胡瑞光，鐘文安，宋征宇，路坤鋒，潘 豪，邵夢晗，王昭磊

(1. 北京航天自動控制研究所，北京 100854； 2. 西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，西昌 615600； 3. 中國運載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

0 引 言

隨著運載火箭輕質(zhì)化發(fā)展，新一代運載火箭對箭體結(jié)構(gòu)的氣動承載能力提出更高的要求，需要將氣動載荷在飛行過程中控制在一定的范圍。

在運載效率提升方面，當(dāng)前迫切需要解決的是減小結(jié)構(gòu)質(zhì)量、降低結(jié)構(gòu)強度的需求與火箭大氣層內(nèi)飛行時可承受氣動過載有限、安全穩(wěn)定飛行的矛盾。提升運載能力要求降低結(jié)構(gòu)質(zhì)量和強度，這會帶來火箭承受氣動載荷與控制力矩相互作用而形成的彎矩能力的嚴(yán)重下降，給火箭大氣層內(nèi)的安全穩(wěn)定飛行帶來挑戰(zhàn)。為滿足運載效率提升的同時，避免火箭承受過載超過結(jié)構(gòu)強度要求，需要實施高效的風(fēng)場干擾減載控制。

因此，研究能夠在線進行氣動風(fēng)場擬合與預(yù)示、智能實時減載等關(guān)鍵技術(shù)，對運載火箭的安全性、可靠性具有十分重要的意義。

文獻[1]明確指出，目前國外很多運載火箭的制導(dǎo)系統(tǒng)將實時測量的風(fēng)場數(shù)據(jù)應(yīng)用在其制導(dǎo)算法里面，而不再使用基于月度平均風(fēng)場的離線風(fēng)修彈道設(shè)計，從而大幅度降低由于風(fēng)場精度不夠帶來的各種不確定性風(fēng)險。

為了實現(xiàn)在線實時減載，一般需要具備射前一小段時間的探空氣球?qū)崪y數(shù)據(jù)，然后將實測數(shù)據(jù)以插值風(fēng)表的形式裝載進制導(dǎo)計算機中；或者對實測數(shù)據(jù)進行低階多項式曲線擬合，并將擬合系數(shù)裝載進制導(dǎo)計算機中；實際飛行時，根據(jù)飛行高度進行查表或多項式計算即可得到實際風(fēng)場[2]。

1990年，“德爾塔”運載火箭對發(fā)射時刻2小時前的風(fēng)場進行曲線擬合，實現(xiàn)了基于在線實時風(fēng)場的減載制導(dǎo)[3]。具體地，“德爾塔”運載火箭采用最小二乘三階多項式對北向和東向風(fēng)速進行了擬合，并將擬合參數(shù)在發(fā)射前10分鐘裝載進制導(dǎo)計算機[4]。

我國風(fēng)場干擾減載技術(shù)的相關(guān)研究工作早在1995年就已經(jīng)成功應(yīng)用于運載亞洲二號衛(wèi)星和回聲一號衛(wèi)星的CZ-2E運載火箭上[5]。目前，我國的運載火箭大都使用彈道風(fēng)修正和攻角或加速度計主動控制的方法進行減載控制[6]。彈道風(fēng)修正是通過射前實測高空風(fēng)數(shù)據(jù)，對火箭飛行程序角進行離線修正，使火箭在預(yù)報風(fēng)場作用下飛行合成氣動攻角最小，從而降低火箭飛行氣動載荷。該方法原理簡單，較易實現(xiàn)，在風(fēng)場比較穩(wěn)定的情況，減載效果較好，目前已廣泛應(yīng)用于中國現(xiàn)役火箭[7]。但該方法實時性不強，對風(fēng)切變適應(yīng)能力較差，過于依賴射前預(yù)報風(fēng)精度，因此射前彈道風(fēng)修正后通常會留有一定的設(shè)計余量，用于包絡(luò)高空風(fēng)切變和預(yù)報風(fēng)場的不確定性，對風(fēng)載荷的實時不確定性抑制能力較差，導(dǎo)致火箭不能做到全天候發(fā)射。

