趙肖芒，王 瑤，段柏山

（1.湖南中核勘探公司，湖南 長沙 410000；2.江西省大氣污染成因與控制重點實驗室，江西 南昌 330013；2.東華理工大學地球科學學院，江西 南昌 330013；3.新疆中核天山鈾業(yè)有限公司，新疆 伊寧 835000）

地浸采鈾是利用人工鉆孔將溶浸劑注入含礦含水層后，將含鈾的浸出液通過抽液鉆孔抽出地表進行加工處理的方法[1]。溶浸范圍的圈定是抽注作業(yè)前的關鍵問題，決定著鈾礦是否浸出完全及整個采區(qū)地下水流狀態(tài)，而含礦含水層內(nèi)的承壓水水位埋深作為主要參考依據(jù)，其數(shù)據(jù)的系統(tǒng)規(guī)范一直是行業(yè)難題。因此，本文利用灰色系統(tǒng)理論，建立了一個預測模型，以期能夠解決該難題。

灰色系統(tǒng)理論是對“部分”已知信息進行分析研究，包括對客觀事物的量化、建模、預測、決策、控制等；從而進一步排除干擾噪聲，提取有價值信息，對運行規(guī)律進行準確描述和精準控制[2]。這一理論能夠將離散數(shù)據(jù)轉換成信息完全、時間連續(xù)的動態(tài)模型，目前已形成以灰色模型GM（Grey model）為核心的模型體系，以灰色關聯(lián)空間為基礎的分析體系，以灰色過程為基礎和以生成空間為內(nèi)涵的方法體系[3-4]。根據(jù)數(shù)據(jù)處理方法的不同，主要分為預測模型GM(h,1)、狀態(tài)分析模型GM(1,n)和靜態(tài)分析模型GM(0,n)，不同模型有著不同的適用范圍。其中GM(1,1)模型作為一階單變量模型，可通過對象自身的時間序列進行預測，適用于小樣本的規(guī)律序列[5]，是最為活躍的模型之一，已被廣泛應用于地下水位預測[6]、地裂差異沉降量、未來水質(zhì)預測等各個領域，并成功解決了大量實際問題。

本文中承壓水位埋深是各種影響因子綜合作用的結果，符合灰因白果定律，故地下水水位埋深預測屬于灰色系統(tǒng)理論研究范疇，可通過建立地下承壓水灰色系統(tǒng)模型來更加科學地預測地下水埋深。運用伊犁某采區(qū)SK26-1 觀測井2016 年4 月-2017 年3 月的實測承壓水位的原始埋深數(shù)據(jù)作為原始序列生成的原始數(shù)據(jù)模型，通過白化后的GM(1,1)模型來求解地下水的埋深，從而能夠準確預判整個采區(qū)地下水動力場的變化情況，及時更改抽注流量，從而達到控制溶浸范圍，保持抽注平衡的目的，并為地浸采鈾礦山中的地下水埋深預測提供新的解決思路。

1 灰色模型概述

灰色系統(tǒng)理論是我國華中科技大學鄧聚龍教授于19 世紀80 年代初創(chuàng)立并發(fā)展的理論，它把一般信息論、控制論和系統(tǒng)論的方法和觀點延伸至社會、經(jīng)濟、生態(tài)等系統(tǒng)，與數(shù)學方法結合起來發(fā)展出一套解決灰色系統(tǒng)理論方法?；疑碚撓到y(tǒng)認為，一個系統(tǒng)如果受到多重外界環(huán)境及復雜內(nèi)部因素影響（灰因）則屬于不確定系統(tǒng)的發(fā)展演化；對于不確定系統(tǒng)的趨勢預測，無法建立明確因變量和自變量的函數(shù)模型。但在諸多因素的共同作用下，待預測結果仍然是明確的（白果），即，待預測結果是該系統(tǒng)復雜內(nèi)因外因共同作用下的最終表現(xiàn)形式，體現(xiàn)著所有影響因素在該系統(tǒng)內(nèi)的發(fā)展演變趨勢。20 多年來，GM 模型已被廣泛應用于社會各領域，該模型利用“生成”法將不確定因素處理轉化為存在一定規(guī)律性的新數(shù)列，做到亮化信息從而快速建模；再通過對建立模型的逆生成，得到原始數(shù)據(jù)的分析模型。作為GM 模型的基礎和核心，GM(1,N)表示1 階的、N 個變量的微分方程型模型，而GM(1,1)，表示1 階，1 個變量的微分方程模型。

2 GM(1,1)模型

2.1 GM(1,1)模型的定義型

根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，對于原始序列x0(k)=[x0(1),x0(2),…,x0(n)]，灰色GM(1,1)模型的定義型為：

灰微分方程建立過程可表示為：

2.2 GM(1,1)的白化模型

灰色模型GM(1,1)的白化模型為：

式中：a 為發(fā)展系數(shù)，其大小和符號反映了原始序列x0(k)和其AGO（累加）生成序列x1(k)過程中的發(fā)展態(tài)勢；b 為灰作用量，它是從背景值挖掘出來的數(shù)據(jù)，反映了數(shù)據(jù)變化的關系，不是可以直接觀測的，其確切內(nèi)涵是灰的，是內(nèi)涵外延化的具體體現(xiàn)，需要通過上述微分方程（公式）計算得到。

