秦 蒙，陳良培，孟琨泰

(1.重慶電力高等?？茖W(xué)校 信息工程學(xué)院， 重慶 400053；2.中國科學(xué)院深圳先進(jìn)技術(shù)研究院 光電工程技術(shù)中心， 廣東 深圳 518055；3.河北機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 河北 邢臺 054000)

0 引言

隨著市場經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，個性化定制的市場體量正在日益擴(kuò)大，實(shí)體工業(yè)生產(chǎn)模式正在從大批量、單一化的剛性生產(chǎn)線向著小批量、多樣化、定制化的柔性生產(chǎn)線轉(zhuǎn)變。工業(yè)企業(yè)對機(jī)器人的需求不再局限于單一重復(fù)性的作業(yè)，而是希望機(jī)器人能夠在多元化工作場景中像人一樣快速轉(zhuǎn)換完成各類復(fù)雜任務(wù)。因此協(xié)作機(jī)器人應(yīng)運(yùn)而生，它可以在指定協(xié)作區(qū)域內(nèi)與人進(jìn)行交互作業(yè)，具有安全性高、通用性好、易于編程使用的特點(diǎn)[1-2]。

目前市場上的協(xié)作機(jī)器人的構(gòu)型大多采用7自由度的串聯(lián)式冗余機(jī)械臂構(gòu)型。串聯(lián)構(gòu)型的7R協(xié)作機(jī)器人長懸臂、大負(fù)載的限制，使得機(jī)器人剛?cè)狁詈献冃握`差較大[3-5]。另外，考慮制造誤差、加工誤差、控制器控制誤差以及溫度場等外界使用環(huán)境的影響使得冗余構(gòu)型的協(xié)作機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置誤差較大，絕對定位精度較低，嚴(yán)重影響了協(xié)作機(jī)器人的高精度定位作業(yè)和人機(jī)協(xié)作、人機(jī)共融的發(fā)展。

協(xié)作機(jī)器人作為典型的多輸入多輸出的非線性時(shí)變動力學(xué)系統(tǒng)，在工作過程中往往要承受非線性摩擦、可變載荷、外界未知干擾、多物理場等的動態(tài)干擾。針對協(xié)作機(jī)器人串聯(lián)多關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，傳統(tǒng)的控制策略主要有自適應(yīng)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、滑模控制(SMC)和變結(jié)構(gòu)控制等[6-10]。其中滑模變結(jié)構(gòu)控制因具有較強(qiáng)的魯棒性和對非線性、不確定動態(tài)和有界輸入擾動不敏感的特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的逼近。Yen等[11]研究了柔性機(jī)械臂在未知擾動下的期望軌跡跟蹤的非線性控制算法，基于歐拉-拉格朗日法推導(dǎo)了機(jī)械手的動力學(xué)方程，設(shè)計(jì)了非線性控制律[12]。Soltanpour等[13]提出了一種簡單的模糊滑?？刂品椒▉韺?shí)現(xiàn)對機(jī)械手的軌跡跟蹤。

考慮協(xié)作機(jī)器人剛?cè)狁詈鲜沟媚┒藞?zhí)行器產(chǎn)生較大的絕對位值誤差，單純的設(shè)計(jì)控制器將無法實(shí)現(xiàn)高精度軌跡跟蹤，必須對其進(jìn)行非線性系統(tǒng)辨識[14-17]。目前，多場耦合柔性體系統(tǒng)往往呈現(xiàn)高度非線性、強(qiáng)耦合的動力學(xué)特性，且某些耦合因素對動力學(xué)行為的影響并不明朗，導(dǎo)致動力學(xué)模型存在未知部分，加深了協(xié)作機(jī)器人動力學(xué)系統(tǒng)的非線性，影響末端絕對位置精度。針對機(jī)器人位置精度提高的方法有2種：誤差預(yù)防法和誤差補(bǔ)償法[16]。誤差補(bǔ)償法相比于誤差預(yù)防法，成本低且補(bǔ)償效果明顯，是降低機(jī)器人位置誤差的重要途徑。常用的誤差補(bǔ)償方法有運(yùn)動學(xué)標(biāo)定和非運(yùn)動學(xué)標(biāo)定。運(yùn)動學(xué)標(biāo)定主要解決的是運(yùn)動學(xué)建模時(shí)DH參數(shù)誤差(幾何誤差)，非運(yùn)動學(xué)標(biāo)定主要解決機(jī)器人的非幾何誤差，包括機(jī)器人桿件和關(guān)節(jié)的柔性變形、末端可變負(fù)載、溫度場等外力場引起的變形、變速齒輪的傳動誤差等。對于協(xié)作機(jī)器人大負(fù)載搬運(yùn)應(yīng)用領(lǐng)域，非幾何因素是影響機(jī)器人軌跡和定位精度的主導(dǎo)因素之一，因此進(jìn)行協(xié)作機(jī)器人非幾何誤差的辨識極具實(shí)際應(yīng)用意義。

