李欞澤，郭長安，郭俊波，王堃鵬，王向鵬，許 洋

（1.中國安能集團(tuán)第三工程局有限公司，四川成都 611130；2.中國地質(zhì)調(diào)查局地球物理調(diào)查中心，河北廊坊 065000；3.地球勘探與信息技術(shù)教育部重點實驗室（成都理工大學(xué)），四川成都 610059；4.四川省冶勘設(shè)計集團(tuán)有限公司，四川成都 610021）

0 引言

隨著國內(nèi)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，對于礦產(chǎn)資源的需求也與日俱增。以往對礦產(chǎn)資源的勘探與開發(fā)主要集中在淺層空間，為獲取更多的礦藏資源，亟需加大對深部礦產(chǎn)資源的探測（張競文和葉麗梅，2018；許逢明等，2022）。隨著地質(zhì)礦產(chǎn)勘查技術(shù)的不斷進(jìn)步，綜合物探技術(shù)已被廣泛應(yīng)用到地質(zhì)礦產(chǎn)、環(huán)境地質(zhì)等勘查工作中（常振宇，2022）。但由于資源埋藏深，地質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜、異常響應(yīng)信號弱、抗干擾能力不足等問題，對于地球物理勘查深部礦產(chǎn)資源的技術(shù)也面臨著更大的考驗（滕吉文，2006；馬振波等，2022）。

如今，通過觀測電磁場的變化情況來探測地下異常體的分布信息已經(jīng)成為常用的一種電磁探測技術(shù)，比如大地電磁法（Magnetotelluric method，MT）、航空電磁法（Z-axis tipper electromagnetic，ZTEM）和可控源電磁法（controlled-source electromagnetic methods，CSEM）。其中，可控源電磁法（CSEM）是利用人工布設(shè)場源發(fā)射電磁波信號，來探測地下地電結(jié)構(gòu)的一種電磁勘探方法，具有成本低、工作效率高、勘探深度大等優(yōu)點（Vallée et al.，2011；MacGregor and Tomlinson，2014）。CSEM 作為研究淺中層地質(zhì)構(gòu)造的主要地球物理方法之一，被廣泛應(yīng)用于礦產(chǎn)水文普查、地?zé)豳Y源開發(fā)、環(huán)境工程調(diào)查等領(lǐng)域。同時，不同于天然場源，可控源電磁法可以通過人為控制發(fā)射頻率，較好克服天然源信號弱的缺點，提高數(shù)據(jù)的信噪比。

近些年來，許多學(xué)者相繼對可控源電磁法探礦實例和地面典型模型的數(shù)值模擬進(jìn)行了相關(guān)研究。張繼鋒等（2009）基于有限單元法對典型模型進(jìn)行三維數(shù)值模擬，分析了其變化規(guī)律?？锖ｊ柕龋?012）對長江中下游成礦區(qū)開展了不同電磁法探測實驗，反演結(jié)果有效探明了控礦構(gòu)造界面，推斷了礦體的賦存位置，這對利用電磁法進(jìn)行地下找礦的實踐工作具有十分重要的意義。湯井田等（2014）針對傳統(tǒng)有限元數(shù)值模擬耗時慢、數(shù)據(jù)量大等問題，加入無限單元來取代人工邊緣條件，在相同計算精度下，提高了數(shù)值的計算速度。蘇文利等（2015）通過礦區(qū)實例，研究了可控源電磁法對深部礦體的探測，指出深部礦體空間定位技術(shù)對于深部礦藏資源的勘探與開發(fā)具有實質(zhì)性意義。林方麗等（2016）研究了綜合電磁法在礦區(qū)深部成礦機(jī)制中的應(yīng)用，進(jìn)一步驗證了可控源電磁法對地質(zhì)礦床的識別能力。崔中良等（2017）通過綜述各個物探方法的應(yīng)用特點及勘查實例，有效說明了物探在深部金屬礦產(chǎn)勘查中具有的獨特優(yōu)勢。同時，張林成等（2017）推導(dǎo)了水平電偶極子源的二次場邊值問題，實現(xiàn)了更加快速、高精度的CSEM 正演模擬。楊銳等（2019）利用可控源采集的數(shù)據(jù)得到阻抗信息，進(jìn)行了有限內(nèi)存擬牛頓三維反演，得到了可靠的三維電阻率模型。萬偉等（2019）對陸地可控源電磁法各場區(qū)數(shù)據(jù)探測效果展開了研究，結(jié)果表示近場區(qū)和遠(yuǎn)場區(qū)數(shù)據(jù)的組合有效提升了可控源電磁反演效果。圣安陳等（2020）基于有限內(nèi)存擬牛頓法反演算法，對可控源數(shù)據(jù)進(jìn)行三維反演計算，成功探明了地下三維電性構(gòu)造，圈定出了成礦區(qū)域。韓思旭等（2021）研究了地面頻率域可控源電磁法的多源聯(lián)合反演，發(fā)現(xiàn)不同源的組合方式可以改善地面反演效果。