綜上所述，建立實時風(fēng)場的精確模型對于未來運載火箭的風(fēng)場干擾減載控制很有幫助。同時，風(fēng)場數(shù)據(jù)的采集時刻距離發(fā)射時刻越近越好，這就要求風(fēng)場建模不但精度要高，而且建模速度要快，才能滿足實際工程需要。

風(fēng)場建模問題屬于典型的曲線擬合問題，最常用的方法有插值法、最小二乘法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等。文獻[8]采用4層BP網(wǎng)絡(luò)反演海面風(fēng)向，并根據(jù)經(jīng)驗公式確定隱含層節(jié)點數(shù)取值范圍，在大量訓(xùn)練數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，取得了較好效果。文獻[9]采用最小二乘法對艙壁溫度數(shù)據(jù)進行擬合，其溫度曲線較為光滑，最小二乘法使用階數(shù)也比較低。文獻[10]提出的基于三層BP網(wǎng)絡(luò)的滾轉(zhuǎn)角粗對準(zhǔn)模型可在任意失準(zhǔn)角范圍內(nèi)快速完成粗對準(zhǔn)，其適用角度廣泛性和快速性明顯優(yōu)于傳統(tǒng)方法；其中的隱層節(jié)點數(shù)也是根據(jù)經(jīng)驗選取。文獻[11]采用最小二乘法對高超聲速飛行器的升力系數(shù)、阻力系數(shù)和升阻比進行擬合，其數(shù)據(jù)點數(shù)為7。文獻[12]采用分段最小二乘多項式、三層BP網(wǎng)絡(luò)等方法對MEMS陀螺X軸、Y軸、Z軸數(shù)據(jù)進行擬合，試驗結(jié)果表明三層BP網(wǎng)絡(luò)的擬合效果明顯優(yōu)于最小二乘分段擬合方法，其中的隱層節(jié)點數(shù)也是根據(jù)經(jīng)驗選??；并明確指出，最小二乘分段擬合在分段間隔較小時，計算參數(shù)多，計算量大；分段間隔較大時，擬合精度較低，分段間隔處存在較大振蕩。

通過對上述文獻的綜合分析比較，可以看出，最小二乘多項式擬合適合于曲線光滑、數(shù)據(jù)點偏少的場景，對于較大數(shù)據(jù)量、曲線復(fù)雜的場景，BP網(wǎng)絡(luò)的擬合效果明顯優(yōu)于最小二乘多項式擬合及其分段處理形式。另外，BP網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點個數(shù)往往根據(jù)經(jīng)驗公式或?qū)嵺`經(jīng)驗確定。

運載火箭風(fēng)場實際曲線較為復(fù)雜。因此，針對運載火箭風(fēng)場擬合問題，本文設(shè)計了一種基于最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高精度風(fēng)場擬合方法，只使用一套框架即可完成風(fēng)速和風(fēng)向的擬合，并提出擬合網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點數(shù)的下確界公式。大量的試驗結(jié)果表明，最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合精度要遠高于最小二乘多項式擬合方法及其分段形式，同時驗證了下確界的相對合理性。

1 運載火箭風(fēng)場擬合模型

1.1 問題提出

考慮運載火箭飛行高度x，在高度x處的風(fēng)場為(ν,α)，其中ν為風(fēng)場速度，α為風(fēng)場朝向?？梢哉J為風(fēng)場速度和風(fēng)場朝向皆是飛行高度的函數(shù)

(1)

式中：θν和θα分別為對應(yīng)函數(shù)的參數(shù)。

圖1 運載火箭風(fēng)場高精度擬合流程Fig.1 Flow chart of the high-precision fitting for the wind field of launch vehicles

(2)

式中：D( )為一種誤差度量函數(shù)。

在式(1)中，風(fēng)場速度和朝向分別使用一套獨立的參數(shù)，也可以使用一套參數(shù)完成整個風(fēng)場的擬合。具體地，

(ν,α)=fn(x,θn)

(3)

則擬合問題可表示如下

(4)

