洪佩龍，易明芳

（安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133）

光學(xué)在現(xiàn)代信息技術(shù)、先進(jìn)制造和精密測(cè)量等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，已成為推動(dòng)科技進(jìn)步和社會(huì)發(fā)展的關(guān)鍵驅(qū)動(dòng)力[1-2]。隨著光學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，世界主要?jiǎng)?chuàng)新型國(guó)家對(duì)光學(xué)技術(shù)人才的需求日益迫切，產(chǎn)業(yè)界亦面臨著光學(xué)技術(shù)人才短缺的困境[3]。近年來(lái)，我國(guó)施行“新工科”教育改革，對(duì)培養(yǎng)光學(xué)領(lǐng)域創(chuàng)新型人才提出了更高要求[4-6]。在這一背景下，光學(xué)人才的培養(yǎng)既要深化理論功底，又要緊扣工程創(chuàng)新能力[7-8]。然而，傳統(tǒng)光學(xué)課堂往往偏重基礎(chǔ)理論的傳授，而缺乏對(duì)理論知識(shí)與工程應(yīng)用聯(lián)系的討論[9-10]。因此，在光學(xué)教學(xué)中，引入既具有理論深度又能與工程實(shí)際相結(jié)合的案例成為新的挑戰(zhàn)。

光場(chǎng)干涉是光學(xué)課程的核心概念[11]。光場(chǎng)干涉教學(xué)一般從最基礎(chǔ)的兩路徑疊加出發(fā)，講清楚楊氏雙縫干涉、邁克爾遜干涉儀、牛頓環(huán)等；然后深入到多路徑疊加，講解多縫光柵、法布里珀羅干涉儀、薄膜干涉等。無(wú)論是在兩路徑疊加還是在多路徑疊加中，光學(xué)路徑間的相對(duì)相位是決定和分析干涉增強(qiáng)或減弱的關(guān)鍵。這一關(guān)鍵點(diǎn)也體現(xiàn)在光子學(xué)前沿研究中，為了將散射光場(chǎng)匯聚到某一特定的觀(guān)測(cè)點(diǎn)，必須使得多條散射路徑間的相位差為2π的整數(shù)倍。目前，先進(jìn)的波前整形技術(shù)正是基于該原理，先通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定散射路徑間的相位差，然后利用光場(chǎng)調(diào)控設(shè)備來(lái)補(bǔ)償該相位差，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)散射光的聚焦。

此外，光場(chǎng)干涉也是眾多先進(jìn)光子學(xué)技術(shù)所涉及的基本原理，包括光譜探測(cè)、表面形貌精密測(cè)量、光學(xué)成像等。然而，在實(shí)際光學(xué)裝置中，噪聲會(huì)不可避免地影響實(shí)驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果，并在很大程度上決定著光學(xué)裝置的靈敏度乃至可行性[12]。盡管傳統(tǒng)課堂對(duì)光場(chǎng)干涉基本原理的講解較為詳實(shí)，但對(duì)干涉特性與噪聲內(nèi)在聯(lián)系的討論尚有欠缺。為此，本文將光學(xué)前沿研究中的散射光聚焦引入到課程教學(xué)中，并基于仿真實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)地探討噪聲對(duì)聚焦效果的影響，以期闡明噪聲對(duì)光學(xué)干涉裝置的重要作用。該案例結(jié)合光學(xué)前沿來(lái)探究光學(xué)干涉中的噪聲因素，一方面引導(dǎo)學(xué)生將理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，從而培養(yǎng)學(xué)生的工程思維；另一方面促使學(xué)生將課本知識(shí)和前沿研究聯(lián)系起來(lái)，從而形成對(duì)光子學(xué)技術(shù)中非理想因素進(jìn)行系統(tǒng)性思考的習(xí)慣，并最終促進(jìn)高水平光學(xué)人才的培養(yǎng)。

1 散射光場(chǎng)聚焦的基本理論

無(wú)序介質(zhì)是指結(jié)構(gòu)具有一定無(wú)序度的材料，在自然界中廣泛存在，如生物組織、云層、墻面等。光在無(wú)序介質(zhì)中傳播時(shí)，會(huì)經(jīng)歷多重散射過(guò)程，最終在出射端呈現(xiàn)出散斑現(xiàn)象；實(shí)現(xiàn)散射光場(chǎng)聚焦是復(fù)雜光場(chǎng)調(diào)控領(lǐng)域的前沿?zé)狳c(diǎn)問(wèn)題[13]。目前，波前整形技術(shù)是實(shí)現(xiàn)散射光場(chǎng)聚焦的核心技術(shù)，其基本原理為光學(xué)課程中重點(diǎn)講述的多路徑干涉增強(qiáng)。本文首先闡述了波前整形的工作原理，隨后討論了實(shí)際裝置中噪聲對(duì)散射光聚焦效果的影響。

