□朱恬驊

【導(dǎo) 讀】當(dāng)前對(duì)于“算法”的文化批評(píng)聚焦于其社會(huì)效應(yīng)中顯現(xiàn)的非中立性。然而,就算法作為處理某個(gè)數(shù)學(xué)問題有限而確定的步驟而言,它具有數(shù)學(xué)上的中立性?？萍季揞^所代表的一眾行為主體,試圖借“算法”的名義占有中立性,以掩蓋先于算法的人為決策(如對(duì)于問題本身的定義、數(shù)據(jù)來源和維度選擇、標(biāo)簽類目和結(jié)果的使用方式等),逃避其社會(huì)責(zé)任。對(duì)算法中立性“神話”的批判,在無形中落入了這種假托“算法”之名的話語圈套。作為替代,可以使用“模型”的概念,凸顯人為決策引入的非中立性,從而將對(duì)“算法”的批判重定向?yàn)閷?duì)技術(shù)中起主導(dǎo)作用的“規(guī)范共識(shí)”的批判。

在談?wù)摦?dāng)今高新技術(shù)的社會(huì)影響時(shí),“算法”無疑已成為一個(gè)關(guān)鍵詞匯,以“算法”為定語的術(shù)語,如“算法社會(huì)”“算法治理”“算法規(guī)制”“算法意識(shí)”等紛至沓來,大有令人應(yīng)接不暇之勢(shì)。有國內(nèi)學(xué)者認(rèn)為,“算法社會(huì)”是雅克·埃呂爾(Jacques Ellul) “技術(shù)化社會(huì)”在當(dāng)代的具體體現(xiàn), “算法”已經(jīng)成為數(shù)字時(shí)代的問題關(guān)鍵。[1]在文化批評(píng)的語境中,“算法”被視為技術(shù)決定論乃至“技治主義”的核心要素,是一系列社會(huì)現(xiàn)象特別是負(fù)面現(xiàn)象產(chǎn)生的直接原因,它放大社會(huì)偏見與歧視,激化社會(huì)矛盾,加劇社會(huì)不公。在這種觀點(diǎn)看來, “算法”體現(xiàn)了某種價(jià)值判斷,如何種信息是值得推薦的而何種信息則應(yīng)被阻止,而將“算法”視為一種中立性的事物完全是人為建構(gòu)的神話。

但在另一方面, “算法”的本來含義同數(shù)字的計(jì)算息息相關(guān),即便在計(jì)算機(jī)技術(shù)的語境中,它也被定義為一種單純的數(shù)學(xué)過程。例如,在久負(fù)盛名的《計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)的藝術(shù)》(TheArtofComputerProgramming)中,高德納(Donald E.Knuth)將“算法”一詞界定為“一組有窮的規(guī)則,這些規(guī)則給出求解特定類型問題的運(yùn)算序列”,明確它具有有限性、確定性、能行性等特征。[2]1:4-5而在同樣被奉為經(jīng)典教材的《算法導(dǎo)論》(IntroductiontoAlgorithms)一書中,托馬斯·科爾曼等也將算法定義為“定義良好的計(jì)算過程”“用來將輸入數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成輸出結(jié)果”。[3]3這種數(shù)學(xué)意義上的“算法”似乎有著不言而喻的中立性,從而與針對(duì)“算法”的文化批評(píng)形成了對(duì)壘之勢(shì)。

一、“算法”(algorithm)一詞的源流

從詞源上看,英語的“algorithm”來自algorism,后者則來自12世紀(jì)歐洲翻譯者對(duì)波斯數(shù)學(xué)家花剌子米(Muammad ibn Mūsā al-Khwārizmī)姓氏的拉丁化“algorizm”。在拉丁文譯文殘篇“花剌子米如是說”(dixit algorizmi...)中,詳細(xì)記錄了使用印度數(shù)字(今阿拉伯?dāng)?shù)字)進(jìn)行四則運(yùn)算的方法[4],使得這一原本意為“花剌子模人”的姓氏在歐洲獲得了“計(jì)算方法”的意義。久之,人們將“algorism”同古希臘語表示“數(shù)”的(arithmos)一詞相比附,“algorithm”的拼寫方法由此產(chǎn)生,盡管二者之間并無詞源上的關(guān)聯(lián)。這種比附體現(xiàn)了人們將“algorism”與“數(shù)”相關(guān)聯(lián)的意識(shí)。