針對機(jī)器人系統(tǒng)參數(shù)誤差辨識的問題，Gao等[18-19]基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行工業(yè)機(jī)器人的參數(shù)辨識。Nubiola等[20]考慮所有可能的幾何誤差和位姿參數(shù)，采用最小二乘技術(shù)和大量實(shí)驗(yàn)優(yōu)化了ABB 1600型機(jī)器人末端位置誤差。 Madsen等[21]將已知的逆動力學(xué)辨識模型與剛性機(jī)器人非線性動力學(xué)的加權(quán)最小二乘模型相結(jié)合，通過降低建模誤差來提高標(biāo)定精度，有效補(bǔ)償了轉(zhuǎn)子慣性力矩和非線性摩擦力。Qiao等[22]采用基于指數(shù)公式乘積的標(biāo)定方法，通過伴隨變換來表示2個扭轉(zhuǎn)之間的變換關(guān)系，僅依賴于參考構(gòu)型，通過一次標(biāo)定即可獲得機(jī)器人的精確運(yùn)動參數(shù)；王一等[23]通過建立柔性關(guān)節(jié)的彈性扭簧模型，將柔度誤差分解為外加負(fù)載柔度誤差和機(jī)械臂自重柔度誤差分別進(jìn)行補(bǔ)償。

剛?cè)狁詈蠣顟B(tài)下的柔性關(guān)節(jié)、柔性桿的變形誤差、控制器控制誤差、末端變載荷變空間位姿下的變誤差的影響使得協(xié)作機(jī)器人末端執(zhí)行器的軌跡跟蹤誤差較大。為了解決這些問題，以庫卡LBR協(xié)作機(jī)器人為例進(jìn)行分析，基于網(wǎng)格化工作空間原理和線性化可變負(fù)載模型對協(xié)作機(jī)器人進(jìn)行變參數(shù)誤差補(bǔ)償，基于有限元軟件建立協(xié)作機(jī)器人剛?cè)狁詈夏Ｐ?，并利用ADAMS-Matlab/Simulink聯(lián)合進(jìn)行協(xié)作機(jī)器人誤差分析與變參數(shù)補(bǔ)償算法驗(yàn)證，提高末端執(zhí)行器軌跡跟蹤精度。

1 協(xié)作機(jī)器人運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)分析

1.1 運(yùn)動學(xué)建模

協(xié)作機(jī)器人正向運(yùn)動學(xué)模型是進(jìn)行絕對位置誤差標(biāo)定的基礎(chǔ)。為了直觀地表述協(xié)作機(jī)器人關(guān)節(jié)空間位置，將各關(guān)節(jié)的坐標(biāo)系建立在對應(yīng)的關(guān)節(jié)軸上，如圖1所示。

圖1 庫卡LBR協(xié)作機(jī)器人坐標(biāo)系示意圖

正向運(yùn)動學(xué)建模方法采用改進(jìn)后的DH模型建立，具體參數(shù)如表1所示，相鄰兩連桿之間的齊次坐標(biāo)變換矩陣為：

(1)

式中:ai,bi,ci為連桿偏距;θi,αi,βi為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角共同組成改進(jìn)后的DH參數(shù)。

則協(xié)作機(jī)器人末端負(fù)載相對于基坐標(biāo)系的位置關(guān)系可以表示為：

(2)

表1 LBR協(xié)作機(jī)器人改進(jìn)的DH參數(shù)

1.2 動力學(xué)建模

通過拉格朗日方程建立機(jī)器人剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)方程。庫卡LBR協(xié)作機(jī)器人是典型的串行多關(guān)節(jié)機(jī)械臂，最終動力學(xué)模型表示為：

(3)

用拉格朗日方程展開式(3)可得任意關(guān)節(jié)p的扭矩為：

(4)

式中：L=K-P為拉格朗日函數(shù)，表示蛇機(jī)器人動能K與勢能P之差；Ii為偽慣量矩陣；mp為連桿質(zhì)量;mgp為負(fù)載質(zhì)量。

