付波，徐康，李超順，趙熙臨，權軼

(1.湖北工業(yè)大學電氣與電子工程學院，武漢 430068；2.華中科技大學水電與數(shù)字化工程學院，武漢 430071)

Dempster[1]提出了D-S(Dempster-Shafer)證據(jù)理論，被Shafer[2]進一步發(fā)展。迄今，D-S證據(jù)理論被廣泛用于信息融合[3-4]、故障診斷[5]、決策分析[6]、等領域。其中，Dempster證據(jù)理論主要用于融合多個證據(jù)。然而，如果把Dempster證據(jù)理論用來融合相互矛盾的兩個證據(jù)時，會導致和直覺相悖的結論。隨后，很多人開始對Dempster證據(jù)理論的組合規(guī)則提出了質疑。沖突證據(jù)的融合一直是D-S證據(jù)理論的熱門。到目前為止主流方法有兩種。第一種方法是修改證據(jù)理論的組合規(guī)則，重新分配沖突，使其適應高沖突的環(huán)境。Leferve等[7]提出的“統(tǒng)一可靠性函數(shù)組合方法”用于修改組合規(guī)則。Fixsen等[8]和Daniel[9]提出minC(細化分配空間)組合規(guī)則，突出了局部沖突，并且提出了潛在沖突的概念。Ma等[10]近來提出了一種基于完整的沖突集靈活的組合規(guī)則。Xiao[11]提出了沖突證據(jù)之間的比例分配規(guī)律。類似的研究還有Yager[12]、Yager等[13]、Inagaki[14]等介紹了對命題的平均支持的方法。第二種方法是提前對高沖突的證據(jù)進行處理，修改原始數(shù)據(jù)源，最后進行證據(jù)融合。此類方法以Haenni等[15]為代表。具體典型方法包括Deng等[16]的加權平均法、Murphy[17]的簡單算術平均法等。最近，F(xiàn)u等[18]提出了一種基于信念庫侖力的證據(jù)理論，該方法根據(jù)庫侖力的大小來確定證據(jù)權重，通過權重構造平均權重，最后進行融合；陳科等[6]利用了在證據(jù)理論中加入兩種神經網絡來分配基本概率的方法，得出了可信度的大小對應可信程度的高低，最后對改進的證據(jù)進行融合；劉燕平等[19]和張揚等[20]分別提出了組合賦權和新的證據(jù)分聚類融合算法；鹿浩等[21]提出了將貝葉斯網絡參數(shù)與證據(jù)理論相結合，克服了在小數(shù)據(jù)集下的參數(shù)不準確的問題。

針對高沖突證據(jù)無法處理和不同證據(jù)之間的重要度不一樣這兩個問題，作者認為證據(jù)信息融合的本質是證據(jù)間融合力的效果，證據(jù)之間作用力的大小可以通過所提出的MCF(Maxwell electromagnetic force)來量化，將證據(jù)距離函數(shù)與經典證據(jù)沖突系數(shù)結合起來，較為直觀指出證據(jù)間融合力的表現(xiàn)形式，利用麥克斯韋電磁力和新的證據(jù)沖突表示方法來衡量證據(jù)之間的沖突程度。然后按照Dempser組合規(guī)則來融合證據(jù)。最后的測試結果也表明該方法的應用價值。

1 D-S證據(jù)理論

1.1 D-S證據(jù)理論

1.1.1 識別框架

定義1設Θ={θ1，θ2,...,θn}表示一組相互排斥的有限集合，Θ被稱為識別框架。Θ的功率集表示為[1,2]，有

2Θ={?，{θ1},{θ2},…,{θN}，{θ1，θ2}…

{θ1，θ2,…,θi}…Θ}

(1)

式(1)中：2Θ表示全部識別對象；?表示空集，如果A∈2Θ，則稱A為命題。

1.1.2 質量函數(shù)

定義2對于證據(jù)理論中的識別框架Θ，質量函數(shù)定義為從2Θ到[0,1]的映射m，即

m：2Θ→[0,1]

(2)

滿足以下兩個屬性，即

(3)

1.1.3 Dempster的組合規(guī)則

定義3假設這兩個證據(jù)函數(shù)在識別框架上，Dempster證據(jù)理論的融合規(guī)則為

(4)

