丁愛平

【背景】

自《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）頒布以來，不少教師對(duì)“計(jì)算的一致性”頗感興趣。然而，課堂教學(xué)并不順利，教師教得很吃力，學(xué)生對(duì)“一致性”理解起來也很吃力。問題的主要原因是：在整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)算教學(xué)中，教師對(duì)它們各自內(nèi)部的“一致性”和“完整性”的關(guān)注不充分，學(xué)生對(duì)計(jì)算學(xué)習(xí)的體驗(yàn)不深入、認(rèn)知不完整。

我們需要整體把握運(yùn)算能力的內(nèi)涵。新課標(biāo)指出：運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力。能夠明晰運(yùn)算的對(duì)象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系；能夠理解運(yùn)算的問題，選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算策略解決問題；能夠通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的過程還有助于他們形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度?？梢姡岣哌\(yùn)算能力不是簡(jiǎn)單外顯為能夠正確運(yùn)算，還強(qiáng)調(diào)能夠理解意義和關(guān)系、選擇運(yùn)算策略、發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力、形成思維品質(zhì)、養(yǎng)成科學(xué)態(tài)度，這是一個(gè)完整的核心素養(yǎng)發(fā)展過程。

基于素養(yǎng)目標(biāo)與現(xiàn)實(shí)需要，筆者提出“完整地學(xué)”，為提升學(xué)生的運(yùn)算能力提供一個(gè)新視角。“完整地學(xué)”，主要從學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體觀照、認(rèn)知過程的完整關(guān)注、學(xué)科育人的全面關(guān)懷這三個(gè)維度出發(fā)，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。計(jì)算教學(xué)不能使學(xué)生成為機(jī)械計(jì)算的工具人，他們需要學(xué)會(huì)思維、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，更“完整地”學(xué)習(xí)計(jì)算。

如蘇教版四下《三位數(shù)乘兩位數(shù)》這節(jié)課，不少教師都認(rèn)為太簡(jiǎn)單，沒有多少“嚼頭”，普遍的教學(xué)流程是“嘗試?yán)}→概括算法→鞏固練習(xí)”。此教法使學(xué)生看到的只是外顯的數(shù)學(xué)知識(shí)技能。其實(shí)，計(jì)算教學(xué)的內(nèi)容和意義遠(yuǎn)不止于此。法與理的共存、過程與結(jié)果的和諧、數(shù)學(xué)文化與兒童立場(chǎng)的相融、計(jì)算教學(xué)與時(shí)代背景的映照……計(jì)算教學(xué)并不簡(jiǎn)單，它隱含著豐富的育人資源。如果以動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀認(rèn)識(shí)課程資源，就會(huì)發(fā)現(xiàn)許多內(nèi)隱性資源依附在過程之中?！叭粩?shù)乘兩位數(shù)”的算法是結(jié)果性知識(shí)，教師教學(xué)時(shí)不僅要使學(xué)生掌握結(jié)果性知識(shí)，更重要的是要將關(guān)于“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的問題、語言、方法、命題這條邏輯鏈完整、清晰地展示出來。

【教學(xué)過程及分析】

一、自主遷移，探究新知

師：同學(xué)們，今天我們上一節(jié)計(jì)算課。請(qǐng)大家看這道題（出示圖1），誰來讀題？

（圖1）

師：讀完之后有什么感受？

生：我坐過“復(fù)興號(hào)”高鐵，速度非?？欤∥覀冏鎳?guó)太強(qiáng)大了！

師：同學(xué)們的小臉上寫著滿滿的自豪。計(jì)算包括口算、列豎式算、估算，你準(zhǔn)備用哪一種方法來計(jì)算？

生：我準(zhǔn)備用列豎式的方法計(jì)算。

師：好的，如果除了列豎式計(jì)算，你還有其他算法，也把它寫下來。

學(xué)生在學(xué)習(xí)單上嘗試計(jì)算，教師巡視指導(dǎo)，并請(qǐng)兩位學(xué)生到黑板上解答。

數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生通過課堂學(xué)習(xí)，形成積極的情感，樹立正確的價(jià)值觀。本課的例題注重發(fā)揮情境素材的育人功能，將課本例題中的“計(jì)算小區(qū)有多少住戶”改為計(jì)算“綠皮火車”和“復(fù)興號(hào)”12 小時(shí)行駛的路程，使學(xué)生在數(shù)據(jù)對(duì)比中增強(qiáng)了民族自豪感。