以往研究已證明可控源電磁法對地下礦床的有效識別，但受限于地面勘探所能達(dá)到的深度和精度，難以較好地查明深部礦藏位置信息，存在著分辨率不足甚至無法識別異常等問題。本文利用礦區(qū)已有礦井，測量井中深部垂直磁場信息，采用交錯網(wǎng)格有限差分法實現(xiàn)了三維正演數(shù)值模擬，對比分析礦井相對異常體不同位置所帶來的異常響應(yīng)。采用有限內(nèi)存擬牛頓法（LBFGS）實現(xiàn)了快速三維反演，算例中加入的地面可控源三維反演也較好地說明了本文算法的正確性和井中深部探礦的必要性。為達(dá)到對地下礦體全方位（深部與淺層）同時識別的目的，結(jié)合礦井測點和地面測點正演數(shù)據(jù)實現(xiàn)三維聯(lián)合反演，為實際探礦工作提供了可行的方案。

1 CSEM正演理論

在大部分電磁法勘探工作中，選取的采集頻率都相對較低。對于大多數(shù)傳播介質(zhì)而言，位移電流的影響可以忽略不計。因此，本文含電性源的CSEM三維正演問題中，當(dāng)取時諧因子為e-iωt，頻率域的麥克斯韋方程組可以表示為（Li and Key，2007）：

式（1）～（2）中，Js是外加電性源的電流密度，A/m2；σ是電導(dǎo)率，S/m；μ0是真空磁導(dǎo)率，H/m；ω是角頻率，rad/s。

簡單代換（1）、（2）兩式，可以得到關(guān)于電場強(qiáng)度E的表達(dá)式：

對于CSEM 來說，考慮到Js是一個奇異點，會給三維數(shù)值模擬帶來困難。因此，引入一個背景參考模型σr，同樣滿足上述方程，通過采用總場減去背景場的方式，避免此項在三維離散方程中的影響，得到的二次場偏微分方程如下（Weiss and Constable，2006）：

其中背景場的計算參考Key（2009）Dipole方法，式（4）中σr為背景電導(dǎo)率，Er為背景電場，Es為二次場。

本文求解上式方程選取的方法是交錯網(wǎng)格有限差分法，基于Yee網(wǎng)格，將研究區(qū)域離散為長方體單元結(jié)構(gòu)，將磁場采樣點放在單元面中心點上，電場采樣點放在單元體棱邊中點位置，如圖1a所示。

圖1 網(wǎng)格剖分圖Fig.1 Grid division diagrams

進(jìn)一步將上式展開為以下分量形式：

式（8）中，?y'j=(Δyj-1-Δyj) 2，?z'k=(Δzk-1-Δzk) 2，另外兩個關(guān)于y分量和z分量有類似離散方式（楊波，2012）。邊界條件通過一維MT 解析解獲得，在離散長方體單元結(jié)構(gòu)的棱邊上寫出電場各個分量滿足的方程式，最終得到一個關(guān)于電場強(qiáng)度的正演方程：

式（9）中，K為差分系數(shù)矩陣，E為網(wǎng)格單元棱邊待求電場值，B為離散化的右端項，邊界值及場源有關(guān)的列向量。采用QMR 方法求解上式（Freund and Nachtigal，1991）。

本文的正演基于王堃鵬等（2021），無人機(jī)頻率域半航空電磁法三維反演，相關(guān)正確性驗證工作不再贅述。

2 反演理論

在地球物理三維電磁反演中，為了降低反演過程中存在的多解性問題，常常采用的方法是利用正則化方法來約束目標(biāo)函數(shù)的模型項，以此來獲得穩(wěn)定的最優(yōu)解，即由觀測數(shù)據(jù)和約束條件共同構(gòu)成的反演目標(biāo)函數(shù)。本文為了提高反演的敏感度，以對數(shù)的方式約束反演參數(shù)，讓所計算出來的參數(shù)結(jié)果都為正數(shù)。同時加入先驗?zāi)Ｐ?，使得模型穩(wěn)定在所設(shè)定的先驗?zāi)Ｐ透浇?。具體的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)如下（Egbert and Kelbert，2012）：