2 協(xié)作機(jī)器人控制系統(tǒng)建立

進(jìn)行協(xié)作機(jī)器人參數(shù)辨識不但需要考慮幾何和非幾何參數(shù)的影響，控制誤差也是不可忽略的因素之一。協(xié)作機(jī)器人的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個穩(wěn)定的控制器，使各關(guān)節(jié)輸出軌跡q快速準(zhǔn)確地跟蹤期望軌跡qd，即保證跟蹤誤差e在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零?；?.2節(jié)協(xié)作機(jī)器人動力學(xué)方程的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑模自適應(yīng)控制器(RSMC)，原理如圖2所示。

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模自適應(yīng)控制原理示意圖

對協(xié)作機(jī)器人動力學(xué)方程式(3)進(jìn)行滑?？刂破髟O(shè)計(jì)，假設(shè)理想角度為qd，誤差為e(t)=q-qd，則可設(shè)計(jì)滑?？刂坡蔀椋?/p>

(5)

式中:u為反饋控制律。將式(5)代入式(3)可得到：

(6)

針對以上特點(diǎn)，并結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的萬能逼近特性，可以逼近外界干擾及不確定性，并加以補(bǔ)償。因此可采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與滑模控制結(jié)合實(shí)現(xiàn)上述不確定性系統(tǒng)的控制。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于其固有的逼近能力，被廣泛用于逼近未知非線性曲線[24]。用RBF網(wǎng)絡(luò)逼近一個連續(xù)函數(shù)Vi(X)∶Rq→Rp可以表示為：

Vi(X)p×1=WTh(Xin)+ε(Xin)

(7)

式中：Xin=[x1,…xn]是網(wǎng)絡(luò)輸入；W∈Rp×q是網(wǎng)絡(luò)權(quán)值；n>1,是神經(jīng)元數(shù)量；[h1(Xin)…h(huán)q(Xin)]T∈Rq為高斯基函數(shù)；ε(Xin)為網(wǎng)絡(luò)逼近誤差。

高斯RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基函數(shù)h1(Xin)網(wǎng)絡(luò)算法為：

i=1,2,…，n

(8)

式中：Ci,bi為第i個神經(jīng)元的中心和寬度。

(9)

3 參數(shù)辨識及誤差補(bǔ)償算法

3.1 矩陣微分法誤差建模

機(jī)器人在關(guān)節(jié)空間內(nèi)的參數(shù)誤差因連桿柔性、關(guān)節(jié)柔性、自重、負(fù)載和電機(jī)控制等因素的影響，呈現(xiàn)出不均勻分布的特點(diǎn)。對于協(xié)作機(jī)器人，由于各關(guān)節(jié)參數(shù)存在誤差，根據(jù)微分變換法對相鄰連桿間的坐標(biāo)變換進(jìn)行全微分可得：

(10)

由于關(guān)節(jié)參數(shù)存在誤差，末端坐標(biāo)系相對于基坐標(biāo)系的齊次變換矩陣為：

(11)

(12)

可得協(xié)作機(jī)器人末端位置偏差ΔP為：

ΔP=PR-PN=BΔη

(13)

為求解式(13)中的參數(shù)誤差值，需要引入多個采樣點(diǎn)：

(14)

式中，n為采樣的個數(shù)。

協(xié)作機(jī)器人在關(guān)節(jié)空間內(nèi)的參數(shù)誤差因連桿的柔度、關(guān)節(jié)的柔度、控制器控制誤差、自重、負(fù)載的變化而變化。隨著協(xié)作機(jī)器人關(guān)節(jié)空間內(nèi)轉(zhuǎn)角的變化，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角會產(chǎn)生一定誤差，但同時(shí)伴隨著連桿柔度誤差、控制器控制誤差，其他參數(shù)也會產(chǎn)生一定程度的變化[26]。因此，協(xié)作機(jī)器人的各個參數(shù)誤差均可以表示成關(guān)于關(guān)節(jié)空間內(nèi)關(guān)節(jié)角的函數(shù)：

Δη=(Δθ,Δα,Δa,Δd)=f(θ1…θ7)

(15)

式中：Δη表示參數(shù)誤差的集合。因?yàn)閰f(xié)作機(jī)器人各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ1…θ7相互耦合，難以建立關(guān)節(jié)空間內(nèi)的誤差模型，因此可以將協(xié)作機(jī)器人關(guān)節(jié)空間內(nèi)的確定空間位姿轉(zhuǎn)換到工作空間進(jìn)行求解：

f(θ1…θ7)=g(x,y,z)