1.2 飛行高度區(qū)間選擇

在實際飛行過程中，大風(fēng)區(qū)風(fēng)場往往對運載火箭的飛行安全具有較大影響，大風(fēng)區(qū)以下空域和以上空域的風(fēng)場影響較小,因此，只需要對運載火箭大風(fēng)區(qū)的風(fēng)場進行擬合即可[2]。

大風(fēng)區(qū)飛行高度一般為4～20 km，本文只對該飛行高度區(qū)間的風(fēng)場進行擬合。

1.3 最小二乘多項式擬合

對離散的數(shù)據(jù)進行擬合的目的是為實驗數(shù)據(jù)尋求到一條最佳擬合曲線，通過對曲線的相關(guān)特征或參數(shù)的分析研究，試圖找到蘊含在數(shù)據(jù)內(nèi)的規(guī)律[13]。從計算方法的角度看，曲線的擬合與函數(shù)插值法比較類似，擬合是尋求一條曲線，使其能與觀測數(shù)據(jù)“最靠近”。

最小二乘多項式擬合是曲線擬合的一種經(jīng)典方法，廣泛應(yīng)用于多個實際工程領(lǐng)域[14]。最小二乘準(zhǔn)則就是使所有離散點到曲線的距離平方和最小。最小二乘多項式擬合反應(yīng)了數(shù)據(jù)點的總的趨勢，消除了其局部波動，適用于雜亂無章的無序離散點擬合，最小二乘多項式擬合對于有序的離散點擬合效果不夠理想，其不可能使得每個點都反映線形趨勢關(guān)鍵變化[15]。

設(shè)已知n個數(shù)據(jù)點(xi,yi),i=1,2,…,n，則最小二乘多項式擬合的曲線為

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm

(5)

式中：m為多項式階數(shù)。一般地，m

在用最小二乘法估計參數(shù)時,要求觀測值yi的偏差的平方和為最小。即

(6)

式(6)的值為最小。

根據(jù)最小二乘法原理，式(6)對系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為0，可得

(7)

上式可表示成XA=Y，則A=X-1Y，可得到最小二乘多項式擬合曲線的系數(shù)值?？梢钥闯?，該方法具有堅實的理論基礎(chǔ)。在實際應(yīng)用中，根據(jù)求得的系數(shù)值，采用式(5)即可得到需要的擬合值。

1.4 最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合

以卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為代表的深度學(xué)習(xí)方法是近幾年人工智能領(lǐng)域的主流框架，在圖像處理、語音處理、機器博弈的領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[16-19]，并取得了突破性進展。

對于運載火箭風(fēng)場高精度擬合問題，雖然卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可能會取得很好的效果，但是卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含層級過多，相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)也過多。因此，本文采用傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對運載火箭風(fēng)場進行擬合。

單隱層BP網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用最為普遍，它包括輸入層、一個隱含層和輸出層。上下層之間實現(xiàn)全連接，而每層神經(jīng)元之間無連接。BP網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)可分為兩個過程:工作信號的正向傳播和誤差信號的反向傳播。

根據(jù)萬能逼近定理(Universal approximation theory, UAT)，如果隱層節(jié)點是可以根據(jù)需要自由設(shè)置的，那么用三層S狀的I/O特性的節(jié)點可以以任意精度逼近任何具有有限間斷點的函數(shù)。如果BP網(wǎng)絡(luò)的各節(jié)點選用非線性轉(zhuǎn)移函數(shù)，則對于任何相關(guān)問題從理論上都可以用三層前饋網(wǎng)絡(luò)來加以解決[20]。因此，本文使用三層BP網(wǎng)絡(luò)進行運載火箭風(fēng)場高精度擬合。

三層BP網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)形式為

y=f2(W2×f1(W1×x+b1)+b2)

(8)

式中：x為輸入向量；y為輸出向量；W1為第一層權(quán)重矩陣；b1為隱含層偏置向量；f1( )為隱含層傳遞函數(shù)；W2為第二層權(quán)重矩陣；b2為輸出層偏置向量；f2( )為輸出層傳遞函數(shù)。

