唐倩紅，王曉峰

（廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣州 510006）

引 言

記D為復(fù)平面C中的單位開圓盤，H(D)為D上全體解析函數(shù)組成的空間。dA(z) =rdrdθ/π 是D 上正規(guī)化的Lebesgue 面積測(cè)度。 若函數(shù)在ω:D →[0,∞)上可積，則稱為權(quán)函數(shù)或簡(jiǎn)單稱為權(quán)。對(duì)于任意z∈D，若權(quán)函數(shù)滿足ω(z) =ω(|z|)，則稱為徑向權(quán)。對(duì)徑向權(quán)ω，記

令f為D 上的可測(cè)函數(shù)，當(dāng)0

其中0 ≤r< 1。當(dāng)p= ∞時(shí)，f的積分均值為：

給 定0

的全體Lebesgue 可測(cè)函數(shù)f組成的空間。給定0

的全體Lebesgue 可測(cè)函數(shù)f組成的空間。加權(quán)混合范數(shù)空間Ap,qω為L(zhǎng)p,qω中解析函數(shù)所成的空間，即Ap,qω=Lp,qω?H(D)。

若q=p且0

若存在一個(gè)常數(shù)C=C(ω) > 1使徑向權(quán)ω滿足條件

則記為ω∈。若存在K=K(ω) >1 和C=C(ω) >1使得

則稱徑向權(quán)函數(shù)ω為正規(guī)權(quán)函數(shù)。若對(duì)于s∈[0,1)，存在一個(gè)常數(shù)C=C(s,ω) > 1使得

其中0 ≤r≤t≤r+s(1 -r) < 1，也稱ω是正規(guī)權(quán)函數(shù)，表示為ω∈R。更多有關(guān)權(quán)的性質(zhì)，例如R?D，可以參看文獻(xiàn)[1-3]。

回顧一般的加權(quán)Bergman 空間Apω=Lpω?H(D)以及從L2ω到A2ω的Bergman投影Pω：

其中是A2ω的再生核。更多有關(guān)投影算子的研究可以參閱文獻(xiàn)[4-6]。

混合范數(shù)空間最早是被Hardy 等[7]提及，后來才被Hardy 的學(xué)生Flett[8-9]明確定義和研究。1971 年，Shields 等[10]開始引入規(guī)范函數(shù)。1987 年，Jevti?[11]開始研究規(guī)范函數(shù)誘導(dǎo)的混合范數(shù)空間。Jevti?[11]證明了單位球上當(dāng)1 ≤p< ∞,1 ≤q≤∞時(shí)，由正規(guī)函數(shù)權(quán)誘導(dǎo)的混合范數(shù)空間上投影算子的有界性，并介紹了在此條件及積分配對(duì)

意義下，正規(guī)函數(shù)權(quán)誘導(dǎo)的混合范數(shù)空間的對(duì)偶空間是另一個(gè)正規(guī)函數(shù)權(quán)誘導(dǎo)的混合范數(shù)空間，且兩個(gè)正規(guī)函數(shù)權(quán)的積要求等于(1 -r2)α，0 ≤r< 1，其中α是一個(gè)正實(shí)數(shù)。Shi[12]在Jevti?[11]的基礎(chǔ)上研究了0

為了方便書寫，用A?B表示存在與變量無關(guān)的常數(shù)C使得A≤CB，而A?B表示A?B與B?A同時(shí)成立。

1 準(zhǔn)備工作

本節(jié)先介紹研究中要用到的權(quán)函數(shù)及其基本性質(zhì)，再給出再生核函數(shù)的某些估計(jì)。

引理1設(shè)ω為徑向權(quán)函數(shù)，則：

1)ω∈當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)b> 0 使得(t)/(1 -t)b本質(zhì)遞增；

2)ω∈當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)a> 0 使得(t)/(1 -t)a本質(zhì)遞減。

證明由文獻(xiàn)[17]的引理A和引理B可得。

引理2若0

證明由ω(z) =ω( |z| ) 得W(z) =W( |z| )。因?yàn)棣亍蔙?D，則據(jù)引理1 可知，會(huì)存在常數(shù)a> 0使 得(t)/(1 -t)a本 質(zhì) 遞 減 以 及 存 在b> 0 使 得(t)/(1 -t)b本質(zhì)遞增。因此可得：

通過引理2 可知，在后面研究正規(guī)權(quán)誘導(dǎo)的混合范數(shù)空間時(shí)，可以假設(shè)正規(guī)權(quán)連續(xù)。