不過,對(duì)于漢語讀者而言,“算法”的歷史實(shí)則更為源遠(yuǎn)流長。姑且不論中國古代數(shù)學(xué)中關(guān)于計(jì)算方法的記述存在以“(算)術(shù)”命名的傳統(tǒng)(如《九章算術(shù)》), “算法”二字就已經(jīng)出現(xiàn)在《漢書·律歷志》中:“其算法用竹,徑一分,長六寸,二百七十一枚而成六觚,為一握。”此處的“算法”雖然是指算籌的制作之法,但到唐代,講述計(jì)算方法的“算法”已作為書題出現(xiàn)。值得一提的是,南宋末年流行的民間百科《事林廣記》就設(shè)有“算法”一節(jié),所載“算法源流”條目語云:“夫算法者,伏羲始畫八卦,周公敘述《九章》。至于玄元、益古、如積、細(xì)草,其旨淵奧,難可尋繹,初學(xué)者無所措手。其加減因折乘除之法,所以上揆星躔,下營地理,巨無不攬,細(xì)無不規(guī)?！蔽闹兴信e之“玄元、益古、如積、細(xì)草”即為籌算天元術(shù)(解高次方程)的方法名稱,足見此時(shí)的“算法”已經(jīng)固定為“計(jì)算方法”之意。

科學(xué)史學(xué)者指出,宋元時(shí)期的中國數(shù)學(xué)發(fā)生了從“實(shí)物語言”主導(dǎo)到“文本語言”主導(dǎo)的轉(zhuǎn)變,也就是從使用算籌等實(shí)物計(jì)算工具進(jìn)行操作,轉(zhuǎn)向由對(duì)算籌操作的文本記錄而形成符號(hào)操作。[5]“算法”詞意的變化恰好暗合這種轉(zhuǎn)變,從最初制作計(jì)算工具的方法到操作這些工具的方法,再到將操作方法文本化而開始顯現(xiàn)為書面符號(hào)的變換逐步走向抽象。

這就使得古代“算法”同今天人們所談?wù)摰挠?jì)算機(jī)算法,并非只有語詞上的關(guān)聯(lián)。現(xiàn)代意義上的算法肇始于圖靈(Alan M.Turing)的《論可計(jì)算的數(shù)》(On Computable Numbers)[6],文中提出了著名的“圖靈機(jī)”這一數(shù)學(xué)模型。不同于實(shí)際建造的計(jì)算機(jī),這種設(shè)想中的機(jī)器可以擁有兩端無限長的計(jì)算紙條,但每次只能對(duì)紙條上的一個(gè)符號(hào)進(jìn)行操作,無論是讀取(執(zhí)行)還是擦除、改寫。圖靈機(jī)在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用為求解希爾伯特“判定性問題”(Entscheidungsproblem,即是否所有數(shù)學(xué)問題都是可判定的)提供了一種重要的等價(jià)形式,但主導(dǎo)其行文的精神則在于對(duì)計(jì)算本身進(jìn)行了規(guī)則化的描述,以使之成為一系列關(guān)于符號(hào)的操作。它明確了計(jì)算機(jī)器所可能操作的“數(shù)”的性質(zhì),而這進(jìn)一步來說又是通過對(duì)“計(jì)算過程”本身進(jìn)行定義得到的,因而成為定義“算法”時(shí)參照的對(duì)象。

1954年,小馬爾可夫(Andrei A.Markov, Jr.)將算法定義為數(shù)學(xué)中的精確操作,具有三個(gè)主要性質(zhì):其步驟不允許任意性,而且應(yīng)當(dāng)是普遍可理解的,因而具有確定性;算法接受一類數(shù)作為輸入,而不只是在某個(gè)特定值上運(yùn)作,此即群體性;算法應(yīng)當(dāng)傾向于獲得確定的結(jié)果,而且對(duì)于正確的輸入而言,輸出也應(yīng)當(dāng)是符合預(yù)期的,此即結(jié)果性。[7]不滿于這種文字性的描述,小馬爾可夫通過他所定義的“正規(guī)算法”(normal algorithms),將算法形式化為一種對(duì)于字母表(符號(hào))和字串的操作,并指出其與遞歸函數(shù)、λ演算和圖靈機(jī)具有等價(jià)性。這一定義也被稱為“馬爾可夫算法”(Markov algorithm)。