三層BP網(wǎng)絡(luò)曲線擬合的過程是采用訓(xùn)練的方式得到權(quán)重矩陣和偏置向量。網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練一般采用梯度下降法和后向傳播的方式，使得損失函數(shù)最小，這里不再贅述。

對于用三層BP網(wǎng)絡(luò)擬合運載火箭風(fēng)場，本文采用一個網(wǎng)絡(luò)同時完成風(fēng)速和風(fēng)向的擬合。對于這類網(wǎng)絡(luò)，其輸入層只有一個節(jié)點，代表飛行高度，輸出層有兩個節(jié)點，分別代表風(fēng)速和方向。風(fēng)場擬合網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 最少參數(shù)風(fēng)場擬合網(wǎng)絡(luò)Fig.2 The least-parameter wind fitting neural network

風(fēng)場擬合網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)設(shè)置如下

(9)

f2(x)=x

(10)

隱含層傳遞函數(shù)保證了網(wǎng)絡(luò)框架的非線性，輸出層傳遞函數(shù)保證了曲線擬合的準(zhǔn)確性。

設(shè)隱層節(jié)點數(shù)為nh，將式(9)和(10)代入式(8)，可得

(11)

根據(jù)函數(shù)逼近論，上述問題就是在一組基函數(shù)所張成的空間中尋找函數(shù)的近似表達使其誤差最小，每一個隱含層節(jié)點對應(yīng)一個基函數(shù)，這些基函數(shù)是通過改變傳遞函數(shù)f1的權(quán)重和偏置得到的。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程本質(zhì)上是在學(xué)習(xí)基函數(shù)。

假設(shè)兩個隱層節(jié)點的基函數(shù)及其線性組合為

(12)

其曲線如圖3(a)所示，可以看出線性組合呈現(xiàn)柱狀。若權(quán)重和偏置取不同的值，可以得到不同的基函數(shù)及其線性組合

(13)

其曲線如下圖3(b)所示，可以看出呈現(xiàn)尖峰狀。

圖3 網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)線性組合Fig.3 The linear combination of basis functions

由圖3可以看出，兩個不同的基函數(shù)的線性組合一般呈柱狀；當(dāng)基函數(shù)本身的權(quán)重比較接近時，或者基函數(shù)本身的偏置比較小時，線性組合會呈尖峰狀。用于組合的權(quán)重和偏置可以改變組合結(jié)果的尺度。

萬能逼近定理解決了函數(shù)逼近論中的稠密性問題，而隱層節(jié)點數(shù)的選擇是函數(shù)逼近論中的復(fù)雜性問題，即研究網(wǎng)絡(luò)隱層的拓撲結(jié)構(gòu)與逼近速度的問題。隱層節(jié)點的數(shù)目直接關(guān)系著BP網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)效率和泛化能力，也直接決定了網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)數(shù)量。如果隱層節(jié)點太少，即如圖3(a)所示，網(wǎng)絡(luò)只包含有限的柱狀組合，則無法完成對復(fù)雜曲線的擬合。如果隱層節(jié)點太多，則網(wǎng)絡(luò)包含太多參數(shù),當(dāng)對這些參數(shù)進行隨機初始化并訓(xùn)練時，有限的數(shù)據(jù)樣本遠遠不足以調(diào)制這些參數(shù)，訓(xùn)練完成后網(wǎng)絡(luò)仍然包含一些類似的權(quán)重和偏置，結(jié)果必然如圖3(b)所示，呈現(xiàn)出尖峰效應(yīng)，而且隱層節(jié)點越多，尖峰效應(yīng)越明顯，擬合的精度也越差。

文獻[21]設(shè)計了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近速度的一類上界

(14)

曹飛龍等[22]設(shè)計了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近速度的一類下界

(15)

理論上，根據(jù)逼近上界可以確定滿足誤差要求的隱層節(jié)點最小值，比最小值還要小的節(jié)點數(shù)值會導(dǎo)致誤差變大；根據(jù)逼近下界可以確定滿足誤差要求的隱層節(jié)點最大值，比最大值還要大的節(jié)點數(shù)值也會導(dǎo)致誤差變大。根據(jù)夾逼定理，在最小值和最大值之間必然存在一個最優(yōu)值，使得誤差最小。

