■華中科技大學(xué)附屬中學(xué) 許 文

將物體以一定的初速度拋出,物體只在重力(或恒力)作用下的運(yùn)動(dòng)稱為拋體運(yùn)動(dòng),拋體運(yùn)動(dòng)是一種典型的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。拋體運(yùn)動(dòng)可分為平拋(類平拋)運(yùn)動(dòng)與斜拋運(yùn)動(dòng)。求解拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題需要用到運(yùn)動(dòng)的合成與分解的思想方法,具備建構(gòu)物理模型的能力,空間想象能力,應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問(wèn)題的能力,以及定性分析與定量研究相結(jié)合的分析能力等。下面梳理拋體運(yùn)動(dòng)的常見考點(diǎn),預(yù)測(cè)2023年高考對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的考查方向,供同學(xué)們參考。

一、拋體運(yùn)動(dòng)的分類與研究方法

二、拋體運(yùn)動(dòng)考點(diǎn)例析

1.平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。

設(shè)做平拋運(yùn)動(dòng)物體的水平初速度大小為v0,下落高度為h,重力加速度為g,其基本規(guī)律如表1所示。

表1

例1(2022年高考廣東卷)如圖1所示,在豎直平面內(nèi),截面為三角形的小積木懸掛在離地足夠高處,一玩具槍的槍口與小積木上P點(diǎn)等高且相距為L(zhǎng)。當(dāng)玩具子彈以水平速度v從槍口向P點(diǎn)射出時(shí),小積木恰好由靜止釋放,子彈從射出至擊中積木所用時(shí)間為t。不計(jì)空氣阻力。下列關(guān)于子彈的說(shuō)法中正確的是( )。

圖1

A.將擊中P點(diǎn),

B.將擊中P點(diǎn),

C.將擊中P點(diǎn)上方,

D.將擊中P點(diǎn)下方,

解析：玩具槍的槍口與P點(diǎn)等高,玩具子彈和小積木在豎直方向上均做自由落體運(yùn)動(dòng),當(dāng)子彈擊中積木時(shí),子彈和積木的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同,均為t,根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得,子彈和積木的下落高度均為,因此子彈將擊中P點(diǎn)。根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得L=vt,因此子彈從射出至擊中積木所用的時(shí)間t=。

答案：B

點(diǎn)評(píng):平拋運(yùn)動(dòng)可以看成水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng),處理平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的方法就是沿水平和豎直兩個(gè)方向進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的分解,把曲線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng),再根據(jù)直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律列式求解。本題中玩具子彈從槍口射出至擊中積木的過(guò)程中做平拋運(yùn)動(dòng),子彈在水平方向上的位移等于L,根據(jù)勻速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律得L=vt,子彈在豎直方向上的位移;積木由靜止釋放后做自由落體運(yùn)動(dòng),其位移等于子彈在豎直方向上的位移h。

2.平拋運(yùn)動(dòng)的約束。

幾種常見的有約束的平拋運(yùn)動(dòng)類型示例如表2所示。

表2

例2如圖2所示,科考隊(duì)員站在半徑R=10 m 的半圓形隕石坑(直徑水平)邊,沿水平方向向坑中拋出一石子(視為質(zhì)點(diǎn)),連接石子在坑中的落點(diǎn)P與圓心O,OP連線與水平方向間的夾角θ=37°。已知石子的拋出點(diǎn)在半圓形隕石坑左端的正上方,且到半圓形隕石坑左端的高度h=1.2 m。取重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,不計(jì)空氣阻力。石子拋出時(shí)的速度大小為( )。

圖2

A.9 m/s B.12 m/s

C.15 m/s D.18 m/s

解析：石子在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng),根據(jù)幾何關(guān)系得石子的下落高度H=h+Rsinθ,根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得,解得t=1.2 s。石子在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng),根據(jù)幾何關(guān)系得石子的水平射程x=R+Rcosθ,根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得x=v0t,解得v0=15 m/s。

答案：C

點(diǎn)評(píng):求解有約束的平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,需要靈活運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的位移和速度分解方法,結(jié)合約束面(斜面、圓弧面等)的特點(diǎn),找出相應(yīng)的幾何關(guān)系。找出平拋運(yùn)動(dòng)滿足的幾何關(guān)系這一重要的隱含條件是問(wèn)題得以順利求解的前提。

3.平拋運(yùn)動(dòng)的推論。

(1)做平拋(或類平拋)運(yùn)動(dòng)的物體任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線一定通過(guò)此時(shí)水平位移的中點(diǎn),如圖3所示,A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的水平位移滿足。

圖3

(2)設(shè)做平拋(或類平拋)運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻任意位置處的速度方向與水平方向間的夾角為α,位移方向與水平方向間的夾角為θ,則tanα=2tanθ。