光場(chǎng)的多重散射是一個(gè)線(xiàn)性光學(xué)過(guò)程，可以用散射矩陣來(lái)描述。假設(shè)將入射光場(chǎng)和透射端散射光的每一個(gè)空間模式按順序排列，分別構(gòu)成列矢Ein和Eout。如果入射端可調(diào)的空間模式數(shù)目為N，則Ein為一個(gè)包含N個(gè)元素的列矢。同理，列矢Eout大小取決于出射端光場(chǎng)的空間模式數(shù)目。那么，可以引入一個(gè)二維透射矩陣T來(lái)描述無(wú)序介質(zhì)對(duì)光場(chǎng)的散射，而且透射端和入射端散射光場(chǎng)存在如下數(shù)學(xué)關(guān)系[14]：

其中，針對(duì)無(wú)序散射介質(zhì)，透射矩陣T的每一個(gè)矩陣元是隨機(jī)且滿(mǎn)足高斯分布的復(fù)數(shù)[14]。

從公式（1）可知，Eout的一個(gè)元素表示某一出射位置的散射光場(chǎng)，由Ein中的不同入射模式經(jīng)過(guò)T所表示的不同散射路徑疊加形成。由于這些散射路徑之間的相位隨機(jī)分布，散射光場(chǎng)表現(xiàn)為明暗不同且無(wú)序的散斑，其光強(qiáng)滿(mǎn)足瑞利分布。為了實(shí)現(xiàn)散射光的聚焦，一般通過(guò)控制入射光的復(fù)振幅分布來(lái)實(shí)現(xiàn)：

其中，Etar代表在目標(biāo)位置產(chǎn)生聚焦點(diǎn)的目標(biāo)列矢量，T+是T的轉(zhuǎn)置共軛矩陣。這時(shí)，將Efoc代入公式（1）的入射列矢Ein，則不同散射路徑之間的相位保持一致，并產(chǎn)生多路徑干涉增強(qiáng)。

因?yàn)門(mén)通常不是完備的散射矩陣，所以散射光的聚焦并不完美。經(jīng)過(guò)波前整形，散射光場(chǎng)除了會(huì)在目標(biāo)位置產(chǎn)生一個(gè)干涉增強(qiáng)的聚焦點(diǎn)，其它位置依然會(huì)存在如圖1所示的剩余散斑。此外，在波前整形裝置中，光場(chǎng)調(diào)控設(shè)備如空間光調(diào)制器往往只控制入射光的波前相位，而不是復(fù)振幅，因而在入射光波前引入了額外的誤差，從而導(dǎo)致剩余散斑進(jìn)一步增強(qiáng)。為了表征散射光的聚焦效果，一般采用聚焦位置光強(qiáng)的增強(qiáng)倍數(shù)來(lái)定量描述，即聚焦增強(qiáng)系數(shù)η：

圖1 基于波前整形實(shí)現(xiàn)的散射光聚焦

其中，Ifoc是經(jīng)波前整形后目標(biāo)位置聚焦點(diǎn)的光強(qiáng)大小，Ibg是目標(biāo)位置散斑光強(qiáng)的系綜平均值。為了得到系綜平均后的透射光場(chǎng)，可在入射光加載若干個(gè)隨機(jī)波前，對(duì)獲得的透射光強(qiáng)求平均。根據(jù)平均透射場(chǎng)分布，可得到目標(biāo)位置的系綜平均值Ibg。如果在波前整形中只控制入射光的波前相位，那么多次實(shí)驗(yàn)得到的聚焦增強(qiáng)系數(shù)平均值和可控自由度N之間的理論關(guān)系為[15]

一般而言，入射光波前可控自由度N的大小取決于實(shí)驗(yàn)中空間光調(diào)制器的有效像素?cái)?shù)目，即用多少像素來(lái)獨(dú)立地調(diào)控所在位置的波前相位。在反饋式波前整形實(shí)驗(yàn)中，為了實(shí)現(xiàn)散射光的聚焦，可采用一個(gè)相機(jī)探測(cè)透射端目標(biāo)位置的光強(qiáng)，并監(jiān)測(cè)其隨調(diào)控模式的可控相位KA的變化[15]：

