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一題多解,各美其美
——以一道幾何題的解法探究為例

2023-03-14 02:23:04宿城第一初級中學(xué)
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2023年4期
關(guān)鍵詞:共圓一題中點

宿城第一初級中學(xué)

劉旭東 饒磊磊

一題多解,就是在不同視角下對問題進(jìn)行剖析與探究.一題多解,既有助于開闊解決問題的思路,提高解決問題的能力,又可以最大限度地挖掘?qū)W生已有知識的潛在能力;它有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力,發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

本文主要探究下列問題第(2)問的解法,剖析其解決的策略以及對教學(xué)的啟迪,以供各位同仁參考,并歡迎指正.

1 問題呈現(xiàn)

圖1

問題如圖1,點E,F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊AB,BC的中點,DE與AF交于點H,連接BH.

(1)寫出線段DE與AF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并證明;

(2)求∠BHD的度數(shù).

2 思路分析

該題是由北師大版九年級上冊“正方形”這一節(jié)例題改編而來,以正方形為背景考查兩條線段之間的關(guān)系及求角的度數(shù).對于第(1)小問,我們可以通過證明△ADE≌△BAF,得DE=AF,∠EAF=∠EDA,∠AED=∠BFA,進(jìn)一步可得∠EHA=90°,從而AF與DE垂直且相等;第(2)問求角的度數(shù),思考的角度較多,可以直接求解,亦可考慮用該角和其他角的關(guān)系,利用三角函數(shù)等方法求解.第(2)問思路寬,解法多,極具探究價值,具體策略如下.

圖2

3 特色解法

策略一:將∠BHD放到四邊形DCBH中,靈活利用其內(nèi)角間的關(guān)系進(jìn)行求解.

解法1:如圖2,延長AF至點M,使得FM=AF,連接CM,HC,易證△ABF≌△MCF.

故∠BCM=90°,即點D,C,M共線,且AB=MC=DC,從而得到點C為DM的中點.

由(1)知AF⊥DE,即∠MHD=90°.

由DC=BC,得HC=BC.

故∠CBH=∠CHB,∠CHD=∠CDH.

因為∠BCD+∠CDH+∠DHB+∠CBH=360°,所以∠CDH+∠DHB+∠CBH=270°.

即∠CBH+∠BHC+∠CHD+∠CDH=270°.

故∠BHC+∠CHD=135°,從而∠BHD=135°.

圖3

解法2:如圖3,取AD的中點G,連接HG,GC.

易證△ABF≌△CDG.

于是AF=GC.又因AG=FC,所以四邊形AGCF為平行四邊形,則AF∥GC.

由(1)知AF⊥DE,則GC⊥ED.

又易得HG=DG,所以GC是線段HD的垂直平分線,故HC=DC=BC.

故∠CBH=∠BHC,∠CHD=∠CDH.

因為∠BCD+∠CDH+∠DHB+∠CBH=360°,

所以∠CDH+∠DHB+∠CBH=270°.

即∠CBH+∠BHC+∠CHD+∠CDH=270°.

故∠BHC+∠CHD=135°,從而∠BHD=135°.

策略二:利用四點共圓來找到已知角和未知角的關(guān)系,從而到達(dá)事半功倍的效果.

圖4

解法3:如圖4,連接EF,取EF的中點O,連接BO,HO.

因為△BEF為等腰直角三角形,△EHF為直角三角形,所以BO=HO=OF.

即點B,H,F(xiàn)在以O(shè)為圓心OB為半徑的圓上.

易得∠BHD=∠BHF+∠FHD=135°,即∠BHD=135°.

圖5

解法4:如圖5,延長AF至點M,使得FM=AF,連接CM,HC.易證△ABF≌△MCF,則∠BCM=90°.

所以點D,C,M共線,且AB=MC=DC,則點C為DM的中點.

由(1)知AF⊥DE,即∠MHD=90°.

由DC=BC,得HC=BC.

由DC=BC=HC=CM,得點D,H,B,M在以點C為圓心,以CD為半徑的圓上.