式(4)中：[m1⊕m2]表示證據(jù)體m1和證據(jù)體m2融合。BPA(basic probability assignment)反映了證據(jù)對識別框架中的命題A和命題B的支持程度，即m(A)m(B)。

沖突系數(shù)K為

(5)

只有當K>1時，Dempster的組合規(guī)則才能發(fā)揮作用。

1.2 證據(jù)距離

定義4Θ中是N個兩兩不同的命題，m1和m2是兩個BPA，m1和m2之間的距離計算公式為

(6)

(7)

式中：D為一個2N×2N的矩陣，D(A,B)為其元素；P(Θ)為Θ所有子集生成的空間。

1.3 沖突系數(shù)

在證據(jù)理論中，看證據(jù)之間是否沖突，是通過沖突系數(shù)K的大小來表示的。其表達式為

(8)

(9)

在Dempster組合規(guī)則中，如果K=1，Dempster組合規(guī)則就無效；而當K→1時，直接對沖突證據(jù)進行融合會出現(xiàn)和直覺不一樣的結果。

1.4 皮爾遜系數(shù)

皮爾遜相關系數(shù)一般用于判斷兩者之間的相關程度，用ρ表示。

定義5對于具有N個元素的識別框架Θ，兩個證據(jù)之間的BPA表示為m1、m2。兩主體之間的皮爾遜系數(shù)定義為

ρ(m1,m2)=

(10)

當ρ>0時，m1、m2之間為正相關；當ρ=0時表示m1、m2之間完全無關；當ρ<0時，m1、m2之間為負相關。

2 改進的D-S證據(jù)理論

2.1 新沖突系數(shù)

定義6新沖突系數(shù)為

(11)

式(11)中：Kpq表示沖突系數(shù)，由式(5)計算，dBPA(mp，mq)表示證據(jù)p、q之間的距離，由式(6)計算。

2.2 麥克斯韋電磁力理論

2.2.1 Deng熵

Deng熵是測量證據(jù)體不確定信息的有效工具，計算公式為

(12)

式(12)中：A為m中的一個子集，|A|是A中的一個子集，2|A|-1表示A中的序數(shù)。信息熵可以度量證據(jù)體的信息量，目前引用較多的是Deng熵。

例1給出在同一識別框架下的兩個證據(jù)m1、m2。它們的BPA如下所示。

在證據(jù)體m1中：m1(A1)=N1，m1(A2)=N2，m1(A3)=N3；

在證據(jù)體m2中：m2(A1)=P1，m2(A2)=P2，m2(A3)=P3；

其中N1≠0，N2≠0，N3≠0，P1≠0，P2≠0，P3≠0。

基于Deng熵[16]得出證據(jù)體m1的磁感應強度為

=-(N1log2N1+N2log2N2+N3log2N3)

(13)

同樣，證據(jù)體m2的磁感應強度為

=-(P1log2P1+P2log2P2+P3log2P3)

(14)

2.2.2 麥克斯韋電磁力定律

定義7設F是電磁鐵的電磁力的大小，φ為工作氣隙磁通，B1和B2為工作氣隙磁感應強度，S為磁路截面積，μ0為真空磁導率，其值為4π×10-7Wb·A/m。將麥克斯韋電磁力公式定義為

(15)

根據(jù)式(15)可以知道麥克斯韋電磁力定律的表述如下：任意兩個電荷磁感應強度相互吸引或者排斥，麥克克斯電磁力的大小與兩個磁感應強度積成正比，與它們面積成正比。

2.2.3 麥克斯韋電磁力公式

在麥克斯韋電磁力理論的啟發(fā)下，在證據(jù)理論的框架下提出了一種新的MCF。

定義8在同一個識別框架下，有m1、m2兩個證據(jù)。MCF公式定義為

(16)

μET=2-ε|Θ|，0≤ε≤1

(17)

3 算例分析

例2給出Ω=(1,2,…，20)，m1(7)=0.1，m1(A)=0.9，m2(1,2,3,4,5)=1。其中，A按照元素數(shù)遞增的方式變化，如表1所示。

從表1可以看出沖突系數(shù)K，證據(jù)距離dBPA和新的沖突系數(shù)Kd的比較，圖1顯示了K和Kd隨著子集A的變化而出現(xiàn)的現(xiàn)象。

圖1 證據(jù)沖突系數(shù)的比較Fig.1 Comparison of conflict of evidence factors

表1 新沖突系數(shù)與經典證據(jù)沖突系數(shù)的比較Table 1 Comparison of the new conflict coefficient with the classical evidence conflict coefficient