師：下面，我們來掌聲有請(qǐng)板演的小老師講一講，看他們是怎么解決這兩個(gè)實(shí)際問題的。

生1：我算的是“綠皮火車”12 小時(shí)行駛多少千米，列式是32×12，先算2 乘32 等于64，代表的是2個(gè)32；再算10乘32等于320，這里有一個(gè)0不需要寫，代表10個(gè)32是320；最后把這兩個(gè)數(shù)加起來。（如圖2左）

生2：我寫的是“復(fù)興號(hào)”12 小時(shí)的路程。2乘332 代 表2 個(gè)332，十 位 的1 再乘332 等 于3320，代表10個(gè)332，最后加起來就是3984。（如圖2右）大家有什么補(bǔ)充？

（圖2）

生3（上臺(tái)板演如圖3）：還可以這樣算。

生4（上臺(tái)板演如下頁圖4）：我還有畫圖的方法，畫一個(gè)長(zhǎng)方形，把長(zhǎng)邊拆分成300、30 和2，短邊也拆分成10 和2，這里一共有6 個(gè)格 子，下 面 是2×2、30×2、300×2，上面是2×10、30×10、300×10。

（圖3）

（圖4）

師：他的方法大家能看懂嗎？我來采訪采訪他，你為什么會(huì)想到拆成6 個(gè)不同區(qū)域？

生4：拆成整十?dāng)?shù)，好算一點(diǎn)。

生5：我贊同他的方法！我還有一個(gè)方法，和生3 有點(diǎn)相似，他是把12 拆成6 乘2，而我是把12拆成10和2，10加2等于12。

生6：我算的“復(fù)興號(hào)”跟大家不一樣，“復(fù)興號(hào)”和“綠皮火車”每小時(shí)相差300 千米，“復(fù)興號(hào)”12 小時(shí)比“綠皮火車”多跑了3600 千米，384加3600等于3984千米。

生7：我想總結(jié)一下前面這些方法，他們都是把332 和12 拆成了幾個(gè)數(shù)，只是有的拆332，有的拆12，都是用拆的方法。

師：同學(xué)們看，這是我們以前的兩位數(shù)乘兩位數(shù)，這是三位數(shù)乘兩位數(shù)。我們沒學(xué)過三位數(shù)乘兩位數(shù)，可是全班同學(xué)都能用自己喜歡的方法計(jì)算，你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：我有發(fā)現(xiàn)！它們都是先拿兩位數(shù)的個(gè)位去乘三位數(shù)，再拿兩位數(shù)的十位去乘，運(yùn)算方法是一樣的。

生2：我發(fā)現(xiàn)這幾種方法都是用拆的方法，先分再合。（教師板書：先分再合）

生3：分較小的數(shù)計(jì)算起來更容易。

師：原來你們調(diào)用的是兩位數(shù)乘兩位數(shù)的經(jīng)驗(yàn)啊，真好！仔細(xì)觀察這些方法，你能否找到它們和豎式的聯(lián)系？

生1：我覺得332×（10+2）和豎式有緊密的聯(lián)系，都是拆成10和2。

生2：畫圖法和豎式都是用拆的方法。不同的是，畫圖法把兩個(gè)數(shù)都分開了；豎式只分一個(gè)數(shù)，且大部分時(shí)候只分較小的數(shù)。

師：其實(shí)這個(gè)六格圖和豎式計(jì)算的每一步緊密聯(lián)系，比如二二得四，你發(fā)現(xiàn)了嗎？丁老師指圖，誰來指對(duì)應(yīng)豎式的哪一步？

