趙繼辰

(北京教育學院數(shù)學與科學教育學院 北京 100044)

考慮空氣阻力的落體和上拋運動模型主要考查動能定理的理解和運用[1].2022年新高考湖南物理第14題提供了一個空氣阻力大小為恒定值的物理情境，還涉及了非彈性碰撞的問題，頗有新意.

1 試題呈現(xiàn)

(a)

(1)求籃球與地面碰撞的碰后速率與碰前速率之比；

(2)若籃球反彈至最高處h時，運動員對籃球施加一個向下的壓力F，使得籃球與地面碰撞一次后恰好反彈至h的高度處，力F隨高度y的變化如圖1(b)所示，其中h0已知，求F0的大??；

(3)籃球從H高度處由靜止下落后，每次反彈至最高點時，運動員拍擊一次籃球(拍擊時間極短)，瞬間給其一個豎直向下、大小相等的沖量I，經(jīng)過N次拍擊后籃球恰好反彈至H高度處，求沖量I的大小.

2 情境分析

2.1 第一問分析

對于第一問，我們先來分析第一個情境：落體運動.在此過程中，重力做正功，空氣阻力做負功.設(shè)與地面碰撞前的速率為v11，碰前的動能為

由動能定理可知

第二個情境：碰撞.設(shè)碰后速率為v12，碰后的動能為

第三個情境：上拋運動.在此過程中，重力和空氣阻力均做負功.

作者簡介：趙繼辰(1984- )，男，博士，實驗師，主要從事中學物理教育教學方面的研究工作.

由動能定理可知

則碰后速率與碰前速率之比

接下來，籃球會不斷重復(fù)這3個情境.設(shè)第n次碰撞前籃球從離地hn-1處下落，碰前速率為vn1，碰后速率為vn2，反彈至離地hn的最高處.籃球每次與地面碰撞的碰后速率與碰前速率之比相同，因此有

2.2 第二問分析

對于第二問，我們需要從函數(shù)圖像中提取有用信息.對于F-s圖像，函數(shù)與橫坐標軸圍成的面積即為力所做的功[2].從圖1(b)的圖像中我們可以得到，壓力F所做的功為

由動能定理可知

解得

2.3 第三問分析

解得

即

下面我們對數(shù)列sn進行分析，首項s1=h.

對于數(shù)列{sn}的通項公式還可轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

公式的前半部分為沒有受到?jīng)_量時的高度，公式的后半部分為受到?jīng)_量時所帶來的高度變化.

3 變式探討

我們不妨追加一問進行對比探討.籃球從H高度處由靜止下落后，經(jīng)過N次反彈(N≥2)至最高點時，運動員拍擊籃球(拍擊時間極短)，瞬間給其一個豎直向下的沖量NI0，拍擊后籃球恰好反彈至H高度處，求沖量I0的大小.

由動能定理可知

解得

由于

因此I0

4 總結(jié)

歸納演繹法是物理學研究中的一種重要的科學思維方法.近年來，采用數(shù)列通項公式求解的高考題型常有出現(xiàn)[3].對于多次重復(fù)出現(xiàn)的有規(guī)律性變化的物理情境，我們要運用好已有的數(shù)學工具總結(jié)物理量的變化規(guī)律，輔助解題.