蔡金法，陳算榮

數(shù)學(xué)問題提出研究的進(jìn)展和前沿

蔡金法1，陳算榮2

（1．特拉華大學(xué) 數(shù)學(xué)系，特拉華 紐瓦克 19716；2．揚州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚州 225002）

研究概述了國際數(shù)學(xué)問題提出研究，并介紹專欄中的5篇論文．特別是，從以下4個方面討論了問題提出的進(jìn)展和未來的方向：（1）問題提出作為了解學(xué)生和教師思維的手段；（2）基于問題提出學(xué)習(xí)的教學(xué)模式（P-PBL）；（3）問題提出過程；（4）問題提出和批判性思維．

問題提出；問題提出研究；問題提出過程；P-PBL；研究前沿

自從2019年《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》開設(shè)關(guān)于問題提出的專欄，已經(jīng)過去了4年，問題提出的研究仍然如火如荼地進(jìn)行，不僅在學(xué)術(shù)期刊上陸續(xù)發(fā)表特刊[1-2]，還有許多相關(guān)領(lǐng)域的書籍相繼問世[3-4]．甚至ICME14和ICME15把原來問題解決的TSG，更改為問題提出和問題解決的TSG．這個進(jìn)展也反映在不同的國際會議當(dāng)中，比如在2022年的國際數(shù)學(xué)教育心理學(xué)大會上有問題提出的專題研究．在2023年的國際數(shù)學(xué)教育心理學(xué)大會中的一個年輕學(xué)者培訓(xùn)中，問題提出作為一個大會報告．同時，在2023年的國際數(shù)學(xué)建模教學(xué)大會上，問題提出也作為大會的一個專題討論．Springer目前正在計劃出版第二本關(guān)于問題提出的數(shù)學(xué)教育研究專著，國內(nèi)在西南大學(xué)宋乃慶教授和蔡金法教授的帶領(lǐng)下，也正在準(zhǔn)備出版問題提出的專著．這一切表明了問題提出教學(xué)研究的受重視程度．其實它的理由很簡單，因為問題提出教學(xué)不僅能夠加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，而且能夠促使學(xué)生對數(shù)學(xué)情感的發(fā)展及創(chuàng)造力和批判性思維的培養(yǎng)．

目前，數(shù)學(xué)問題提出研究的重要性，似乎不需論證，學(xué)界普遍接受它作為一個具體的抓手來開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力和批判性思維．同時，在中國2022年的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中[5]，有非常醒目的篇幅來討論問題提出的重要性、問題提出的具體內(nèi)容，以及具體課堂上的實踐．實際上，在新的課程標(biāo)準(zhǔn)中有八十多次提到了問題提出．

在問題提出被廣泛接納并持續(xù)深入研究的大背景下，問題提出專欄呈現(xiàn)在讀者面前．這一期共有5篇文章，在幾個方面推進(jìn)了問題提出的研究．

1 問題提出作為了解學(xué)生和教師思維的工具

問題提出作為工具測量學(xué)生和教師的思維是問題提出研究的一個重要方面．早期研究側(cè)重在學(xué)生和教師能提出什么樣的問題，最近的研究則側(cè)重在以問題提出為工具測評教師或?qū)W生對特定數(shù)學(xué)概念的理解．這一進(jìn)展不僅展現(xiàn)了用問題提出作為評估工具的可行性和優(yōu)勢，更是為教師用問題提出進(jìn)行教學(xué)奠定了基礎(chǔ)．

孫枚等用“問題提出”作為研究手段來診斷和評估小學(xué)數(shù)學(xué)教師對百分?jǐn)?shù)這一重要概念的理解．百分?jǐn)?shù)這一概念至少具有“數(shù)、比、比率、統(tǒng)計量和算子”5種不同的意義[6]，為了了解教師的理解表現(xiàn)，通過精心設(shè)計問題提出的測試問卷，要求99位教師圍繞“40、50、%”3個信息提出4個難度逐漸提升的數(shù)學(xué)問題，即：簡單問題、中等問題、偏難問題、較難問題，深入洞察小學(xué)數(shù)學(xué)教師對百分?jǐn)?shù)概念的理解表現(xiàn)．研究發(fā)現(xiàn)：教師心目中的百分?jǐn)?shù)集中在比的意義上，只有少量教師提到數(shù)和統(tǒng)計量，對比率和算子兩種百分?jǐn)?shù)的意義沒有涉及．

