內(nèi)蒙古包頭市昆都侖區(qū)教育教學(xué)研究中心

吳寶巖

傳統(tǒng)“教學(xué)中對(duì)問(wèn)題的解決只是展現(xiàn)解法、展現(xiàn)思路，但對(duì)思路的尋找過(guò)程以及為什么要這樣解決、怎樣想到這樣方法的動(dòng)態(tài)思維重視不夠，對(duì)解決問(wèn)題中思維與策略的自然性與合理性揭示不夠.”[1]下面筆者以折疊問(wèn)題為例，談?wù)勥\(yùn)用生長(zhǎng)數(shù)學(xué)教學(xué)理念，讓學(xué)生在解決問(wèn)題中生成動(dòng)態(tài)思維的一些思考.

1 “找準(zhǔn)生長(zhǎng)點(diǎn)”和“選好生長(zhǎng)路徑”

1.1 常見(jiàn)“點(diǎn)對(duì)點(diǎn)式”問(wèn)題呈現(xiàn)

圖1

原題1(2014安順)如圖1，矩形ABCD沿著對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC′交AD于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，則DE的長(zhǎng)為.

這是一道典型的折疊問(wèn)題，學(xué)生只要發(fā)現(xiàn)BE=DE(或由教師啟發(fā)得到)，運(yùn)用勾股定理計(jì)算就可以得到答案.

解：設(shè)DE=x，則AE=8-x．

根據(jù)折疊的性質(zhì)，得∠EBD=∠CBD．

因?yàn)锳D∥BC，所以∠CBD=∠ADB．

因此∠EBD=∠EDB．于是BE=DE=x．

在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，得

x2=(8-x)2+16.

解得x=5．

故DE=5.

通常在接下來(lái)的教學(xué)過(guò)程中就會(huì)進(jìn)行類似問(wèn)題的變式訓(xùn)練，以求通過(guò)刷題獲得解題技能.

本題的解題關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)“BE=DE”這一特殊關(guān)系，或者說(shuō)這一類問(wèn)題的解題模式是“先發(fā)現(xiàn)結(jié)論，后計(jì)算答案”，即“先定性分析、后定量分析”.“發(fā)現(xiàn)結(jié)論”進(jìn)行定性分析就是學(xué)生動(dòng)態(tài)思維生成的過(guò)程.既然“發(fā)現(xiàn)結(jié)論”比“計(jì)算答案”更重要，不妨把問(wèn)題設(shè)置為開(kāi)放式問(wèn)題，讓學(xué)生去“發(fā)現(xiàn)”，在“發(fā)現(xiàn)”中學(xué)會(huì)思考，在“發(fā)現(xiàn)”中摸索解決問(wèn)題的方法，在“發(fā)現(xiàn)”中生長(zhǎng)自己的數(shù)學(xué).

1.2 “定性把握與定量刻畫(huà)”[2]

改變問(wèn)題情境，設(shè)置“生長(zhǎng)點(diǎn)”，“選好生長(zhǎng)路徑”，以“發(fā)現(xiàn)”為課堂主旋律.重新設(shè)計(jì)教學(xué)如下：

原題1改編：如圖1，矩形ABCD沿著對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC′交AD于點(diǎn)E.

(1)根據(jù)已知條件，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？(先定性把握)

(2)若AD=8，AB=4，則可以計(jì)算出哪些量？(后定量刻畫(huà))

先只出示并研究第(1)問(wèn)：根據(jù)已知條件，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？

圖2

學(xué)生在獨(dú)立思考后，得到△ABE≌△C′DE,進(jìn)而得到BE=DE(△EBD等腰三角形)，AE=EC′(△AEC′等腰三角形)，更有學(xué)生提出如果連接AC′，如圖2，能得到AC′∥BD，∠AC′E=∠EBD，∠C′AE=∠EDB，△AC′E∽△DBE等結(jié)論.

在學(xué)生發(fā)現(xiàn)了諸多結(jié)論后，再給出第(2)問(wèn)：若AD=8，AB=4，則可以計(jì)算出哪些量？

圖3

“先定性分析、后定量分析”既是生長(zhǎng)點(diǎn)，也生長(zhǎng)路徑.

2 解決折疊問(wèn)題的幾種策略

2.1 將原來(lái)的單一問(wèn)題設(shè)計(jì)成開(kāi)放性問(wèn)題

學(xué)生在思考問(wèn)題時(shí)，如果不受問(wèn)題約束，思維會(huì)更發(fā)散、更開(kāi)闊.學(xué)生連接AC′，CC′后，能發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證AC′∥BD, 并且能計(jì)算出AC′，CC′的長(zhǎng)等“新結(jié)論”，足以說(shuō)明問(wèn)題，且在求解CC′長(zhǎng)的過(guò)程中一題多解，方法靈活多樣.學(xué)生對(duì)兩個(gè)定點(diǎn)所連線段的位置與數(shù)量的確定性有了認(rèn)知，使得以往“點(diǎn)對(duì)點(diǎn)式”思維變?yōu)椤包c(diǎn)對(duì)面式”發(fā)散思維，這對(duì)今后解題將帶來(lái)巨大的影響.