其中，IA和ΦA(chǔ)分別表示來(lái)自入射光調(diào)控位置的散射光強(qiáng)度和相位，而IB和ΦB則分別表示來(lái)自其它非調(diào)控位置的散射光強(qiáng)度和相位。通過(guò)監(jiān)控Itar隨KA的變化，可以提取出最佳相位Km，其中最佳相位滿(mǎn)足Km+ΦA(chǔ)-ΦB=0。隨后，將該過(guò)程遍歷每一個(gè)入射模式，即可獲得一個(gè)結(jié)構(gòu)化的相位圖，并將其通過(guò)空間光調(diào)制器加載到入射光波前，則可實(shí)現(xiàn)散射光場(chǎng)聚焦。

本文根據(jù)反饋式波前整形理論，采用Matlab對(duì)散射光的聚焦過(guò)程進(jìn)行了仿真。在反饋式波前整形過(guò)程中，背景光場(chǎng)IB和ΦB隨調(diào)控位置的改變有細(xì)微的變化。為消除該變化所引入的誤差，我們針對(duì)入射波前的N個(gè)單元進(jìn)行了兩輪相位測(cè)量，并得到一個(gè)優(yōu)化的結(jié)果。由于每次獨(dú)立的波前整形都改變了透射矩陣T，其對(duì)應(yīng)著實(shí)驗(yàn)中對(duì)樣品不同位置的散射光進(jìn)行聚焦，因而每次得到的聚焦增強(qiáng)系數(shù)η各不相同。在仿真實(shí)驗(yàn)中，對(duì)不同N分別進(jìn)行10 次獨(dú)立的波前整形，從而得到聚焦增強(qiáng)系數(shù)的平均值ηˉ和標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果如圖2 所示。對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行線(xiàn)性擬合，得到其斜率為0.81，與公式（4）的理論值π/4接近。

圖2 無(wú)噪聲下聚焦增強(qiáng)系數(shù)ηˉ與波前整形自由度N的關(guān)系

2 噪聲對(duì)散射光聚焦效果的影響

前文的理論和仿真實(shí)驗(yàn)并沒(méi)有考慮實(shí)際裝置中的噪聲，故與實(shí)際的實(shí)驗(yàn)結(jié)果差異明顯。具體而言，在典型的波前整形裝置中需要考慮空間光調(diào)制器的相位噪聲、光場(chǎng)的探測(cè)噪聲及樣品去相干引入的噪聲?；诖耍覀兎謩e對(duì)各種噪聲的影響進(jìn)行了討論，以期明晰各種噪聲對(duì)散射光聚焦的影響特點(diǎn)。

2.1 空間光調(diào)制器的相位噪聲

空間光調(diào)制器具有大量的像素點(diǎn)，可單獨(dú)控制入射光的波前相位。然而，空間光調(diào)制器的相位控制具有一定的誤差。通常假設(shè)不同像素點(diǎn)的相位誤差滿(mǎn)足高斯分布：

其中，φ0表示預(yù)期的精確相位，φ表示空間光調(diào)制器實(shí)際加載的相位，σs表示相位誤差的大小。

為了明晰該相位噪聲對(duì)聚焦效果的影響，我們?cè)诜抡娉绦蛑幸肓瞬煌瑥?qiáng)度的相位誤差，并保持其它條件一致，得到了如圖3（a）所示的ηˉ隨調(diào)控模式數(shù)N的變化情況。

圖3 存在相位噪聲時(shí)聚焦增強(qiáng)系數(shù)與波前整形自由度（a）和噪聲強(qiáng)度（b）的關(guān)系

由圖可知，隨著相位噪聲的增加，ηˉ與N之間依然保持線(xiàn)性關(guān)系，但是斜率變小。這意味著實(shí)際裝置中的散射光聚焦依然可通過(guò)增加入射端的調(diào)控自由度來(lái)增強(qiáng)，但是聚焦效果較理論情況有一定減弱。隨后，選定入射端調(diào)控自由度N為100，通過(guò)改變空間光調(diào)制器的噪聲強(qiáng)度σs來(lái)研究增強(qiáng)系數(shù)ηˉ隨σs的變化規(guī)律。如圖3（b）所示，隨著σs的增大呈現(xiàn)高斯線(xiàn)型衰減，即=+1。當(dāng)σs趨于無(wú)窮時(shí)，聚焦增強(qiáng)系數(shù)趨近于1，表示無(wú)法實(shí)現(xiàn)散射光的聚焦。