(16)

3.2 工作空間變參數(shù)誤差補(bǔ)償

由式(15)、(16)可知，給定關(guān)節(jié)空間或者工作空間內(nèi)的一組位姿參數(shù)就可以確定該位姿下的協(xié)作機(jī)器人參數(shù)誤差Δη。協(xié)作機(jī)器人末端執(zhí)行器在工作空間中的位姿變化較大，各個空間位姿下的連桿柔度、關(guān)節(jié)柔度、控制器控制誤差、自重等非幾何因素造成末端執(zhí)行器位置誤差分布不均。另外，協(xié)作機(jī)器人末端承受十幾千克可變負(fù)載，對末端執(zhí)行器的位置精度也具有較大影響。因此，采用單一的固定參數(shù)誤差集合Δη補(bǔ)償整個工作空間內(nèi)的位置誤差時(shí)，協(xié)作機(jī)器人末端執(zhí)行器的絕對位置精度提升有限。

采用對協(xié)作機(jī)器人工作空間進(jìn)行網(wǎng)格化的變參數(shù)誤差補(bǔ)償方法，如圖3所示。對工作空間進(jìn)行網(wǎng)格劃分，依次辨識各個網(wǎng)格內(nèi)的參數(shù)誤差Δηi，從而提高協(xié)作機(jī)器人末端執(zhí)行器在整個工作空間內(nèi)的絕對定位精度。針對協(xié)作機(jī)器人工作空間內(nèi)的單個網(wǎng)格，如圖 3所示，末端負(fù)載恒定時(shí)，協(xié)作機(jī)器人所受連桿柔度、關(guān)節(jié)柔度、控制器控制誤差、自重等非幾何因素影響非常接近，因此在小范圍內(nèi)犧牲一定程度位置精度的前提下，可采用單一參數(shù)誤差集合Δηi進(jìn)行誤差補(bǔ)償。當(dāng)負(fù)載變化時(shí)，在單個網(wǎng)格內(nèi)協(xié)作機(jī)器人可以簡化為線彈性懸臂梁結(jié)構(gòu)(忽略隨機(jī)誤差的影響)，因此其末端的位置誤差可以等效為：

Δx=kamg+Δx0

(17)

式中：Δx為空間位置誤差；ka為位置誤差系數(shù)；Δx0為零負(fù)載下的位置誤差。

圖3 工作空間網(wǎng)格化原理示意圖

同理，可以得到關(guān)節(jié)空間內(nèi)變負(fù)載下的一組參數(shù)誤差矩陣為：

(18)

根據(jù)上述分析可知，單個網(wǎng)格劃分得越小，協(xié)作機(jī)器人所受連桿柔度、關(guān)節(jié)柔度、控制器控制誤差、自重等非幾何因素影響越接近，單個網(wǎng)格內(nèi)的協(xié)作機(jī)器人線彈性懸臂梁結(jié)構(gòu)相似度越高，從而末端執(zhí)行器在整個工作空間內(nèi)的絕對定位精度越高。

3.3 參數(shù)誤差求解流程

采用非線性阻尼最小二乘算法中的Levenberg-Marquardt (LM)算法進(jìn)行協(xié)作機(jī)器人參數(shù)誤差求解。LM 算法是使用最廣泛的一種優(yōu)化算法，其最終目標(biāo)是尋找一組使函數(shù)具有最小值的參數(shù)向量，是利用梯度來求極值的算法。相較于高斯牛頓法與梯度下降法，LM算法既有梯度下降法的全局搜索、快速尋優(yōu)的能力，也具有高斯牛頓法的快速收斂到最優(yōu)解的能力，在處理冗余參數(shù)問題時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢，在參數(shù)求解時(shí)能有效避免陷入局部最優(yōu)，處理復(fù)雜問題的效率也較高。

高斯牛頓法的迭代式為：

xk+1=xk+hgn

(19)

xk+1=xk+H-1▽f

(20)

(21)

式中：▽f為雅可比矩陣;H為海塞矩陣。因此：

(22)

Levenberg-Marquardt算法是對高斯牛頓的改進(jìn)，在迭代步長上略有不同：

(23)

根據(jù)機(jī)器人具體結(jié)構(gòu)和理論結(jié)構(gòu)參數(shù)對雅克比矩陣及其他參數(shù)進(jìn)行初始化，ε>0，α1>m>0，0≤p0≤p1≤p2≤1，k=1。LM算法的每次迭代主要包括5部分：