在其另一份關(guān)于百分?jǐn)?shù)概念的問題解決測試中，對這99位教師的答題狀況進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)：教師對百分?jǐn)?shù)作為基本的“比”的概念是清晰的，然而當(dāng)比的數(shù)量關(guān)系以及表達(dá)的語言更為復(fù)雜時，教師對百分比的概念理解和問題解決就會出現(xiàn)偏差．這一研究還發(fā)現(xiàn)：相較于問題解決，問題提出能更好地幫助評價者或研究者了解教師或?qū)W生對百分?jǐn)?shù)的理解程度或類型．可見，問題提出作為一種評估的方式，有其獨特的評價作用．

孫枚等的研究再次說明用問題提出測試教師理解的適合性和獨特性，這也為教師用問題提出教百分?jǐn)?shù)創(chuàng)造了條件．值得指出的是，在中國個別地區(qū)，已經(jīng)將問題提出作為年終期末考試的考題之一，而且在大型的測試中，也包括少量的問題提出．今后的研究要注重問題提出的考題編制及評分標(biāo)準(zhǔn)制定．同時，也需要進(jìn)行問題提出考題及評分標(biāo)準(zhǔn)的信效度研究．

2 問題提出教學(xué)模式

問題提出不僅是一個教學(xué)目標(biāo)，更是一種教學(xué)手段，即教師可利用問題提出提供機會讓學(xué)生學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)．近期的研究不僅分析了教學(xué)案例，而且開始開發(fā)問題提出的教學(xué)模式．這里有兩篇關(guān)于這方面的文章．一篇為許天來和蔡金法結(jié)合具體課例“乘法分配律”的課堂分析，深入探討了由蔡金法提出的“問題提出”教學(xué)的一般模式如何在課堂實際中進(jìn)行科學(xué)、合理和有效運用[7]．在這一篇文章中，“乘法分配律”的課堂教學(xué)發(fā)生在“問題提出”的一般教學(xué)模式提出之前，然而，通過課堂分析發(fā)現(xiàn)其教學(xué)流程與蔡金法提出的“問題提出”的一般教學(xué)模式相吻合．該課例的具體模式分為4個步驟：（1）教師呈現(xiàn)問題情境；（2）教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)設(shè)置恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)語；（3）學(xué)生以個體方式或小組方式提出問題；（4）師生對學(xué)生所提問題進(jìn)行“分析”“選取”“排序”和“求解”．這個分析結(jié)果驗證了蔡金法提出的“問題提出”的一般教學(xué)模式在實踐中的可行性和有效性，闡釋了理論研究和教學(xué)實踐的交互作用．

另一篇是由李欣蓮等通過全面梳理和深入分析文獻(xiàn)，在理論層面上構(gòu)建了數(shù)學(xué)問題提出教學(xué)的分析框架，該框架由3個維度及11個二級觀測指標(biāo)構(gòu)成．研究首先在文獻(xiàn)分析的基礎(chǔ)上對問題提出的課堂教學(xué)進(jìn)行了概念界定，依據(jù)定義分析出問題提出課堂教學(xué)的3個關(guān)鍵方面，并將其作為分析框架的3個維度，它們分別是：（1）教師設(shè)計的問題提出任務(wù)分析；（2）教師引導(dǎo)學(xué)生參與問題提出活動分析；（3）教師對學(xué)生提出問題的反饋分析．接下來在各個維度下，依據(jù)文獻(xiàn)和具體實例，構(gòu)建相應(yīng)的二級觀測指標(biāo)．為了驗證其可操作性，該研究進(jìn)一步運用此框架對“問題提出”教學(xué)的實踐案例加以分析，驗證框架可行性，并有利于凸顯問題提出教學(xué)的核心特征．盡管這一分析框架還未能在更多的課例中加以實踐運用，還有可待完善的空間，但該框架無疑為后續(xù)利用問題提出進(jìn)行教學(xué)實踐的教師們提供了一個教學(xué)理論框架，也為問題提出教學(xué)研究的向前發(fā)展邁出了新的一步．

問題提出教學(xué)的一般模式和問題提出教學(xué)的分析框架從不同角度為問題提出教學(xué)提供了指導(dǎo)，前者是指出了具體的教學(xué)流程，后者則提供了評估和反思的視角，而兩者均為問題提出教學(xué)的設(shè)計提供了思考層面．值得指出的是，在問題提出教學(xué)研究中，需要開發(fā)更多的教學(xué)案例，為問題提出教學(xué)的推廣提供資源．