例3如圖4所示,半徑為R的半球形碗固定在水平面上,碗口水平,AB為直徑,O點(diǎn)為球心。將一彈性小球(可視為質(zhì)點(diǎn))從AO連線上的某點(diǎn)C沿CO連線方向以某初速度拋出,經(jīng)過(guò)時(shí)間(g為重力加速度)小球與碗內(nèi)壁第一次碰撞后恰好返回C點(diǎn)。假設(shè)小球與碗內(nèi)壁碰撞前后瞬間小球的切向速度不變,法向速度等大反向。不計(jì)空氣阻力,則C、O兩點(diǎn)間的距離為( )。

圖4

解析：小球從C點(diǎn)以某初速度水平向右拋出,要使小球能反彈回C點(diǎn),小球必須垂直打在碗內(nèi)壁上。如圖5所示,設(shè)碰撞點(diǎn)為D,連接OD,即為小球做平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡過(guò)D點(diǎn)的切線。過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E點(diǎn),則O點(diǎn)為小球水平位移的中點(diǎn),根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得,根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的推論得xCO=xOE,在Rt△ODE中有R2,解得。

圖5

答案：C

例4跳臺(tái)滑雪是冬奧會(huì)中極具觀賞性的項(xiàng)目之一。如圖6所示,一滑雪坡道由上斜坡A1B、圓弧面BC、豎直臺(tái)階CD和傾角為θ的下斜坡DE連接而成,且圓弧面末端C處切線水平。某運(yùn)動(dòng)員第一次從上斜坡的A1點(diǎn)由靜止滑下通過(guò)C點(diǎn)后飛落到下斜坡DE上,第二次從上斜坡的A2點(diǎn)由靜止滑下通過(guò)C點(diǎn)后也飛落到下斜坡DE上。設(shè)該運(yùn)動(dòng)員兩次與下斜坡DE接觸時(shí)速度方向與水平方向間的夾角分別為β1和β2,不計(jì)空氣阻力和坡道的摩擦力,則( )。

圖6

A.β1＞β2

B.β1＜β2

C.β1=β2

D.無(wú)法確定β1和β2的大小關(guān)系

解析：連接C點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)員第一次在下斜坡DE上的落點(diǎn),如圖7所示。根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的推論得tanβ1=2tanα1,同理得tanβ2=2tanα2,又有α1＜α2,故β1＜β2。

圖7

答案：B

點(diǎn)評(píng):求解有斜面約束的平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,需要充分運(yùn)用斜面傾角,找出斜面傾角與位移偏向角、速度偏向角的關(guān)系;求解有曲面約束的平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,靈活應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)推論可以達(dá)到快速解題的目的。

4.斜拋運(yùn)動(dòng)的分析方法。

斜上拋運(yùn)動(dòng)從拋出點(diǎn)到最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可逆向看成平拋運(yùn)動(dòng),分析完整的斜上拋運(yùn)動(dòng)需要根據(jù)對(duì)稱性處理。

例5(2022年高考山東卷)如圖8所示,某同學(xué)將離地1.25 m 的網(wǎng)球以13 m/s的速度斜向上擊出,擊球點(diǎn)到豎直墻壁的距離為4.8 m。當(dāng)網(wǎng)球的豎直分速度為零時(shí),擊中墻壁上離地高度為8.45 m 的P點(diǎn)。網(wǎng)球與墻壁碰撞后,垂直于墻面的速度分量大小變?yōu)榕銮暗?.75倍,平行于墻面的速度分量大小不變。取重力加速度g=10 m/s2,網(wǎng)球碰墻后的速度大小v和著地點(diǎn)到墻壁的距離d分別為( )。

圖8

A.v=5 m/s B.

C.d=3.6 m D.d=3.9 m

解析：網(wǎng)球從被擊出到擊中P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可逆向看成平拋運(yùn)動(dòng),根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得,網(wǎng)球被擊出時(shí)沿豎直方向的初速度大小,沿水平方向的初速度大小,其中H=8.45 m,h=1.25 m,v0=13 m/s,解得v0y=12 m/s,v0x=5 m/s。網(wǎng)球被擊出時(shí)與P點(diǎn)間的水平距離x0=v0xt1,其中,解得x0=6 m。如圖9所示,設(shè)網(wǎng)球的水平位移x0與墻面間的夾角為θ,根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)得,其中x=4.8 m,則sinθ=0.8,即θ=53°。網(wǎng)球擊中P點(diǎn)時(shí)平行于墻面的速度分量v1=v0xcosθ=3 m/s,垂直于墻面的速度分量v2=v0xsinθ=4m/s。網(wǎng)球碰墻后垂直于墻面的速度分量v2'=0.75v2=3 m/s,平行于墻面的速度分量v1'=v1=3 m/s,故網(wǎng)球碰墻后的速度大小,選項(xiàng)A 錯(cuò)誤,B正確。網(wǎng)球著地點(diǎn)到墻壁的距離d=,選項(xiàng)C錯(cuò)誤,D 正確。