2.2 光場(chǎng)的探測(cè)噪聲

在反饋式波前整形中，探測(cè)器測(cè)量到的光強(qiáng)是推導(dǎo)優(yōu)化相位的依據(jù)。然而，探測(cè)器測(cè)量的光強(qiáng)既依賴(lài)于入射模的相位變化，也存在著一些隨機(jī)變化的噪聲，噪聲主要來(lái)源包括激光功率噪聲和散粒噪聲。激光功率噪聲由激光器功率不穩(wěn)定所引起，可模型化為一個(gè)高斯分布的隨機(jī)噪聲：

其中，Ic是激光的平均光強(qiáng)，I是激光的瞬時(shí)光強(qiáng)，σc是激光噪聲的大小。

散粒噪聲是激光的量子噪聲，該噪聲始終存在，其變化滿(mǎn)足泊松分布[16]：

本文在探測(cè)信號(hào)中引入了功率噪聲及散粒噪聲。通過(guò)改變?nèi)肷涠苏{(diào)控的模式數(shù)N，可獲得不同功率噪聲下的聚焦增強(qiáng)系數(shù)如圖4（a）所示，當(dāng)僅存在散粒噪聲而不存在功率噪聲時(shí)(σc=0)隨N的變化不再是線(xiàn)性增加的，而是出現(xiàn)飽和的趨勢(shì)，其滿(mǎn)足=η0(1-e-k(N-1))+1。這一變化規(guī)律在激光功率噪聲的引入和增加時(shí)表現(xiàn)得更加明顯。為了進(jìn)一步確定激光功率噪聲對(duì)聚焦增強(qiáng)系數(shù)的影響，本文研究了在N=100時(shí)隨功率噪聲強(qiáng)度σc的變化情況。如圖4（b）所示，隨著σc的增加指數(shù)下降，其滿(mǎn)足=η0e-kσc+η1。由此可見(jiàn)，低功率噪聲激光器在波前整形裝置中極為重要。

圖4 存在探測(cè)噪聲時(shí)聚焦增強(qiáng)系數(shù)與波前整形自由度（a）和聚焦增強(qiáng)系數(shù)（b）的關(guān)系

2.3 樣品去相干引入的噪聲

在實(shí)際裝置中，散射樣品的結(jié)構(gòu)隨時(shí)間發(fā)生了改變，因而光場(chǎng)在樣品中的散射路徑也隨之改變，稱(chēng)之為樣品的去相干效應(yīng)。這種去相干效應(yīng)使得透射矩陣T在波前整形過(guò)程中發(fā)生了變化，導(dǎo)致散射光聚焦時(shí)的最佳波前發(fā)生變化。因此，在波前整形裝置中，散射光聚焦效果必然受到樣品去相干引入的噪聲影響。為了定量研究去相干噪聲對(duì)散射光聚焦的影響，可以假設(shè)在波前整形過(guò)程的每一次光強(qiáng)探測(cè)后，透射矩陣的所有矩陣元都單獨(dú)受到了隨機(jī)復(fù)數(shù)的干擾，并假設(shè)該干擾復(fù)數(shù)滿(mǎn)足高斯分布[15]：

其中，ti是第i次波前整形的任意矩陣元值，δti+1是去相干引入的干擾項(xiàng)，σd是δti+1和ti標(biāo)準(zhǔn)方差比值。

如圖5（a）所示，仿真實(shí)驗(yàn)控制了隨機(jī)干擾項(xiàng)的強(qiáng)度，并通過(guò)改變?nèi)肷涠苏{(diào)控的模式數(shù)N，獲得了不同條件下的聚焦增強(qiáng)系數(shù)隨N的變化特點(diǎn)。當(dāng)存在去相干時(shí)，隨N的變化不再是線(xiàn)性增加，而是隨N的增加出現(xiàn)飽和趨勢(shì)，其滿(mǎn)足=η0(1-e-k(N-1))+1。隨著去相干效應(yīng)的增強(qiáng)，聚焦增強(qiáng)系數(shù)明顯減小。為了進(jìn)一步確定去相干噪聲的影響，我們探究了N=100時(shí)隨去相干強(qiáng)度的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)隨著增加指數(shù)下降，其滿(mǎn)足=η0e-kσd2+1。由此可見(jiàn)，動(dòng)態(tài)無(wú)序介質(zhì)的散射光聚焦更為困難。