3 問題提出過程

問題提出研究的另一個重要主題是學(xué)生和教師所經(jīng)歷的問題提出過程．盡管學(xué)生和教師有能力提出數(shù)學(xué)問題，但作為研究者，對他們在一些特定情況下如何提出這些數(shù)學(xué)問題的理解則知道得很少．特別是目前還沒有一個與公認(rèn)的問題解決模型相類似的、可通用的問題提出過程框架，如Pólya（1945）提出的問題解決4個階段[8]，Garofaro和Lester（1985）提出的問題解決認(rèn)知與元認(rèn)知過程[9]，以及Schoenfeld（1985）提出的問題解決屬性[10]．因此，需要更多的研究來發(fā)展一個對數(shù)學(xué)問題提出的基本過程和策略具有廣泛適用性的框架．實際上，現(xiàn)階段還處于理解問題提出的認(rèn)知和情感過程的初級階段，這也是在數(shù)學(xué)教學(xué)中實施這一活動的原因之一．

在早期的幾項研究中[11-12]，研究人員試圖利用學(xué)生提出的問題作為考察問題提出過程的基礎(chǔ)．例如，Cai和Hwang（2002）使用模式情境來考察學(xué)生提出問題和解決問題的能力．他們觀察到，學(xué)生提出的基于模式的問題序列似乎反映了解決模式問題時的共同思維序列（收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的趨勢、做出預(yù)測）[11]．Silver和Cai（1996）發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生被要求提出3個問題時，他們往往會提出一些相關(guān)和平行的問題．他們觀察到，學(xué)生們有一種明顯的傾向，即通過改變早期問題中的某一元素來提出后期問題[12]．

最近，研究人員試圖考察問題提出任務(wù)變量，以研究問題提出過程[13]．正如問題解決的任務(wù)有很多類型一樣，問題提出的任務(wù)也有很多類型．問題提出的任務(wù)由兩部分構(gòu)成：問題情境和提示語[14]．問題情境提供了背景和數(shù)據(jù)，學(xué)生可以利用這些背景和數(shù)據(jù)（除了他們自己的生活經(jīng)驗和知識）來提出問題．問題提出的任務(wù)還必須包括一個提示語，讓提出問題的人知道他們應(yīng)該做什么．根據(jù)任務(wù)的目標(biāo)，對于相同的問題提出的情況，可以有多種提示語．

例如，Cai等人研究了不同提示語對學(xué)生問題提出的影響．研究使用3組問題提出任務(wù)來檢驗不同問題提出提示語對學(xué)生問題提出的影響．涉及兩種提示語：第一種提示語是要求學(xué)生提出2～3個不同的數(shù)學(xué)問題，而沒有具體說明問題的其它要求；第二種提示語同樣也是要求學(xué)生提出2～3個數(shù)學(xué)問題，但有額外的說明．例如，學(xué)生們被要求提出簡單、中等難度和困難的問題．當(dāng)問題提出的提示語包含更為具體的要求時，學(xué)生往往會更多地思考提出什么樣的問題，比如，問題的可解性和復(fù)雜性．

在這里，陳婷等人通過使用一組涉及算術(shù)平均的任務(wù)，使用不同類型的提示，重復(fù)和擴展了Cai等人的研究．該研究以262名六年級學(xué)生為研究對象，設(shè)計了4個有關(guān)算術(shù)平均數(shù)的問題提出任務(wù)，并分別設(shè)置了3類引導(dǎo)語：“提出3個不同的數(shù)學(xué)問題，挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)老師來解答”“提出3個難度不同（簡單、中等、較難）的數(shù)學(xué)問題”“提出3個不同的數(shù)學(xué)問題，挑戰(zhàn)同班同學(xué)來解答”．以此測試學(xué)生在不同類型的引導(dǎo)語下，其提出的問題在得分、類型、難度和概念理解4個方面的表現(xiàn)情況．主要有3個方面的發(fā)現(xiàn)：（1）六年級學(xué)生關(guān)于平均數(shù)概念理解的問題提出表現(xiàn)良好；（2）學(xué)生問題提出的類型和難度受到了不同問題提出引導(dǎo)語的顯著影響；（3）在較復(fù)雜的問題情境中，學(xué)生表現(xiàn)的平均數(shù)理解程度也受到問題提出引導(dǎo)語的顯著影響．

上述研究結(jié)論為問題提出引導(dǎo)語設(shè)計的重要性提供了證據(jù)支持，進(jìn)而啟發(fā)教師在進(jìn)行問題提出的任務(wù)設(shè)計時，要根據(jù)任務(wù)實施的目標(biāo)、學(xué)生的基礎(chǔ)等精心設(shè)計提示語．而通過對提示語影響問題提出的研究，可以幫助進(jìn)一步研究問題提出的過程．