不管子集A中的元素怎么變化，K始終為固定值0.1，不符合常規(guī)；新沖突系數(shù)Kd會隨著A中元素數(shù)的增加而變化。A中的元素數(shù)少的時候，沖突會比元素數(shù)大的時候??；當子集A有變化時，新沖突系數(shù)Kd的值最大達到0.481 3，可有效表征出證據(jù)之間存在較大沖突。

從仿真結果可以看出經典沖突系數(shù)反映的是證據(jù)之間的非包容性。在例3.1中，證據(jù)1和證據(jù)2之間始終存在交集，本文中認定無沖突。本文提出的新沖突系數(shù)自身就有非兼并性，并且引入了證據(jù)距離，證據(jù)中的元素數(shù)的改變會引發(fā)沖突程度的改變。

例3在本例中，通過實驗來看各變量之間的關系。

給定20個元素，如{1,2,3,…,20}。m1、m2的BPA如表2所示。

表2 輸入MCF公式后各參數(shù)值Table 2 Value of each parameter after entering MCF formula

根據(jù)表2，繪制了圖2、圖3。當元素集從(1)一直到(1,2,…,20)，可以看出d2和FMCF的變化。

如表2所示，A從(1)到(1,2，…,20)，證據(jù)m1的值越來越大。證據(jù)體m2中命題元素的數(shù)目不變，因此，Bm2是個常量。命題A集合的大小和d2、FMCF和命題A集合的大小關系分別如圖2，圖3所示。

圖3 FMCF變化趨勢圖Fig.3 FMCF change trend chart

通過圖2可以發(fā)現(xiàn)，磁通量通過面積S、證據(jù)距離的平方d2隨命題元素數(shù)目的增加先減小后增大，具體而言，當集合A接近集合{1,2,3,4,5}時，d2的值是最低的。反之，當集合A的值偏離集合時，其值增大。特別的是，在集合A元素數(shù)目小于5時，整體呈現(xiàn)出下降的趨勢。

圖2 d2變化趨勢圖Fig.2 Trend graph of d2 change

上述兩個仿真表明當集合A元素數(shù)目為5時，d2達到最小值。隨著集合A元素數(shù)目的增加，d2增加。從第一章可以看出，證據(jù)距離d用于表示證據(jù)之間的相似性。當集合A元素數(shù)目為5時，即A={1,2,3,4,5}，m1和m2具有最大的相似性，即d最小，d2也最小。隨著集合A中元素數(shù)的變化，m1和m2磁通量也在變化。此外，從圖4中還可以觀察到，當集合A中元素數(shù)目為5時，F(xiàn)MCF達到最大值。結合MCF的物理意義，證據(jù)之間的差異最小，即證據(jù)距離d最小。m1和m2之間產生吸力并被最大化。此后，隨著集合A元素數(shù)目增加，m1和m2之間的相似性逐漸減小，F(xiàn)MCF的值整體呈現(xiàn)出下降的趨勢。

例3中在T=0時刻，3個傳感器分別得到一組證據(jù)，為m1、m2、m3，在T=5和T=10時刻，傳感器4,5也得到一組證據(jù)為m1、m2、m3,之后當T=5 s，T=10 s時，傳感器4、傳感器5分別獲得一組證據(jù)，命名為m4、m5。他們的BPA如表3所示。

從表3中可以看出，沖突證據(jù)是m3，證據(jù)體m1、m2、m4、m5都支持命題1，只有證據(jù)體3不支持命題1。圖4為5種證據(jù)融合過程。

表3 從傳感器獲得的初步證據(jù)Table 3 Preliminary evidence from sensors

在圖4中，圖4(a)表示在自由狀態(tài)下五組證據(jù)。當T=10 s時可以觀察到獲得的所有的證據(jù)。在非MCF系統(tǒng)中，5組數(shù)據(jù)體之間是分散的，如果直接對五組證據(jù)進行證據(jù)融合，就是證據(jù)與證據(jù)之間的簡單排列組合，然而，m3與其他證據(jù)支持的命題不同，為一個干擾信息，最后的結果會與實際不符。如果考慮MCF系統(tǒng)，那么在證據(jù)融合的每個階段，在MCF的作用下證據(jù)會慢慢融合。