實際應(yīng)用中，要精確確定隱層節(jié)點數(shù)目又是困難的，目前對BP網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點數(shù)目的確定并沒有一個公認或統(tǒng)一的理論作指導(dǎo)。常用的選擇方法有試湊法、經(jīng)驗公式法、遞增法、遞減法等。在實際的設(shè)計過程中，只有根據(jù)以往的經(jīng)驗，并對大量的試驗結(jié)果進行分析、比較，綜合應(yīng)用多種方法才能找到一個較好的節(jié)點數(shù)。

常用的經(jīng)驗公式有[23]

nh=(ni+1)×no

(16)

(17)

(18)

式中：nh為隱層節(jié)點數(shù)；ni為輸入層節(jié)點數(shù)；no為輸出層節(jié)點數(shù)；a為1～10之間的常數(shù)。

顯然，上述經(jīng)驗公式只考慮了網(wǎng)絡(luò)本身因素，沒有考慮要擬合的數(shù)據(jù)信息對隱含層節(jié)點數(shù)的影響。根據(jù)前面關(guān)于柱狀組合的描述，網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點數(shù)不但與輸入輸出的維度有關(guān)系，而且與復(fù)雜曲線的樣本點數(shù)量也有關(guān)系。

根據(jù)信息論，多項式曲線擬合與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)曲線擬合都可看作是采用相應(yīng)的基函數(shù)對風(fēng)場曲線進行數(shù)據(jù)壓縮。本文借鑒無損壓縮中的熵編碼原理，提出擬合網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點數(shù)的下確界公式

nh≥ni×lbnd×no

(19)

式中：nd為擬合數(shù)據(jù)樣本個數(shù)。

熵編碼是一種獨立于信息源具體特征的無損壓縮方法。因此，式(19)可以廣泛應(yīng)用于多種場景，例如火箭發(fā)動機振動信號分析與降噪、火箭箭體彈性模態(tài)分析、彈道規(guī)劃與預(yù)測等。也可以廣泛應(yīng)用于有類似數(shù)據(jù)處理任務(wù)的領(lǐng)域，例如音視頻處理、智能駕駛等。

網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)也不限于單輸入雙輸出的場景，也可應(yīng)用于多特征聯(lián)合分析的應(yīng)用場景，多特征可用多個輸入節(jié)點表示,輸出節(jié)點自然不受限制。例如對圖像分類任務(wù)來說，把二維圖像展開成一維向量，對應(yīng)著多個輸入節(jié)點。一般地，圖像分類數(shù)據(jù)庫包含的圖像樣本非常多，根據(jù)式(19)，如果用單隱層網(wǎng)絡(luò)完成任務(wù)，其隱層節(jié)點數(shù)會變得非常大。這也是卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含著多個隱含層和非常多參數(shù)的原因之一。

1.5 擬合精度評價準(zhǔn)則

本文采用三個準(zhǔn)則評價運載火箭風(fēng)場擬合誤差，分別是平均絕對值比例誤差(Mean absolute percentage error，MAPE)，平均絕對值誤差(Mean absolute error，MAE)，均方根誤差(Root mean squa-red error，RMSE)，其定義如下

(20)

(21)

(22)

三個準(zhǔn)則從不同的側(cè)面對擬合效果進行定量評價，構(gòu)成了曲線擬合的完備評價體系。

2 仿真校驗

首先對最小二乘多項式擬合及其分段形式進行充分驗證，然后對最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合進行充分驗證，接著將兩種方法進行了對比。