對于原始序列x0(k)=[x0(1),x0(2),…,x0(n)]及其AGO（累加）序列x1(k)=[x1(1),x1(2),…,x1(n)]，GM(1,1)白化模型的響應式分別為：

2.3 GM(1,1)模型的參數(shù)識別

令k=2,3,…,n分別代入GM(1,1)模型的定義型x0(k)+az1(k)=b中，可以得到如下方程組：

根據(jù)以上公式可以對x0(k)進行推測，然后再進行殘差檢驗和后驗差檢驗，以獲得已建立模型的預測精度及等級。

3 GM(1,1)模型應用

下面以某礦床水文調(diào)查區(qū)水文觀測孔（SK26-1）水位埋深數(shù)據(jù)為實例進行具體分析，用來判定模型是否適用，并對預測結果（模擬值）進行精度檢驗。

3.1 建立原始數(shù)列

以SK26-1水文觀測孔實測承壓水水位埋深數(shù)據(jù)（表1）作為原始序列，則x0=[x0(k),x0(k),…,x0(k)](k=1,2,3,…,12)=（173.77，171.95，170.45，169.60，169.80，170.30，172.50，172.84，163.43，164.63，167.64，168.73）。

表1 SK26-1 水文觀測孔實測承壓水水位埋深數(shù)據(jù)

3.2 原始數(shù)列的級比檢驗

灰色建模有嚴格的條件，在原始序列給出后，必須進行級比和級比界區(qū)判斷，只有原始序列的級比在級比可容區(qū)和級比界區(qū)內(nèi)，對原始序列進行GM(1,1)建模才是可行的。原始序列的級比計算公式為：

其計算結果為：

σ1(k) ==(1.0106，1.0088，1.0050，0.9988，0.9971，0.9872，0.9980，1.0576，0.9927，0.9821，0.9936)，(k=2，3，…，12)。上述結果表明，級比σ1(k)均在可容區(qū)(e-2，e2)=(0.1353，7.3891)范圍內(nèi)。說明原始序列的數(shù)據(jù)是平滑的，能夠作為參考數(shù)據(jù)進行灰預測。

3.3 灰生成

3.3.1 AGO（累加）生成

為降低原始數(shù)據(jù)的不穩(wěn)定性（波動性），加強其規(guī)律性，對原始序列作一次累加，生成(AGO)后得到序列函數(shù)：

3.3.2 MEAN（均值）生成

根據(jù)灰色理論z1(k)的計算公式，可以計算出其MEAN（均值）。經(jīng)過計算可以得MEAN（均值）=z1(k)=(258.83，427.63，594.88，763.70，935.40，1114.65，1295.11，1426.81，1558.60，1745.16，1934.36)。

3.4 模型參數(shù)a 和b 的計算

根據(jù)中間參數(shù)（C、D、E、F）、發(fā)展系數(shù)a 及灰作用量b 的計算公式，結合Matlab 科學計算軟件分別計算出C、D、E、F、a、b。計算過程及結果如下：

3.5 建立GM(1,1)模型和響應式

由原始序列（表1）可知：x0(1)=173.77，則：

由此可以得到GM(1,1)模型的定義型和白化響應式：

表2 水文觀測孔(SK26-1)承壓水GM(1,1)模型參數(shù)計算表

3.6 結果檢驗

3.6.1 殘差檢驗

相對殘差為：

平均殘差為：

精度為：

系統(tǒng)模型的平均殘差只有0.322%，對比預測值與實測值，發(fā)現(xiàn)兩者十分接近（最大誤差為1.04m，最小誤差為0.14m）；可明顯看出，預測值曲線在實測值曲線附近有小幅波動，兩條曲線光滑且擬合良好，該模型預測精度高達99.678%，擬合度及可信度較高。

3.6.2 后驗差檢驗

原始數(shù)據(jù)均值為：

殘差均值為：

原始數(shù)據(jù)方差為：

殘差數(shù)據(jù)方差為：

后驗差比值為：

小誤差概率為：

4 結論

為準確預測伊犁某地浸采鈾礦區(qū)承壓水水位埋深，控制溶浸范圍，達到抽注平衡，本文應用了灰色系統(tǒng)理論的數(shù)學原理及GM(1,1)模型建立原始數(shù)列，利用灰生成降低數(shù)據(jù)波動性，預測結果與實測數(shù)據(jù)近似且有一致的變化趨勢。

與此同時，通過“殘差檢驗法”和“后驗差檢驗法”檢驗GM(1,1)模型的預測精度。檢驗結果表明，GM(1,1)模型對于實驗樣本預測精度高達99.678%，屬于Ⅰ級灰色動態(tài)模型預測精度，適用于具有灰色特征的砂巖型鈾礦床承壓水埋深等原始序列的模擬控制和預測分析，可以為地浸采鈾礦山實際生產(chǎn)中含礦含水層的承壓水位進行準確預測。