沿著形式化的路徑,數(shù)學(xué)家們對(duì)算法做出了更為精細(xì)的定義。2012年,《計(jì)算機(jī)協(xié)會(huì)通訊》(CommunicationsoftheACM) 在 “編者按”中將其總結(jié)為“抽象狀態(tài)機(jī)”(abstract state machine)和“遞歸器”(recursor)兩條路徑[8],二者大致可分別追溯到圖靈機(jī)和丘奇(Alonzo Church)的遞歸函數(shù)。另一方面,尋求算法哲學(xué)本體論意義的嘗試并未中斷。羅賓·希爾(Robin K.Hill)從不同的形式化定義出發(fā),認(rèn)為一種更為簡潔而易于大眾理解的文字定義仍然是有效的,并將算法歸結(jié)為“一個(gè)有限的、抽象的、有效的、復(fù)合的控制結(jié)構(gòu),在特定限制下完成特定目的”[9]。

無論是在中西文語境中的原本含義,還是在丘奇、圖靈等開創(chuàng)的現(xiàn)代意義上,“算法”一詞都指向?qū)σ唤M有限符號(hào)進(jìn)行有明確定義的操作。但是當(dāng)代對(duì)于“算法”一詞的運(yùn)用,顯然已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了上述數(shù)學(xué)意義的有限性和明確性。歸結(jié)起來,可以說“算法”成為了一系列技術(shù)手段和非技術(shù)決策的總體性象征,一種以部分代全體的提喻修辭法。

二、成為技術(shù)提喻的“算法”

在種種以“算法”為定語的術(shù)語中,當(dāng)屬“算法社會(huì)”的覆蓋面最為廣泛。美國科羅拉多大學(xué)哲學(xué)教授約翰·加納(John Carnes)可能是最早采用這一術(shù)語的學(xué)者之一。在1985年舉辦的國際哲學(xué)與技術(shù)學(xué)會(huì)雙年會(huì)上,他在一篇探討職業(yè)與教育的文章標(biāo)題中亮出了“算法社會(huì)”(algorithmic society) 之名。[10]2021年,里克·彼得斯(Rik Peeters)和馬克·舒?zhèn)惒?Marc Schuilenburg)在所編文集《算法社會(huì):技術(shù)、權(quán)力與知識(shí)》中,將“算法社會(huì)”歸納為“一套實(shí)踐和話語,牽涉到政府和私有部門之間的混合聯(lián)系,它由一套相對(duì)較新的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)支撐,通過自己的知識(shí)模式和形成新主體的特殊方式,為社會(huì)的治理增加了新的層次”[11]195。

值得注意的是,在上述界定中并未出現(xiàn)計(jì)算方法意義上的“算法”本身,而是借此指代了“一套相對(duì)較新的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)”。盡管我們也可以將計(jì)算的方法視為一種“技術(shù)”,如維特根斯坦曾經(jīng)將讀圖稱為“技術(shù)”(Technik)[12]249;但是掌握一種抽象的計(jì)算方法、一種操作符號(hào)的思想,畢竟無法比擬于建造一種自動(dòng)運(yùn)算的機(jī)器,將它們配置并部署到現(xiàn)實(shí)生活的某個(gè)情境中,切實(shí)地發(fā)揮作用。后者是今天的人們談?wù)摗凹夹g(shù)”時(shí)的主要意涵所在。而從針對(duì)“算法”中立性的批判來看,對(duì)于技術(shù)運(yùn)行結(jié)果的評(píng)判往往構(gòu)成了論者展開辨析的出發(fā)點(diǎn)。為人詬病的數(shù)據(jù)的采集、特征的選取、目標(biāo)的設(shè)定等雖然也以各種方式在算法中得到體現(xiàn),但它們本身并非算法運(yùn)行的結(jié)果,而是在算法得到設(shè)計(jì)之前就已經(jīng)決定了的事物。

這就意味著對(duì)于“算法”中立性的批判,實(shí)際并不是針對(duì)作為計(jì)算方法的算法本身。它的名稱實(shí)際指代了諸多先于算法設(shè)計(jì)的決策和算法本體之外的數(shù)據(jù)?！八惴ā背蔀楦黝愑?jì)算機(jī)技術(shù)特別是人工智能技術(shù)的提喻(synecdoche)。