2.1 最小二乘多項式擬合結(jié)果

針對飛行高度區(qū)間4～20 km，每50 m采樣一次，因此，本文擬合數(shù)據(jù)樣本個數(shù)為321。最小二乘多項式擬合的關(guān)鍵參數(shù)是多項式的階數(shù)；另外，需要對風(fēng)速和風(fēng)向分別進行擬合，即需要用兩套參數(shù)來完整描述運載火箭高空風(fēng)場。本文將多項式階數(shù)取值設(shè)計為從10到50，并每隔5階計算一次擬合結(jié)果。部分?jǐn)M合曲線如圖4所示，其中Poly-10表示10階多項式，以此類推。在PC機上，不同階數(shù)多項式的擬合時間皆小于0.01 s。

圖4 最小二乘多項式擬合結(jié)果Fig.4 The least-square polynomial fitting results

采用三個評價準(zhǔn)則，可得最小二乘多項式擬合的誤差如表1和表2所示?？梢悦黠@看出，在階數(shù)較小的情況下，最小二乘多項式的擬合結(jié)果偏差較大。對于階數(shù)較大的情況，雖然理論上應(yīng)該獲得較好的擬合結(jié)果，但是實際的擬合結(jié)果也具有較大的偏差，這種現(xiàn)象對于較高的飛行高度更加明顯。只有階數(shù)適當(dāng)?shù)那闆r下，最小二乘多項式方法才具有較好的擬合性能。

表1 最小二乘多項式風(fēng)速擬合誤差Table 1 The least-square polynomial speed fitting errors

表2 最小二乘多項式風(fēng)向擬合誤差Table 2 The least-square polynomial angle fitting errors

同時，本文也采用分段多項式擬合的方式對火箭風(fēng)場進行擬合。具體地，將高度區(qū)間4～20 km分為三段，即4～9 km、9～14 km、14～20 km；并在每一段采用最小二乘多項式進行擬合，階數(shù)分別為5、10、15、20、25。部分?jǐn)M合曲線如圖5所示，其中Poly-5-3表示3段5階多項式，以此類推。

圖5 分段多項式擬合結(jié)果Fig.5 The multi-segment polynomial fitting results

采用三個評價準(zhǔn)則，可得分段多項式擬合的誤差如表3和表4所示?？梢悦黠@看出，分段多項式的擬合結(jié)果要比不分段的情況有所改善。但是，在階數(shù)較小的情況下，分段多項式的擬合結(jié)果誤差也較大；另外，對于階數(shù)較大的情況，在分段間隔處有明顯的振蕩現(xiàn)象，而且階數(shù)越大，振蕩越強，擬合誤差也越大。

表3 分段多項式風(fēng)速擬合誤差Table 3 The multi-segment polynomial speed fitting errors

表4 分段多項式風(fēng)向擬合誤差Table 4 The multi-segment polynomial angle fitting errors

2.2 最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合結(jié)果

本文擬合數(shù)據(jù)樣本個數(shù)為321，根據(jù)式(19)可求得隱層節(jié)點數(shù)下確界為17。

本文將隱含層節(jié)點數(shù)取值設(shè)計為從10到100，每隔10計算一次擬合結(jié)果，并在下確界17處也進行了擬合，部分?jǐn)M合曲線如圖6所示。其中NN-10表示用10個隱含層節(jié)點進行擬合的結(jié)果，以此類推。

圖6 最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合結(jié)果Fig.6 The least-parameter neural network fitting results

為了公平比較，對不同隱層節(jié)點數(shù)的網(wǎng)絡(luò)皆進行充分訓(xùn)練，當(dāng)隱層節(jié)點數(shù)較少時，訓(xùn)練次數(shù)為200，擬合網(wǎng)絡(luò)很快收斂；當(dāng)隱層節(jié)點數(shù)較多時，NN-90和NN-100的訓(xùn)練次數(shù)為2000，也達到穩(wěn)定狀態(tài)。擬合時間如表5所示。

表5 不同隱層節(jié)點數(shù)網(wǎng)絡(luò)擬合時間Table 5 The network fitting time with different number of hidden layer’s notes