圖4 5種證據(jù)的融合過程Fig.4 The process of convergence of the five types of evidence

在T=0時刻，對于m1、m2、m33組證據(jù)來說，m3是一個高度沖突的證據(jù)體。如圖所示，m1和m2之間的距離最接近，而且m1和m2之間的皮爾遜系數(shù)大于0，m1和m2之間有麥克斯韋電磁吸力更容易融合。m1和m3之間的距離較遠，而且m1和m3之間的皮爾遜系數(shù)小于0，m1和m2之間難以融合。同理，m2和m3也是如此。假設在MCF的作用下，強行融合m1和m2，融合成為了一個新證據(jù)體M′。由于命題可靠性增加，其磁感應強度也變得大于之前證據(jù)的磁感應強度，新形成的證據(jù)體M′與m3的證據(jù)距離更大了。M′與m3仍然不能融合。在T=5 s時刻，新證據(jù)體m4加入到系統(tǒng)中，在MCF作用下的證據(jù)之間的關系如圖4(d),M′和m4融合形成新的證據(jù)體M″。此時，m3仍然是一組沖突證據(jù)。如圖4(e)所示，與第一階段不同的是，M″命題可靠性增加和M″與m3之間的證據(jù)距離增加，但是他們之間的麥克斯韋電磁斥力減小了。同樣，在第3階段(T=10 s)，證據(jù)體m5加入系統(tǒng)時，MCF作用下的證據(jù)之間的關系如圖2(f)，M″和m5融合形成新的證據(jù)體M?。此時，m3仍然是一組沖突證據(jù)。如圖4(g)所示，顯示在MCF作用下5組證據(jù)體的最終狀態(tài)。總而言之，隨著新形成的M′、M″、M?證據(jù)可靠性增加，它們與m3之間的證據(jù)距離也增加了。

4 實際應用

(1)建立一個矩陣(MCFM)，即

(18)

式(18)中：兩個證據(jù)體mi和mj之間的麥克斯韋電磁力表示為F(mi,mj)，i=1,2，…，n，j=1,2，…，n，并且i≠j。ξ的值不被定義。

(2)計算證據(jù)之間的信任概率和證據(jù)之間的支持程度，公式為

(19)

證據(jù)主體的信任度表達式為

(20)

式(20)中：Su(mi)表示對證據(jù)體mi的支持程度。

(3)任意一個證據(jù)體mi的可信度用Crd,i來表示，定義為

(21)

(4)對上述過程得到的結果進行n-1次按照Dempster證據(jù)理論的融合規(guī)則進行融合，得出最后的結果。

在工廠日常生產中，出現(xiàn)故障是很常見的問題，在電機轉子出現(xiàn)故障需要診斷時，本文將用傳感器來采集特征信息，用傳感器1來采集加速度信息，傳感器2采集速度信息，傳感器3采集位移信息，所得原始輸出信息如表4所示。將這些傳感器獲得的數(shù)據(jù)變成證據(jù)體的BPA，傳感器獲得的信息如表5所示。

表4 傳感器的原始輸出Table 4 Raw output of the sensor

表5 多傳感器獲得的數(shù)據(jù)Table 5 Data acquired by multiple sensors

最后得到的數(shù)據(jù)對于故障事件支持的概率的大小決定和診斷結果的準確性，概率越大，最后故障診斷的結果越準確。本文中，設置概率值大于0.8就可以做出判斷，得到最后的診斷結果如表6所示。

通過比較表6和表7中的故障診斷結果，可以清晰地看出本文方法的優(yōu)點。在表6中，若只考慮0.8以上才可以做出判斷，則3個單一的證據(jù)都很難做出判斷。表7中，如果使用以上方法加上傳感器得到的證據(jù)，也很難做出正確的判斷。而本文提出的方法則可以做出更優(yōu)的判斷。

表6 3種不同類型傳感器的初始診斷結果Table6 Initial diagnostic results for three different types of sensors

表7 一些現(xiàn)有技術比較Table7 Comparison of some existing technologies

5 結論

在證據(jù)理論體系下提出了一個新的MCF概念。在D-S證據(jù)理論中，利用MCF公式表征證據(jù)之間的電磁力程度。通過證據(jù)信息融合的建模，說明融合過程中MCF的合理性。最后通過解決證據(jù)沖突管理的熱點話題，論證了該方法的應用價值。此外，在故障診斷中的應用也說明了該方法的正確性和有效性。