技術(shù)的提喻此前多以實(shí)物的形態(tài)出現(xiàn)。西蒙棟(Gilbert Simondon)曾舉例分析了儀表盤、尾氣管等汽車部件對(duì)于汽車性能的暗示作用。通過這些部件夸張的外形設(shè)計(jì),制造汽車的技術(shù)得到了象征性的顯現(xiàn),即所謂的“技術(shù)顯像”(technophanie)。[13]39在他看來,技術(shù)顯像的出現(xiàn)標(biāo)志著一種將技術(shù)重新納入“文化堡壘”中的努力,也就是為技術(shù)因素(如汽車的加速性能)賦予文化上的含義(如與英雄氣概相關(guān)聯(lián))。與此類似,“算法”這一名稱在相當(dāng)程度上為人工智能技術(shù)中多變、復(fù)雜而缺乏可解釋性的技術(shù)構(gòu)成賦予了一個(gè)概括性的名稱。

算法所描述的計(jì)算過程之所以有意義、被采納,有賴于一系列在此之前和在此之外施加的對(duì)輸入—輸出對(duì)應(yīng)關(guān)系的規(guī)約,而這正是科技巨頭企圖利用算法作為數(shù)學(xué)過程的中立性所掩蓋的。它們的邏輯是:由于算法是中立的,它本身無法做出價(jià)值的評(píng)判,而僅僅以計(jì)算的結(jié)果排列或推薦用戶消息或新聞內(nèi)容,社交網(wǎng)絡(luò)、手機(jī)應(yīng)用等技術(shù)產(chǎn)品也就是中立的。但是從設(shè)計(jì)的角度來看,如果廣告的投放以轉(zhuǎn)化率為唯一的衡量標(biāo)準(zhǔn),在此規(guī)定下設(shè)計(jì)并運(yùn)作的算法也就不可能將廣告內(nèi)容的合規(guī)與否納入檢測(cè)的范圍。換言之,“算法”之所以被征用為人工智能技術(shù)產(chǎn)品的提喻,其目的不在于澄清或代表其中的作用機(jī)制,而是在于遮蔽算法以外參與人工智能技術(shù)建構(gòu)的社會(huì)觀念因素。

三、“模型”取代“算法”

作為一種技術(shù)構(gòu)建,形形色色的人工智能技術(shù)應(yīng)用從一開始就受到了社會(huì)因素的規(guī)定。芬伯格(Andrew Feenberg)對(duì)于技術(shù)的社會(huì)構(gòu)建論觀點(diǎn)在此仍然適用:“技術(shù)包含著美學(xué)、倫理和文化領(lǐng)域中規(guī)范共識(shí)的成果,而不僅僅是純粹的效率至上或用戶至上渴望獲取的狂熱?！盵14]15作為諸種概念“物質(zhì)化”(materialize)的結(jié)果,技術(shù)產(chǎn)品體現(xiàn)了這些“規(guī)范共識(shí)”的作用,并為之準(zhǔn)備了自動(dòng)的“次級(jí)施行者”(secondary agent)。

但是數(shù)學(xué)意義上的算法并不是這樣的技術(shù)產(chǎn)品,二者間存在著巨大的鴻溝:一種“數(shù)學(xué)上可行”的算法在現(xiàn)實(shí)中完全可能是不可行的。算法所提供的是一種維特根斯坦所說的“象征的機(jī)器”,沿著邏輯的必然性“運(yùn)作”, “從一開始就在自身中包含著它的作用方式……它將造就的各種運(yùn)轉(zhuǎn),似乎已經(jīng)完全決定好了”。[12]89這也就意味著,算法和圖紙一樣,無法突破紙面而“生長”出現(xiàn)實(shí)的機(jī)器,后者由于物理的限制而可能產(chǎn)生出預(yù)料之外的結(jié)果。更不用說,算法對(duì)輸入和輸出數(shù)據(jù)所做的數(shù)學(xué)上的預(yù)設(shè)無法從現(xiàn)實(shí)中直接取得,而是需要經(jīng)過技術(shù)上的轉(zhuǎn)換。這些現(xiàn)實(shí)技術(shù)的成分是算法發(fā)揮作用的前提。