式（10）中：λ為正則化因子，C-1d為加權(quán)矩陣，C-1m為模型的約束矩陣，m0為先驗?zāi)Ｐ汀?/p>

進(jìn)一步求導(dǎo)可得到如下梯度表達(dá)式（Kelbert et al.，2014）：

這里給出靈敏度矩陣表達(dá)式：

其中d1，d2…dn，是不同的正演數(shù)據(jù)，Nd是觀測數(shù)據(jù)個數(shù)，Nm是模型參數(shù)個數(shù)。

可以得知，整個靈敏度矩陣需要進(jìn)行大量的正演計算，然而三維反演利用差分法近似計算靈敏度矩陣難以實現(xiàn)。本文所使用的反演方法是有限內(nèi)存擬牛頓法（LBFGS），上式中出現(xiàn)的靈敏度矩陣J并不直接求解，而是采用Rodi and Mackie（2001）和Newman et al.（2010）的一種巧妙的方法快速得到梯度，避開了靈敏度矩陣的計算。

將目標(biāo)函數(shù)擴(kuò)展到多元函數(shù)，表達(dá)為：

式（13）中[Hk]為海森矩陣，g(mk)為目標(biāo)函數(shù)梯度。

然而對于實際的三維反演工作來說，計算海森矩陣的逆十分困難，存儲空間要求巨大。因此數(shù)學(xué)家提出BFGS 方法，通過前幾次迭代的目標(biāo)函數(shù)逼近海森矩陣的逆，可以達(dá)到高效快速的優(yōu)點。本文中所使用的LBFGS 方法在BFGS 的基礎(chǔ)上，依據(jù)Byrd et al（.1996）給出的一種雙循環(huán)遞歸隱式直接求取[Hk]-1g(mk)，表現(xiàn)如下：

（5）Hkgk=r

有限內(nèi)存擬牛頓法（LBFGS）的思路在于對計算當(dāng)前迭代需要的海森矩陣逆，無需存儲[Hk]-1，采用前（3～20）次迭代目標(biāo)函數(shù)梯度逼近，節(jié)省大量的存儲空間，達(dá)到快速反演的效果（Nocedal et al.，2006）。LBFGS步驟如下：

步驟1：確定初始計算模型m0，設(shè)定相關(guān)反演參數(shù)（最大迭代次數(shù)和最小擬合差），以及正則化因子的參數(shù)；

步驟3：設(shè)定初始步長，進(jìn)行一維線性搜索尋找最佳迭代步長α，步長滿足wolfe條件。獲得迭代模型：

mk+1=mk+αpk

步驟4：驗證當(dāng)前模型迭代最小擬合差或最大迭代次數(shù)是否滿足反演參數(shù)設(shè)定，若滿足任一條件，則停止反演。反之，返回步驟2，繼續(xù)迭代。

3 井中垂直磁場響應(yīng)分析

本文的研究基于礦井深部垂直磁場信息，對地下異常體做正演響應(yīng)分析。如圖2所示，將長導(dǎo)線人工源布設(shè)在（0 m，-8100 m）的位置，長度1000 m，與x軸平行。地下異常體埋深500 m，大小為250 m×250 m×100 m。正演算例中分別選取10 Ω ?m，100 Ω ?m，1000 Ω ?m的異常體來分析不同電阻率值異常體所呈現(xiàn)的正演響應(yīng)。圖2中礦井1，2，3，4代表著相對于異常體不同井的位置。礦井1位于（0 m，0 m），礦井2位于（0 m，100 m），礦井3 位于（0 m，200 m），礦井4 位于（0 m，400 m）。井深700 m，正演垂直測點距離按照10 m 等距進(jìn)行測量。背景電阻率設(shè)置為200 Ω ?m，選擇350 Hz頻率下進(jìn)行對比分析。

圖2 井中可控源電磁法工區(qū)數(shù)據(jù)采集示意圖（礦井1，2，3，4）Fig.2 Schematic diagrams of data acquisition by the borehole controllable source electromagnetic method in the work area（boreholes 1， 2， 3 and 4）

