的理論與實踐［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020：120.