引理3設(shè)ω,υ∈R,0

其中 |z| →1-。

證明由R??以及文獻(xiàn)[18]可得。

引理4[18]若ω連續(xù)，則ω∈R當(dāng)且僅當(dāng)存在-1

成立，其中r0∈(0,1)。

若存在0

引理5若ω∈R，則ω12∈R。

證明設(shè)ω∈R，則對(duì)于s∈[0,1)，存在一個(gè)常數(shù)C=C(s,ω) > 1，使得

C-1ω(t) ≤ω(r) ≤Cω(t)成立，其中0 ≤r≤t≤r+s(1 -r) < 1。

引理6令ω∈R，Bω

z是A2ω的再生核，則可知存在一個(gè)常數(shù)C> 0，使得

成立。

證 明當(dāng)a≠0 且-1

實(shí)際上，當(dāng)a= 0 且-1

引理7令0

證明由ω∈R?D?以及文獻(xiàn)[19]可得。

引理8令1 0使得

證明記q'為q的共軛指數(shù)，且1 0 使得本質(zhì)遞減。因此據(jù)引理7，有

2 投影算子的有界性

接下來開始證明本文的主要結(jié)果。

定理1令ω∈R且1 ≤p,q<∞，則Pω是從到有界算子。

證明記p',q'分別為p,q的共軛指數(shù)。對(duì)于利用Minkowski不等式可得

利用H?lder不等式，得

由再生核的對(duì)稱性，得

這些積分結(jié)果與r= |z|和ρ= |ξ|有關(guān)，則可簡(jiǎn)單將其記為K(r,ρ)。利用Fubini定理得

將上述結(jié)果代入式(3)，可得

考慮情況q= 1，由式(4)、引理6、Fubini 定理以及再生核的對(duì)稱性可得

接下來，考慮情形1

進(jìn)而，利用式(5)和式(6)可得

最后，類似q= 1的情形，利用式(4)和引理6，可得

定理2令ω∈R且1 ≤p<∞，則Pω是從到的有界算子。

證明令且ξ=ρeit，對(duì)任意z=reiθ∈D，由引理6可得

定理3令ω∈R且1

證明對(duì)于f∈Lpω,q，令ξ=ρeit，z=reiθ?？傻?/p>

若1

進(jìn)而，利用式(7)與式(8)，可得

3 對(duì)偶空間

定理4令ω∈R，1

證明首先，定義上述的積分配對(duì)為Λg(f)。顯然每個(gè)中的函數(shù)都可以通過積分配對(duì)來誘導(dǎo)上的有界線性泛函Λg，且滿足

令g=Pωh，則據(jù)定理1，g且據(jù)Bergman空間中類似的推斷，可知多項(xiàng)式在A1ω12中稠 密，則 對(duì) 于1 ≤p,q<∞，再 生 核 公 式 會(huì) 在中成立。換句話說，據(jù)Fubini定理，很容易證得Pω是自伴的，則

最后，證明g的唯一性。若中存在另一個(gè)函數(shù)l使得Λ(f) =f,lω，則由簡(jiǎn)單的計(jì)算可得

定理5令ω∈R，1

證 明設(shè)g∈Apω',q'，記 Λg(f) =f,gω，則故每個(gè)Apω',q'中的函數(shù)g，都可以通過積分配對(duì)誘導(dǎo)一個(gè)Apω,q上的有界線性函數(shù)Λg。

反之，若Λ 是Apω,q上的有界線性泛函，則據(jù)Hahn-Banach 延拓定理，Λ 可以延拓成Lpω',q'上的一個(gè)

因?yàn)樵偕再|(zhì)在Ap,qω?A1η中成立，所以據(jù)Fubini 定理，可得

最后，證明g的唯一性。若Apω',q'上存在另一個(gè)函數(shù)l使得Λ(f) =f,lω，則通過簡(jiǎn)單的計(jì)算可得

從而得到矛盾的結(jié)果。故對(duì)任意Ap,qω上的有界線性泛函Λ，都可以找到Ap',q'ω中唯一的函數(shù)g有Λ = Λg，而且滿足

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過對(duì)再生核進(jìn)行估計(jì)，得到當(dāng)1 ≤p，q<∞時(shí)，Pω是從的有界算子；當(dāng)1 ≤p<∞時(shí)，Pω是從的有界算子；當(dāng)1