圖3 所示為350 Hz 頻率下的不同參數(shù)井中正演響應(yīng)，3a 和3b 是均勻半空間條件下，BZ實虛部響應(yīng)隨著深度的變化情況。在地下無異常體的情況下，對于不同測點，實部和虛部的響應(yīng)曲線都表現(xiàn)得十分平滑。但對于地下存在異常體的情況下，相同電阻率模型正演響應(yīng)的實部與虛部均在深度500～600 m 出現(xiàn)異常波動，與實際真實模型的深度位置比較接近。其中礦井2 位置相較于其它礦井中采集的磁場信息所帶來的異常波動最為突出，說明垂直磁場BZ對于地下異常體邊界位置的識別更加靈敏。如圖4 所示，將井中正演數(shù)據(jù)與均勻半空間模型正演數(shù)據(jù)進(jìn)行實部與虛部的相對誤差計算。為了避免淺層地面測量數(shù)據(jù)所造成的影響，相對誤差的計算舍棄了前50 m 的數(shù)據(jù)，主要針對地下深部空間異常響應(yīng)的分析對比?？梢园l(fā)現(xiàn)，由于礦井1 測點位置位于異常體的中心點，即使異常體電阻率值發(fā)生了變化，整體相對誤差一直都趨于零。這是由于磁場受到異常體的影響，在其中心點位置磁場響應(yīng)較弱。另外，異常體電阻率值的改變同樣影響著異常響應(yīng)的強(qiáng)弱，所需探明礦體的電阻率值與正演所選用的背景電阻率越接近，異常響應(yīng)越弱。

圖3 不同電阻率異常體井中正演響應(yīng)圖Fig.3 Forward modeling response of abnormal bodies with different resistivity

圖4 不同電阻率異常體井中正演實部相對誤差和虛部相對誤差Fig.4 Real and imaginary relative errors of forward modeling in boreholes with different resistivity anomalies

4 反演算例

本節(jié)對不同深度的低阻體進(jìn)行反演試算，依據(jù)上述正演結(jié)果，設(shè)置地下低阻體電阻率為10 Ω ?m，并且將鉆井測點位置靠近異常體的邊界，以達(dá)到更好的反演結(jié)果。本文的反演算例選取的頻率為1000 Hz、600 Hz、350 Hz、200 Hz、100 Hz、25 Hz，對正演數(shù)據(jù)均加入3%的隨機(jī)誤差，實現(xiàn)了如下四種反演算例：

（1）基于地面測點正演數(shù)據(jù)，實現(xiàn)地面可控源三維反演；

（2）基于井中測點正演數(shù)據(jù)，實現(xiàn)井中可控源三維反演；

（3）將地面反演的最終迭代模型作為井中測點正演數(shù)據(jù)的反演初始模型，實現(xiàn)先地面后井中的可控源三維反演；

（4）結(jié)合地面測點正演數(shù)據(jù)和井中測點正演數(shù)據(jù)，放入同一個梯度函數(shù)，對均勻半空間初始模型進(jìn)行可控源三維反演。

圖5所示為兩個低阻體在不同深度的真實模型示意圖，背景電阻率設(shè)置為200 Ω ?m，低阻體均為10 Ω ?m。低阻體大小均為250 m × 250 m × 100 m，淺部低阻體埋深100 m，深部低阻體埋深500 m。模型網(wǎng)格中心區(qū)域x和y方向按照50 m大小進(jìn)行均勻剖分，共計29個網(wǎng)格。z方向在淺層做細(xì)分處理，降低電阻率的劇烈變化帶來的影響，提高反演精度。依照20 m的間隔距離剖分到700 m的深度，隨后依照倍數(shù)遞增，外延網(wǎng)格區(qū)域。地面測量的測點選擇在剖分網(wǎng)格中心位置，共計841個，井中測量測點由淺到深按照10 m的間距采樣，共計71個測點數(shù)。其中，井中測量所選取的礦井位置在（0 m，400 m）的位置，靠近深部低阻體右邊界中心區(qū)域。

圖5 反演算例真實模型切片圖Fig.5 Real model slice diagrams of inversion examples

首先開始第一個反演算例的計算，基于地面測點正演數(shù)據(jù)，對均勻半空間初始模型反演成像。經(jīng)過49 次迭代得到如圖6 的反演結(jié)果，反演結(jié)果與真實模型的對比可以看出，對于淺層低阻體的識別效果較好，低阻體中心區(qū)域電阻率的恢復(fù)比較接近真實模型，依照不同切片圖也能夠判斷出淺層地電模型的三維空間位置信息。但對于深度500 m 的低阻體識別就基本上沒有任何信息，無法對深部地電模型進(jìn)行位置判斷。結(jié)果表明LBFGS 反演算法對本文的三維CSEM 反演是正確的，但是地面測點數(shù)據(jù)有限于趨膚深度的影響，對較深的異常體識別太弱，這也為下一步井中測量的研究做了鋪墊。