2.2 設(shè)置階梯，讓無(wú)意注意向有意注意轉(zhuǎn)化

針對(duì)原題1改編題的第(1)問(wèn)，大部分學(xué)生都可以發(fā)現(xiàn)“新結(jié)論”，最容易被發(fā)現(xiàn)的是邊和角的條件，其次是三角形以及三角形全等、相似等.教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)獲得條件的先后和難易梳理分析問(wèn)題的思維鏈條：

學(xué)生在教師引導(dǎo)下，思考問(wèn)題從無(wú)意注意向有意注意聚焦思維.

2.3 改變問(wèn)題結(jié)構(gòu)，探究新的結(jié)論

運(yùn)用發(fā)現(xiàn)法引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”解決問(wèn)題的一般規(guī)律：先定性分析，后定量計(jì)算.這個(gè)順序也是我們解題中經(jīng)常用到的，即先根據(jù)題目的已知條件分析可能得到的潛在結(jié)論，然后在諸多“新結(jié)論”下重新組合條件來(lái)深入分析問(wèn)題.在圖3中，如果能夠分析出兩個(gè)三角形相似或者可用勾股定理時(shí)，就可以結(jié)合給定的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算.同樣，我們針對(duì)原題2做相應(yīng)改編.

圖4

原題2(2019大連)如圖4，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF，若AB=4，BC=8．則D′F的長(zhǎng)為．

原題2改編：如圖4，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF.

(1)根據(jù)已知條件，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？(先定性分析)

(2)若AB=4，BC=8，則可以計(jì)算出哪些量？(后定量分析)

如圖4，學(xué)生發(fā)現(xiàn)△AEF是等腰三角形.

如圖5，若連接AC,交EF于點(diǎn)O,則△AFO和△CEO全等，且AC和EF互相平分.連結(jié)FC，如圖6，于是有四邊形AECF是平行四邊形.

圖5

圖6

圖7

圖8

也有學(xué)生指出，求DD′的長(zhǎng)可以借助△DD′F和△ACF相似來(lái)實(shí)現(xiàn)，△DD′F和△ACF都是等腰三角形且對(duì)頂角∠D′FD=∠AFC.但馬上有學(xué)生指出，點(diǎn)C，F(xiàn)，D′三點(diǎn)不一定共線，即∠D′FD=∠AFC不能成立.有學(xué)生補(bǔ)充：△AD′F和△CDF全等，∠AFD′=∠CFD，而點(diǎn)A，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線,可知點(diǎn)C，F(xiàn)，D′三點(diǎn)共線，所以∠D′FD=∠AFC.

“一石激起千層浪”， 對(duì)于學(xué)生連接AC和DD′，通過(guò)證明AC∥DD′來(lái)計(jì)算DD′長(zhǎng)的過(guò)程中出現(xiàn)的關(guān)于三點(diǎn)是否共線的問(wèn)題，雖是小意外，但卻引發(fā)學(xué)生更深層次的思考.原題2改編題的教學(xué)設(shè)計(jì)初衷本來(lái)是模仿原題1的改編題訓(xùn)練思維，不曾想學(xué)生的思維一旦被激活，就像飛出牢籠的鳥(niǎo)兒，在數(shù)學(xué)的天空中自由翱翔！

2.4 課堂教學(xué)的終極目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生思維

對(duì)于學(xué)生連接AC和DD′，通過(guò)證明AC∥DD′來(lái)計(jì)算出DD′的長(zhǎng)這個(gè)新發(fā)現(xiàn)，教師及時(shí)引導(dǎo)設(shè)問(wèn)：你是怎么發(fā)現(xiàn)AC∥DD′？學(xué)生結(jié)合原題1改編題第(2)問(wèn)中連接AC′后發(fā)現(xiàn)AC′∥BD，從而在圖8中猜想AC和DD′是否會(huì)平行并設(shè)法證明.對(duì)于DD′長(zhǎng)度的計(jì)算，雖然與計(jì)算AC′長(zhǎng)度的方法不同，但由于點(diǎn)D和點(diǎn)D′的位置確定，所以堅(jiān)信必定有辦法能計(jì)算出來(lái).

至此，開(kāi)放性問(wèn)題的設(shè)置充分釋放了學(xué)生的思維，發(fā)散、發(fā)現(xiàn)的觸角無(wú)所不往.發(fā)現(xiàn)法教學(xué)的模式讓學(xué)生打開(kāi)數(shù)學(xué)的大門，在數(shù)學(xué)的天地里自由馳騁，不斷發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，再加之教師追問(wèn)“怎么得到的”“怎么想到的”更是讓學(xué)生進(jìn)入大徹大悟的境界.

布魯納認(rèn)為，學(xué)習(xí)知識(shí)的最佳方式是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí).這就要求在教學(xué)過(guò)程中實(shí)現(xiàn)由教師的“教”轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的“學(xué)”，由“尋求單一答案”轉(zhuǎn)變?yōu)椤鞍l(fā)現(xiàn)可能的結(jié)論”.這樣一來(lái)，就將傳統(tǒng)教學(xué)中解決單一答案的“點(diǎn)式”問(wèn)題變?yōu)榻鉀Q“面式”的開(kāi)放性問(wèn)題，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立分析探究、發(fā)現(xiàn)結(jié)論、掌握原理和規(guī)律.

由此，創(chuàng)設(shè)情境，給學(xué)生探究的時(shí)間和空間，思維的空氣、水和土壤，就能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、生長(zhǎng)數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)課堂經(jīng)過(guò)這樣的設(shè)計(jì)，才能真正發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).