另一方面,從文化批評(píng)引入“算法”概念作為批判靶標(biāo)的動(dòng)機(jī)來看,其所關(guān)心的也不是作為數(shù)學(xué)過程的算法本身,而恰恰是將其近似、轉(zhuǎn)變,由通用性的計(jì)算方法具體化為滿足外部特定要求的上述技術(shù),也就是“算法”的提喻。問題在于,批評(píng)者對(duì)此往往并不自知。如同科技巨頭企圖將數(shù)學(xué)意義上的算法同他們的技術(shù)產(chǎn)品短接以賦予后者“中立性”,批評(píng)者也將他們從技術(shù)中發(fā)現(xiàn)的非中立性倒轉(zhuǎn)為“算法”的性質(zhì)?？梢?“算法”作為技術(shù)的提喻并不恰當(dāng)。人們需要一種更具概括性的話語,顯性地揭示技術(shù)獨(dú)立于數(shù)學(xué)過程并受制于社會(huì)關(guān)系的方面,才能讓文化批評(píng)真正進(jìn)入“規(guī)范共識(shí)”的層面,也就是現(xiàn)實(shí)中業(yè)已存在著的偏見、不平等或技治主義傾向,從而合法地發(fā)揮批判的作用。

“模型”提供了一種可行的替代方案。盡管“模型”不像“算法”那樣存在較為公認(rèn)或形式化的定義,我們?nèi)钥梢詮娜斯ぶ悄芗夹g(shù)的語境中看到,模型突出的特點(diǎn)在于定義了算法所需求解的問題本身。如果從最初華倫·麥克庫洛(Warren McCulloch)與瓦爾特·皮茨(Walter Pitts)對(duì)于神經(jīng)元的數(shù)學(xué)建模算起[15],“模型”在人工智能的領(lǐng)域中就不僅包含了對(duì)于某個(gè)問題的解決方法,而且首要地呈現(xiàn)了對(duì)模糊問題進(jìn)行嚴(yán)格定義與描述的要求。特別是在當(dāng)代以機(jī)器學(xué)習(xí)為主要路徑、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為范式的人工智能技術(shù)中,嚴(yán)格意義上的算法主要在數(shù)值優(yōu)化的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)發(fā)揮作用,而更為整體性的“模型”才與具體的用途相關(guān)聯(lián)。

以藝術(shù)領(lǐng)域的人工智能技術(shù)應(yīng)用為例,2016年,列昂·蓋蒂斯(Leon A.Gatys)等人在提出有關(guān)“藝術(shù)風(fēng)格轉(zhuǎn)移”時(shí),即通過一組矩陣來定義圖像中的“風(fēng)格信息”,并進(jìn)一步將已有的模型同他們提出的新結(jié)構(gòu)適配、嵌合。[16]他們用一組良好定義的(well-defined)矩陣替代了藝術(shù)上存在爭議的“風(fēng)格”概念,“風(fēng)格”的接近則通過評(píng)估矩陣之間的差異得到。這樣,模型確定了算法所要優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)有何意義,而所需求得的參數(shù)又應(yīng)滿足何種條件。最終,整體計(jì)算過程的性能或?qū)嵱眯詣t在相當(dāng)程度上由模型所要求的訓(xùn)練數(shù)據(jù)(圖像)決定?！帮L(fēng)格”的模型是否有效并不是通過深入矩陣元素和某種關(guān)于“風(fēng)格”的藝術(shù)理論之間的對(duì)應(yīng)性上建立的,而只是研究者的一種人為規(guī)定,體現(xiàn)了他們所持有的、局部性的“共識(shí)”。

因此,如果說算法至多只是將與應(yīng)用相關(guān)的信息隱含在對(duì)計(jì)算過程的描述之中,模型則將計(jì)算過程得以決定之前的先決條件和可能的輸入范圍,清晰呈現(xiàn)在人們的面前。即便是那些強(qiáng)調(diào)通用性的模型,如文本處理領(lǐng)域能在文本分類、自動(dòng)摘要、生成等方面發(fā)揮作用的GPT-3,也有明確的作用范圍(現(xiàn)代英語文本,特別集中在說明性文本)。而這又是因?yàn)槟Ｐ蛯?duì)于數(shù)據(jù)的來源、性質(zhì)和意義進(jìn)行充分的考慮。由于英語維基百科的內(nèi)容在GPT-3的訓(xùn)練過程中占有重要地位,其在處理說明性文本時(shí)顯然就更可能存在優(yōu)勢(shì)。而當(dāng)人們用GPT-3相同的算法甚至結(jié)構(gòu),用另一種語言的文本、另一組數(shù)據(jù)進(jìn)行“訓(xùn)練”之后,所獲得的新模型體現(xiàn)的顯然已是另一種語言、另一些文體所具有的特征了,因而至多只是與GPT-3同構(gòu)的另一個(gè)模型。遑論不同語言的文本涉及不同的具體處理方式,如中文文本是按照字符還是按照詞為單位進(jìn)入算法,都為模型引入了新的自由度。