采用三個評價準(zhǔn)則，可得最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合的誤差如表6和表7所示。可以明顯看出，在隱含層節(jié)點數(shù)小于本文提出的下確界的情況下，最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合結(jié)果偏差較大。對于隱含層節(jié)點較多的情況，擬合結(jié)果的三個評價準(zhǔn)則值較好，然而NN-60的擬合曲線已經(jīng)有一定的尖峰效應(yīng)，即擬合值有明顯的偏離點；而且隱層節(jié)點數(shù)越多，尖峰效應(yīng)越明顯，擬合誤差越大，如圖6中NN-100所示，這對于實際工程應(yīng)用有較大的弊端。只有隱含層節(jié)點個數(shù)適當(dāng)?shù)那闆r下，最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)才具有較好的擬合性能。

表6 最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)風(fēng)速擬合誤差Table 6 The least-parameter neural network speed fitting errors

表7 最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)風(fēng)向擬合誤差Table 7 The least-parameter neural network angle fitting errors

綜合上述分析，當(dāng)隱含層節(jié)點數(shù)小于下確界時，網(wǎng)絡(luò)擬合誤差較大；當(dāng)隱含層節(jié)點數(shù)大于或等于下確界時，擬合誤差迅速變?。划?dāng)隱含層節(jié)點數(shù)過多時，擬合誤差會變大。充分說明了本文提出的隱含層節(jié)點數(shù)下確界的相對合理性。

2.3 擬合結(jié)果對比

前述兩小節(jié)對最小二乘多項式擬合及其分段形式與最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合分別進行了分析與評價；只要階數(shù)和隱含層節(jié)點數(shù)適當(dāng)，兩個都能得到較好的擬合結(jié)果。因此，為了實現(xiàn)運載火箭風(fēng)場的高精度擬合，需要對兩者進行對比分析。

圖7和圖8對45階最小二乘多項式、3段20階多項式和50個隱含節(jié)點的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合誤差曲線進行了展示，三者皆是對應(yīng)方法中的最好擬合結(jié)果?？梢悦黠@看出，在大多數(shù)高度值上，BP網(wǎng)絡(luò)的擬合誤差都是最小的；多項式擬合的誤差是最大的，分段多項式的擬合誤差處于中間位置；同時，分段多項式擬合有一個顯著的特征，即在分段處有非常明顯的振蕩效應(yīng)。表8和表9的評價指標(biāo)值也充分說明了這一點。

圖7 風(fēng)速擬合誤差曲線Fig.7 The curve of wind speed fitting errors

圖8 風(fēng)向擬合誤差曲線Fig.8 The curve of wind angle fitting errors

表8 風(fēng)速擬合誤差比較Table 8 The comparison of wind speed fitting errors

表9 風(fēng)向擬合誤差比較Table 9 The comparison of wind angle fitting errors

另外，最小二乘多項式擬合需要兩套參數(shù)才能完成風(fēng)場擬合，分段多項式擬合更是需要多套參數(shù)才能完成風(fēng)場擬合；最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合只需要一套參數(shù)即可完成風(fēng)場擬合。

由擬合誤差曲線和誤差指標(biāo)值可以明顯看出，最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合結(jié)果要明顯好于最小二乘多項式及其分段形式的擬合結(jié)果。具有50個隱含節(jié)點的三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很好的擬合精度，同時參數(shù)數(shù)量接近最少，使用便捷，具有較高的工程應(yīng)用價值。

3 結(jié) 論

對于運載火箭高空風(fēng)場，本文利用最小二乘多項式及其分段形式和最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行了擬合，分別對比了不同階數(shù)多項式及其分段形式的擬合結(jié)果和不同隱含層節(jié)點個數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合結(jié)果，并對比分析了三類方法的最好結(jié)果。仿真試驗表明，最少參數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合效果明顯好于最小二乘多項式及其分段形式的擬合效果，而且只需要一套參數(shù)即可完成任務(wù)。同時，對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在不同隱含層節(jié)點個數(shù)情況下的結(jié)果進行了細致的分析，體現(xiàn)了本文提出的隱含層節(jié)點數(shù)下確界的相對合理性，明確了具有最好擬合效果的隱含層節(jié)點個數(shù)，為后續(xù)的實際工程應(yīng)用打下了堅實的基礎(chǔ)。