步驟1建立目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)式(39)可得ΔP=PR-PN=BΔη，式中ΔP為末端空間位置偏差；Δη為待求的參數(shù)誤差向量；

步驟2 根據(jù)機(jī)器人具體結(jié)構(gòu)和理論結(jié)構(gòu)參數(shù)對雅克比矩陣及其他參數(shù)進(jìn)行初始化，確定尋優(yōu)初始值Δη，終止控制常數(shù)ε≥0，并根據(jù)初值Δη計(jì)算第k次迭代時(shí)的當(dāng)前空間位置誤差ΔP；

步驟3根據(jù)第k次估計(jì)值計(jì)算第k次迭代時(shí)雅可比矩陣J(xk)；并利用阻尼最小二乘法求解參數(shù)誤差矩陣：

Δxk=-(JT(xk)J(xk)+λkI)-1JT(xk)ΔP(xk)

(24)

式中：k表示迭代次數(shù)；Δxk表示第k次迭代時(shí)的參數(shù)誤差改變值；xk表示第k次迭代的參數(shù)誤差；λk表示第k次迭代時(shí)的阻尼因子。

(25)

計(jì)算更新參數(shù)誤差矩陣后第k+1次迭代時(shí)的機(jī)器人當(dāng)前空間位置誤差:

ΔP(xk-Δxk)=PR-PN(xk-Δxk)

(26)

計(jì)算第k次迭代時(shí)實(shí)際下降量ΔFk與預(yù)估下降量ΔLk的比值qk:

(27)

(28)

定義實(shí)際下降量ΔFk和預(yù)估下降量ΔLk的比值qk來監(jiān)控步長的質(zhì)量：

(29)

步驟4更新迭代參數(shù)。

預(yù)估下降量ΔLk>0是人為構(gòu)造，因此，若qk很小或者為負(fù)值，說明迭代失效，此時(shí)xk+Δxk不能作為下一個迭代點(diǎn)，須增大阻尼因子λk、減小步長xk-Δxk，進(jìn)行重新求解以便下次迭代時(shí)更接近于梯度下降法。實(shí)現(xiàn)全局搜索；若qk很大，此時(shí)迭代有效，可以減小阻尼因子λk，增大步長xk-Δxk，以便下次迭代時(shí)算法更接近高斯牛頓算法，實(shí)現(xiàn)快速收斂到最優(yōu)解，其他情況下阻尼因子λk與迭代步長不變。由此可得第k次迭代參數(shù)更新法則。

第k+1次參數(shù)誤差矩陣更新法則：

(30)

第k+1次阻尼因子更新法則：

(31)

k=k+1

(32)

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證RSMC控制器對協(xié)作機(jī)器人剛?cè)狁詈夏Ｐ蛙壽E跟蹤精度，以及LM變參數(shù)誤差補(bǔ)償算法的效果，在Matlab/Simulink環(huán)境下對RSMC控制器進(jìn)行建模，并結(jié)合ADAMS動力學(xué)分析軟件建立協(xié)作機(jī)器人三維動力學(xué)模型，利用ANASYS軟件有限元軟件對協(xié)作機(jī)器人剛性連桿進(jìn)行柔性化處理實(shí)現(xiàn)剛?cè)狁詈下?lián)合仿真。協(xié)作機(jī)器人基座連桿變形較小，剩余連桿為鋁合金材料變形較大，設(shè)定第一關(guān)節(jié)后的鋁合金連桿彈性模量70 GPa，泊松比為0.3，進(jìn)行柔性化處理，可得如圖4所示機(jī)電一體化仿真模型結(jié)構(gòu)。剛?cè)狁詈系淖冃谓Y(jié)果如圖5所示。

圖4 協(xié)作機(jī)器人機(jī)電一體化仿真模型結(jié)構(gòu)

圖5 剛?cè)狁詈系淖冃谓Y(jié)果

4.1 RSMC控制器控制效果

給定關(guān)節(jié)2正弦曲線控制信號如圖 6(a)，設(shè)定末端執(zhí)行器不同負(fù)載(0～6 kg)進(jìn)行RSMC控制器控制性能仿真，仿真時(shí)序如圖5所示，結(jié)果如圖6所示。分析結(jié)果可得：仿真過程中關(guān)節(jié)扭矩輸出平穩(wěn)，僅起始階段存在阻尼振蕩；極限工況下關(guān)節(jié)角位移最大跟蹤誤差約為0.008 rad，平均角位移誤差約為0.000 1 rad，末端執(zhí)行器沿Z軸最大位置誤差約為7 mm，平均位置誤差約為 4.7 mm，主要來自于協(xié)作機(jī)器人柔性連桿自重和末端負(fù)載引起的沿Z軸的位置誤差?？偟膩碚f，設(shè)計(jì)的RSMC控制器性能較好，位置誤差較小。