圖6 地面測點數(shù)據(jù)反演結(jié)果（反演算例1）Fig.6 Inversion results of ground measurement point data （inversion example 1）

針對地面反演對深部空間識別較弱的問題，本文進(jìn)行了第二個反演算例的計算。礦井中垂直磁場分量按照10 m等距進(jìn)行采集，采集點共計71個。地下異常體真實模型同算例1，設(shè)置與地面測量同等參數(shù)，經(jīng)過107次迭代，得到如圖7反演結(jié)果。切片圖中直觀的看出深部低阻體的有效識別，而淺部異常體由于鉆井位置距離較遠(yuǎn)，即使埋藏深度較淺，探測效果依舊很差，這也是井中磁場數(shù)據(jù)反演識別的不足。相對于地面測量反演結(jié)果，井中磁場數(shù)據(jù)對于深部異常體的探測十分明顯，極大地提高了深部空間識別的分辨率，能夠?qū)崿F(xiàn)局部高精度的礦產(chǎn)勘探。

圖7 井中測點數(shù)據(jù)反演結(jié)果（反演算例2）Fig.7 Inversion results of borehole measuring point data （inversion example 2）

在以上研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)地面和井中反演都有著各自鮮明的優(yōu)勢和劣勢。因此，進(jìn)一步開展了算例3和算例4的反演計算，對地下不同深度的異常體探測進(jìn)行研究分析。算例3將地面測量數(shù)據(jù)最終反演迭代模型作為井中三維反演的初始模型，來增加對淺層地質(zhì)構(gòu)造信息的控制。經(jīng)過94次迭代，得到如圖8的反演結(jié)果。無論是淺層低阻體的識別，或是深部異常體的探測，都得到了一個較好的反演結(jié)果。異常響應(yīng)區(qū)域足夠集中，與真實模型位置較為吻合。算例4結(jié)合地面測點正演數(shù)據(jù)與井中測點正演數(shù)據(jù)，放入同一個梯度函數(shù)，對均勻半空間初始模型進(jìn)行三維反演。結(jié)果如圖9所示，經(jīng)過91迭代，依舊得到了一個顯著的反演效果，有效識別出了兩個低阻體的位置。以上的四個算例反演研究可以說明，對于CSEM三維反演，井中垂直磁場數(shù)據(jù)可以極大提高對深部空間探測的分辨率。同時，地面與井中的聯(lián)合反演可達(dá)到對地下不同深度異常體識別的目的。最后，圖10擬合差曲線圖顯示反演收斂明顯，迭代速度快，實現(xiàn)了快速的三維反演，說明了本文算法的可行性和高效性。

圖8 先地后井反演結(jié)果（反演算例3）Fig.8 Inversion results of ground first and then borehole （inversion example 3）

圖9 地井?dāng)?shù)據(jù)聯(lián)合反演結(jié)果（反演算例4）Fig.9 Joint inversion results of ground and borehole data （inversion example 4）

圖10 四個反演算例擬合差迭代曲線圖Fig.10 Four inversion examples fitting difference iterative curve graphs

5 結(jié)論

本文以深部空間礦產(chǎn)資源勘探為研究背景，通過采集礦井中垂直磁場數(shù)據(jù)來有效識別地下異常構(gòu)造的分布位置。針對不同礦井位置和不同電阻率值的地質(zhì)體，實現(xiàn)了有限差分三維正演響應(yīng)，認(rèn)識到井中垂直磁場數(shù)據(jù)的響應(yīng)特點。同時，對不同深度的低阻異常構(gòu)造開展三維反演數(shù)值模擬工作，進(jìn)一步了解到井中磁場數(shù)據(jù)的有效性，具體總結(jié)如下：

（1）地下異常體電阻率值與背景電阻率值的差異化越大，異常體的正演響應(yīng)特性更加明顯。

（2）井中磁場數(shù)據(jù)對異常體邊界的反映比較強(qiáng)烈，礦井位置越靠近邊界，響應(yīng)愈發(fā)突出。

（3）對于深部地層的探測識別，井中磁場數(shù)據(jù)的反演效果較好，獲得的地層信息更加豐富。

（4）地面數(shù)據(jù)和井中數(shù)據(jù)的三維聯(lián)合反演有效的提高了對不同深度異常構(gòu)造的探測分辨率。

本文基于井中深部垂直磁場的CSEM 三維正反演工作為深部開采礦藏資源提供了有效參考依據(jù)，彌補(bǔ)了可控源電磁法探礦對深部空間識別不足的缺陷。

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