當(dāng)然,模型和算法一樣,并不是具體的技術(shù)產(chǎn)物本身,它同樣是對(duì)技術(shù)的一種抽象。但是,這種抽象仍比算法更為接近最終的實(shí)現(xiàn);而且它給出了人們對(duì)于數(shù)據(jù)可能性范圍和達(dá)成目標(biāo)的認(rèn)識(shí)和理解,從而直接地顯現(xiàn)出技術(shù)之所受制與反映的“規(guī)范共識(shí)”。仍以前文提及的“風(fēng)格轉(zhuǎn)移”為例,當(dāng)蓋蒂斯等人以凡·高的《星空》為例證,說明其模型的有效性時(shí),無疑就已包含了他們以凡·高的油畫為一種典型繪畫風(fēng)格的藝術(shù)認(rèn)識(shí)。這些作者顯然也沒有預(yù)想到,如果以水墨畫為目標(biāo)風(fēng)格,其輸出結(jié)果并不能如應(yīng)對(duì)油畫時(shí)那般令人滿意;這種“偏見”并不是由于算法本身所造成的,而是由于模型的設(shè)定和訓(xùn)練過程導(dǎo)致。例如,北京大學(xué)的段凌宇團(tuán)隊(duì)在此基礎(chǔ)上重新設(shè)計(jì)了目標(biāo)函數(shù),并選取了徐悲鴻的畫作圖像作為水墨畫的代表進(jìn)行訓(xùn)練,取得了令人滿意的結(jié)果。[17]而由此取得的新模型,在應(yīng)對(duì)水墨風(fēng)格時(shí)就獲得了一定的優(yōu)勢(shì),盡管在底層上可以認(rèn)為二者中起作用的“算法”是高度相似乃至相同的。

模型的改變同共識(shí)的改變相關(guān)。由于包含了更多具有現(xiàn)實(shí)意義的信息,模型成為數(shù)學(xué)意義上的算法和技術(shù)產(chǎn)品之間的橋梁,明確顯現(xiàn)了技術(shù)的社會(huì)建構(gòu)性質(zhì)。以“模型”取代“算法”作為人工智能技術(shù)的提喻,有助于人們跳出“算法”提喻的話語陷阱,從對(duì)技術(shù)的間接批判更快地轉(zhuǎn)入對(duì)技術(shù)的社會(huì)建構(gòu)中“規(guī)范共識(shí)”的直接批判:如何將真正具有廣泛代表性的社會(huì)共識(shí)通過技術(shù)得到表達(dá),而不是那些只服務(wù)于少數(shù)人利益的“共識(shí)”。如是,從人工智能技術(shù)的種種社會(huì)后果出發(fā)的文化批評(píng)才能建立起合法性,免于陷入盧德主義的困境。

注釋

[1]賈開.算法社會(huì)的技術(shù)內(nèi)涵、演化過程與治理創(chuàng)新[J].探索,2022(2):164-178.

[2][美]Knuth D E.計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)藝術(shù)[M].李伯民,范明,蔣愛軍譯.北京:人民郵電出版社,2016:1.

[3][美]Cormen T H,Leiserson C E,Rivest R L,等.算法導(dǎo)論(原書第2版)[M].潘金貴等譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006.

[4]Crossley J N,Henry A S.Thus Spake Al-Khwārizmī:A Translation of the Text of Cambridge University Library Ms.Ii.vi.5[J].HistoriaMathematica,1990,17(2):103-131.

[5]朱一文.數(shù)學(xué)的語言:算籌和文本——以天元術(shù)為中心[J].九州學(xué)林,2010(7):82-105.

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