圖9

答案：BD

點(diǎn)評(píng):將斜上拋運(yùn)動(dòng)的初速度沿水平方向與豎直方向分解,斜上拋運(yùn)動(dòng)可視為水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)與豎直上拋運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。斜上拋運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)時(shí)的速度沿水平方向,通過(guò)逆向思維可將斜上拋運(yùn)動(dòng)從拋出點(diǎn)到最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)處理為平拋運(yùn)動(dòng)研究,從而降低解題的難度。注意:本題中網(wǎng)球的運(yùn)動(dòng)是三維空間內(nèi)的有約束斜拋運(yùn)動(dòng),找出空間幾何關(guān)系是正確求解的關(guān)鍵。

總之,高考對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的考查以平拋運(yùn)動(dòng)為主,兼顧斜拋運(yùn)動(dòng),求解這類問(wèn)題時(shí)需要從拋體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)特征、能量轉(zhuǎn)化、分解方法、約束類型、臨界極值等角度出發(fā)全面考慮。同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)備考的過(guò)程中要重點(diǎn)掌握拋體運(yùn)動(dòng)的研究方法與基本規(guī)律,構(gòu)建問(wèn)題情景,靈活運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)分析物理問(wèn)題。

1.打乒乓球是一種大家喜聞樂見的體育運(yùn)動(dòng),它對(duì)場(chǎng)地要求低且容易上手。某同學(xué)疫情期間在家鍛煉時(shí),對(duì)著墻壁練習(xí)打乒乓球,球拍每次擊球后,球都從同一位置斜向上飛出,其中有兩次球在不同高度分別垂直撞在豎直墻壁上。不計(jì)空氣阻力,則這兩次球從飛出到撞擊墻壁前( )。

A.飛出時(shí)的速度大小可能相等

B.飛出時(shí)的速度豎直分量可能相等

C.在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能相等

D.撞擊墻壁時(shí)的速度可能相等

2.如圖10所示,A、B兩球在地面O點(diǎn)上方的同一豎直線上的不同位置,A、B兩球間的距離h=5 m,分別給兩球水平向右的初速度,使兩球做平拋運(yùn)動(dòng),結(jié)果兩球的運(yùn)動(dòng)軌跡相交于C點(diǎn),OC連線與豎直方向間的夾角θ=53°,A、B兩球的初速度大小分別為v1=3 m/s,v2=5 m/s,已知sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,取重力加速度g=10 m/s2,不計(jì)空氣阻力。設(shè)A、B兩球從拋出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用的時(shí)間分別為t1和t2,A、B兩球拋出時(shí)離地面的高度分別為h1和h2,則( )。

圖10

A.t2=1.25 s

B.t2=0.75 s,

C.t2=1.25 s,

D.t2=0.75 s,

3.如圖11所示,在足球比賽的一次罰點(diǎn)球中,主罰運(yùn)動(dòng)員在球門前罰球點(diǎn)將球打入球門右上角,球沿水平方向入網(wǎng)。設(shè)球門寬為L(zhǎng),高為h,罰球點(diǎn)與球場(chǎng)底線中點(diǎn)相距為a。不計(jì)空氣阻力,則球的初速度方向與水平面間的夾角θ滿足( )。

圖11

4.(2022年6月浙江高考卷)如圖12所示,帶等量異種電荷的兩正對(duì)平行金屬板M、N間存在勻強(qiáng)電場(chǎng),板長(zhǎng)為L(zhǎng)(不考慮邊界效應(yīng))。t=0 時(shí)刻,M板中點(diǎn)處的粒子源發(fā)射兩個(gè)速度大小為v0的相同粒子,垂直于M板向右的粒子,到達(dá)N板時(shí)的速度大小為;平行于M板向下的粒子,剛好從N板下端射出。不計(jì)重力和粒子間的相互作用,則( )。

圖12

A.M板電勢(shì)高于N板電勢(shì)

B.兩個(gè)粒子的電勢(shì)能都增加

D.從N板下端射出的粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

5.某游戲裝置如圖13所示,安裝在豎直軌道AB上的彈射器可上下移動(dòng),能水平向右射出速度大小可調(diào)節(jié)的小彈丸。圓心為O的圓弧槽BCD上開有小孔P,彈丸落到小孔時(shí),其速度只有沿OP連線方向才能通過(guò)小孔,游戲過(guò)關(guān),則下列判斷中正確的是( )。

圖13

A.彈射器位于B點(diǎn)時(shí),只要彈丸射出時(shí)的速度合適就能過(guò)關(guān)

B.彈射器在軌道上的位置只要高于B點(diǎn),彈丸射出時(shí)的速度合適都能過(guò)關(guān)

C.彈射器在軌道上的位置只有一個(gè),且彈丸以某一速度射出才能過(guò)關(guān)

D.彈射器在軌道上的位置有兩個(gè),只要彈丸射出時(shí)的速度合適都能過(guò)關(guān)

參考答案：1.A 2.D 3.A 4.C 5.C