4 問題提出與批判性思維

問題提出之所以得到認(rèn)可，部分原因是它在科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程以及培養(yǎng)學(xué)生在創(chuàng)新和批判性思維中的重要性[15-16]．盡管在平時的教學(xué)中學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己只是教學(xué)過程中知識的被動接受者，但當(dāng)他們提出自己的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探究時，他們可以作為數(shù)學(xué)創(chuàng)造者和尋求者建立積極、強大的自我認(rèn)同感．問題提出在課堂上使學(xué)生成為自己從事數(shù)學(xué)的主動者，讓學(xué)生有能力在課堂上考慮由自己所提出的數(shù)學(xué)問題．

因為問題提出與復(fù)雜的問題解決和創(chuàng)造性導(dǎo)向的活動有關(guān)[17]，它是一種獨特的數(shù)學(xué)活動，為認(rèn)知和情感能力的提高及其整合提供了多種機會．蔡金法等人（2017）認(rèn)為，研究對學(xué)生學(xué)習(xí)的影響應(yīng)該通過短期和縱向的認(rèn)知和非認(rèn)知結(jié)果來衡量[18]．一些社會學(xué)家和經(jīng)濟學(xué)家甚至認(rèn)為，相較于學(xué)科知識，完善的非認(rèn)知特征發(fā)展對一個人的學(xué)業(yè)和未來工作表現(xiàn)的影響更突出且更持久．

批判性思維是一種重要的非認(rèn)知因素．人們認(rèn)為，問題提出可以用來培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力和批判性思維．為了深入了解學(xué)生的批判性思維傾向與問題提出表現(xiàn)之間的具體相關(guān)性，唐瑜君等人隨機招募了260名小學(xué)生，運用已有文獻(xiàn)開發(fā)的兩個量表《小學(xué)生數(shù)學(xué)批判性思維傾向量表》和《小學(xué)生平均數(shù)問題提出測試卷》，分別調(diào)查了小學(xué)生的批判性思維傾向現(xiàn)狀與其問題提出表現(xiàn)的現(xiàn)狀，在此基礎(chǔ)上對二者進(jìn)行了相關(guān)性分析，得出二者之間有中等程度的正相關(guān)性，并且批判性思維傾向越強的小學(xué)生問題提出表現(xiàn)越好，而問題提出表現(xiàn)越好的小學(xué)生批判性思維傾向也越強．這一結(jié)論無疑進(jìn)一步佐證了問題提出與批判性思維能力發(fā)展有著相互促進(jìn)的作用．由此可見，問題提出的教學(xué)為發(fā)展學(xué)生批判性思維能力開辟了一條新的路徑．

應(yīng)當(dāng)指出，這一研究用的是批判性思維傾向的量表，而不是測試學(xué)生的數(shù)學(xué)批判性思維．另一方面，也需要加強有關(guān)數(shù)學(xué)創(chuàng)新性和批判性思維的研究，包括內(nèi)涵及具體的測試．當(dāng)下，數(shù)學(xué)教育工作者和研究者有必要加強對問題提出落地課堂的實踐和研究．

5 結(jié)語

數(shù)學(xué)問題提出及其教學(xué)的研究正在獲得越來越多的學(xué)者和一線教師的關(guān)注，這是一個極好的發(fā)展態(tài)勢．期望關(guān)注這一領(lǐng)域的研究者和實踐者在了解數(shù)學(xué)問題提出的研究進(jìn)展和前沿動態(tài)之后，能夠找到自己的研究興趣和生長點，拓展數(shù)學(xué)問題提出教學(xué)的研究空間，也希望專欄的5篇論文能夠引發(fā)研究者和實踐者更多的思考和后期相關(guān)研究的投入，推動研究向縱深發(fā)展．

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Mathematical Problem-Posing Research: Advances and Future Directions

CAI Jin-fa1, CHEN Suan-rong2

(1.The Department of Mathematics, University of Delaware, Delaware Newark 19716, USA;2. The College of Mathematical Science, Yangzhou University, Jiangsu Yangzhou 225002, China)

This introductory paper provides an overview of problem-posing research followed by an introduction to the five papers in this special issue. In particular, this paper discusses advances in and future directions for mathematical problem-posing research from the following four angles: (1) problem posing as a means to understand students’ and teachers’ thinking; (2) the Problem-Posing Based Learning (P-PBL) Instructional Model; (3) problem-posing processes; and (4) problem posing and critical thinking.

problem posing; problem-posing research; problem-posing processes; P-PBL; research frontiers

G424

A

1004–9894（2023）05–0005–03

蔡金法，陳算榮．?dāng)?shù)學(xué)問題提出研究的進(jìn)展和前沿[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2023，32（5）：5-7．

2023–08–21

西南大學(xué)引進(jìn)人才計劃項目（SWU118118）

蔡金法（1963—），男，浙江杭州人，教授，主要從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題提出研究．蔡金法為本文通訊作者．

[責(zé)任編校：張楠、陳雋]