圖6 基于RSMC控制器協(xié)作機(jī)器人剛?cè)狁詈戏抡娼Y(jié)果

4.2 LM算法位置誤差補(bǔ)償修正

將協(xié)作機(jī)器人工作空間沿基坐標(biāo)系Y軸均勻分成1、4和8份，分別利用LM算法、網(wǎng)格化工作空間和線性化可變負(fù)載模型進(jìn)行變參數(shù)誤差補(bǔ)償。不同末端負(fù)載下(0～6 kg)各網(wǎng)格化的工作空間內(nèi)補(bǔ)償參數(shù)如表2、3所示，將補(bǔ)償參數(shù)代入RSMC控制器重新仿真，結(jié)果如圖7—9所示。負(fù)載越大，關(guān)節(jié)角誤差、末端位置誤差越大。補(bǔ)償后協(xié)作機(jī)器人極限工況下關(guān)節(jié)角平均誤差小于0.002 rad，沿Z末端平均位置誤差小于0.2 mm，大大降低了末端位置誤差補(bǔ)償，效果明顯。圖7—9中，在起始、終止以及中間時(shí)刻(25 s)的位置誤差較大，主要是該區(qū)域誤差值的變化范圍較大、網(wǎng)格化工作空間較為稀疏導(dǎo)致，可進(jìn)一步細(xì)化網(wǎng)格以提高位置精度。

4.3 線性化變負(fù)載補(bǔ)償

將同一空間網(wǎng)格下不同負(fù)載的參數(shù)誤差補(bǔ)償值繪制成曲線圖，如圖10所示，發(fā)現(xiàn)同一空間網(wǎng)格不同負(fù)載下的參數(shù)誤差補(bǔ)償值與負(fù)載成線性關(guān)系。通過計(jì)算斜率即可得到各種負(fù)載質(zhì)量下的位值誤差補(bǔ)償值。

表2 工作空間4網(wǎng)格位置下的補(bǔ)償值 rad

表3 工作空間8網(wǎng)格位置下的補(bǔ)償值 rad

圖8 協(xié)作機(jī)器人3 kg負(fù)載變參數(shù)誤差補(bǔ)償結(jié)果

圖9 協(xié)作機(jī)器人6 kg負(fù)載變參數(shù)誤差補(bǔ)償結(jié)果

圖10 線性化可變負(fù)載補(bǔ)償

5 結(jié)論

基于協(xié)作機(jī)器人剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型，設(shè)計(jì)了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑模自適應(yīng)控制器。通過ADAMS-Matlab/Simulink聯(lián)合仿真驗(yàn)證了控制器的效果。分析了協(xié)作機(jī)器人剛?cè)狁詈夏Ｐ蜆O限位姿下的軌跡跟蹤誤差。結(jié)果表明：極限位姿下協(xié)作機(jī)器人剛?cè)狁詈夏Ｐ湍┒藞?zhí)行器位置誤差極值約為7 mm，平均誤差約為4.7 mm。其誤差來源主要是控制誤差、懸臂狀態(tài)下沿Z軸負(fù)載及自重造成的協(xié)作機(jī)器人桿件變形誤差。為了補(bǔ)償位置誤差，基于L-M非線性阻尼最小二乘法，結(jié)合空間網(wǎng)格和線性化可變負(fù)載模型推導(dǎo)了協(xié)作機(jī)器人工作空間變參數(shù)誤差補(bǔ)償算法。通過聯(lián)合仿真驗(yàn)證了軌跡跟蹤誤差補(bǔ)償效果，結(jié)果表明，變參數(shù)誤差補(bǔ)償算法大大降低了協(xié)作機(jī)器人極限位姿下的軌跡跟蹤誤差，極限位置下的平均位置誤差小于0.2 mm。其中，起始、終止以及中間時(shí)刻(25 s)的位置誤差較大，該區(qū)域誤差值變化較大，通過細(xì)化網(wǎng)格密度可進(jìn)一步提高位置精度。所提方法可為協(xié)作機(jī)器人控制器的設(shè)計(jì)和剛?cè)狁詈夏Ｐ臀恢谜`差補(bǔ)償?shù)难芯刻峁﹨⒖肌?/p>