因為∠BCD=90°,所以優(yōu)弧BD所對的圓心角為270°,進(jìn)而∠BHD=135°.

圖6

解法5:如圖6,由(1)知AF⊥DE,即∠EHF=90°.

又由∠ABC=90°,可得

∠ABC+∠EHF=180°.

所以四邊形BEHF對角互補(bǔ).

因此B,E,H,F(xiàn)四點共圓.

于是∠BHF=∠BEF=45°.

故∠BHD=135°.

策略三:由第(1)問可知,AF與DE垂直,所以∠FHD=90°,所以求解∠BHD可轉(zhuǎn)化為求解∠BHF;利用∠BHD與∠EHB的互補(bǔ)關(guān)系,亦可將問題轉(zhuǎn)化為求∠EHB.而求∠BHF或∠EHB可以放到等腰直角三角形或者正方形中.

圖7

解法6:如圖7,連接EF,取EF的中點O,連接BO,HO.

由△EBF為等腰直角三角形,△EHF為直角三角形,得BO=HO=EO=OF,△BOF為等腰直角三角形.

所以∠OBH=∠OHB,∠OHF=∠OFH,∠OBF+∠OFB=90°.

又因為∠BHF+∠HBF+∠HFB=180°,所以可得2∠OHB+2∠OHF+∠OBF+∠OFB=180°.

所以∠OHB+∠OHF=45°,即∠BHF=45°,∠BHD=∠BHF+∠FHD=135°.

故∠BHD=135°.

解法7:如圖8,作BM∥AF,HM⊥BM,BN⊥AF.易證四邊形BMHN為矩形,△AHE≌△BNF,△BME≌△AHE.

故BM=AH=BN,即四邊形BMHN為正方形.

由∠BHF=∠BHE=45°,得

∠BHD=∠BHF+∠FHD=135°.

圖8

圖9

解法8:如圖9,延長DE,CB交于點O,作MB⊥HB交DE延長線于點M.易證△OBE≌△DAE,△OBM≌△ABH,△MBH為等腰直角三角形.

故∠MHB=45°,即∠BHD=135°.

圖10

解法9:如圖10,作BQ⊥HB交AF的延長線于點Q.

由∠HBQ=90°,可得

∠HBF+∠FBQ=90°.

又∠ABC=90°,則有

∠HBF+∠ABH=90°,

∠ABC+∠EHF=180°.

所以∠ABH=∠FBQ,∠BEH+∠BFH=180°.

又因為∠BFQ+∠BFH=180°,所以可得

∠BEH=∠BFQ.

又因為BF=BE,所以△EHB≌△FQB.

于是BQ=BH,即△BHQ為等腰直角三角形.

所以∠BHQ=45°.

故∠BHD=∠BHF+∠FHD=135°.

4 結(jié)語

本題可以從特殊的三角形、四邊形相關(guān)知識、四點共圓、圖形的運動等方面進(jìn)行思考,此外,亦可用坐標(biāo)、向量、三角函數(shù)等方法.題目的多角度思考大大激發(fā)了學(xué)生的發(fā)散性思維.在教學(xué)中,適當(dāng)?shù)貙栴}進(jìn)行延伸、拓展,可以拓寬知識點間的橫向聯(lián)系,可以加深學(xué)生對知識的縱向認(rèn)識,從而變孤立題目或單個題目的教學(xué)為對一類問題的學(xué)習(xí).

一個問題可能有多種解法,我們要學(xué)會從多角度來思考問題、分析問題、解決問題,做到融會貫通,舉一反三.解題教學(xué)要立足課標(biāo)、教材,關(guān)注核心知識、基本圖形,加深對圖形結(jié)構(gòu)的理解,加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,加強(qiáng)思維引導(dǎo).在過程性教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的探究意識,使得解法自然生成,真正將知識落到實處.引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題目的特點一題多解,一題多變,拓寬思路,幫助學(xué)生在變式訓(xùn)練中發(fā)展思維的靈活性與發(fā)散性,提升解題能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)洞察力,引領(lǐng)并促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在平時的教學(xué)中落地生根.

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