圖5 不同去相干條件下聚焦增強(qiáng)系數(shù)與波前整形自由度（a）和聚焦增強(qiáng)系數(shù)（b）的關(guān)系

3 各種噪聲對(duì)散射光聚焦效果的綜合影響

在實(shí)際光學(xué)裝置中，散射光聚焦受到各種噪聲的綜合影響。具體而言，散粒噪聲始終存在，激光功率噪聲和相位噪聲跟實(shí)驗(yàn)設(shè)備性能相關(guān)，而去相干引入的噪聲和散射樣品的特性有關(guān)。根據(jù)實(shí)際裝置能夠達(dá)到的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，我們假設(shè)激光的功率噪聲為1%，空間光調(diào)制器的相位噪聲為1%，且激光的散粒噪聲始終存在。針對(duì)一個(gè)靜態(tài)無(wú)序介質(zhì)和一個(gè)存在明顯去相干的動(dòng)態(tài)無(wú)序介質(zhì)，分別研究散射光場(chǎng)聚焦特性隨調(diào)控自由度N的變化。如圖6所示，聚焦增強(qiáng)系數(shù)ηˉ隨N的增加單 調(diào)遞增，直至趨 于飽和，其滿(mǎn)足=η0(1-e-k(N-1))+1。此外，樣品去相干效應(yīng)會(huì)減弱的值，并導(dǎo)致的提前飽和。當(dāng)反饋式波前整形受到較大噪聲影響時(shí)，雖然能夠?qū)崿F(xiàn)散射光場(chǎng)的聚焦，但是聚焦增強(qiáng)系數(shù)ηˉ大大降低?？紤]ηˉ隨調(diào)控自由度N的變化特征，噪聲使得理論上的線(xiàn)性依賴(lài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€(xiàn)性飽和趨勢(shì)，導(dǎo)致過(guò)度提高N并不能實(shí)現(xiàn)更強(qiáng)的聚焦。

圖6 各種噪聲綜合影響下聚焦增強(qiáng)系數(shù)與波前整形自由度的關(guān)系

明確各種噪聲對(duì)散射光聚焦的影響，將促進(jìn)學(xué)生更好理解散射光場(chǎng)聚焦在保密認(rèn)證[17]、光計(jì)算[18]和光學(xué)成像[19]等方面的應(yīng)用。以保密認(rèn)證為例[17]，較高的聚焦增強(qiáng)系數(shù)意味著可減弱照明光場(chǎng)，并提高裝置中單光子的概率，進(jìn)而增強(qiáng)認(rèn)證過(guò)程的安全性。顯然，噪聲的強(qiáng)弱在很大程度上影響著保密認(rèn)證裝置的安全性。為提高量子認(rèn)證裝置的安全性，有必要使用低噪聲的激光、空間光調(diào)制器和探測(cè)器等關(guān)鍵設(shè)備。此外，用于認(rèn)證的無(wú)序介質(zhì)的時(shí)間穩(wěn)定性也極為重要，去相干效應(yīng)明顯的無(wú)序介質(zhì)只在有限的時(shí)間內(nèi)完成安全認(rèn)證。為提升教學(xué)效果，可進(jìn)一步將噪聲因素的考量延伸至邁克爾遜干涉儀和法布里珀羅干涉儀等其它典型干涉裝置及應(yīng)用中[11]，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)噪聲的影響進(jìn)行討論和分析。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以散射光聚焦為例，探討了聚焦增強(qiáng)系數(shù)ηˉ和空間光調(diào)制器的相位噪聲、探測(cè)噪聲及去相干噪聲的依賴(lài)關(guān)系。在光學(xué)課程教學(xué)中引入本案例，可以直觀(guān)而生動(dòng)地闡明噪聲對(duì)多光束干涉效應(yīng)的重要影響。通過(guò)結(jié)合保密認(rèn)證等前沿光子學(xué)應(yīng)用，可以加強(qiáng)對(duì)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際等工程創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。此外，以本案例為契機(jī)，可將噪聲因素的考量延伸至邁克爾遜干涉儀等其它典型干涉裝置，以課堂提問(wèn)和討論等形式，引導(dǎo)學(xué)生思考噪聲在相關(guān)應(yīng)用中的重要作用，有助于啟發(fā)學(xué)生從實(shí)際應(yīng)用出發(fā)去理解光學(xué)理論，從而促進(jìn)學(xué)生工程創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。