師生合作，將六格圖與豎式的6 個(gè)關(guān)鍵步驟一一對(duì)應(yīng)。

師：看來圖和豎式計(jì)算的步驟是對(duì)應(yīng)的呢！我們?cè)俅问崂硪幌聞偛诺膶W(xué)習(xí)過程。是什么經(jīng)驗(yàn)讓我們學(xué)會(huì)探索三位數(shù)乘兩位數(shù)的？

生：先分再合。

師：但是具體分哪個(gè)數(shù)有不同的情況，一般分位數(shù)少的數(shù)，先得到多少個(gè)一，再得到多少個(gè)十。我們還梳理了這些不同的方法與豎式的聯(lián)系，它們都進(jìn)行了拆、乘、加。

上述教學(xué)過程立足單元整體，內(nèi)容更完整。聚焦“332×12 可以怎樣算”展開自主探究與伙伴學(xué)習(xí)，不是碎片化知識(shí)技能的機(jī)械翻炒，而是結(jié)構(gòu)化知識(shí)的整體建構(gòu)?；谡_計(jì)算、多元聯(lián)想、有機(jī)勾連，教師將知識(shí)結(jié)構(gòu)化。在學(xué)生豐富多元的計(jì)算作品中，涵蓋現(xiàn)代筆算中的位值原則、數(shù)的分解與組成、計(jì)算的本質(zhì)意義等“原理性知識(shí)”，以及豎式書寫、計(jì)算步驟等“規(guī)則性知識(shí)”。將多種計(jì)算方法整體聯(lián)通，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維，新課標(biāo)倡導(dǎo)的單元整體設(shè)計(jì)的理念得以生動(dòng)詮釋。

上述教學(xué)過程關(guān)注深度理解，整個(gè)過程更完整。學(xué)生完整地經(jīng)歷自主探究與合作交流“332×12 為什么可以這樣算”的過程，理解“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的算理，掌握豎式計(jì)算的方法，明確“先分后合”。首先是獨(dú)立嘗試階段，學(xué)生自主遷移“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的計(jì)算方法，把未知轉(zhuǎn)化為已知，解決新問題十分順利。接著進(jìn)入多種思考階段，不同算法接踵而出，每一個(gè)獨(dú)特的想法都得到重視，全員卷入深度互動(dòng)。教師引導(dǎo)學(xué)生從具體到一般，對(duì)整數(shù)乘法進(jìn)行建模，促進(jìn)他們提高了運(yùn)算能力，培養(yǎng)了推理意識(shí)。

二、練習(xí)進(jìn)階，內(nèi)化建模

師：我們學(xué)習(xí)計(jì)算需要適當(dāng)?shù)木毩?xí)。請(qǐng)看“練一練”（出示圖5），大家先獨(dú)立完成，再互評(píng)互學(xué)。

（圖5）

學(xué)生展示匯報(bào)過程略。

師：最后，我們來對(duì)比同學(xué)們運(yùn)用的豎式、橫式、畫圖等方法，它們有沒有相同的地方？

生：都要拆數(shù)，算乘法，最后加起來。

師（板書）：拆、乘、加。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)完整的過程，如果缺失深刻的過程體驗(yàn)，將導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)知的淺表化。要支持學(xué)生全面理解乘法運(yùn)算，需要將學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行再完善與再升級(jí)。本課的基本練習(xí)僅設(shè)計(jì)了一道題“109×54”，以一當(dāng)十，讓學(xué)生經(jīng)歷簡(jiǎn)單習(xí)題的“深度加工”。一方面，這道題非常典型，分別從計(jì)算易錯(cuò)點(diǎn)、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)推理等方面，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察與思考、想象與操作、質(zhì)疑與討論、反思與評(píng)價(jià)等完整的學(xué)習(xí)過程，展現(xiàn)不同能力水平學(xué)生的思維痕跡，使他們?cè)俅胃形颉跋确趾蠛稀钡挠?jì)算方法，培養(yǎng)抽象能力和模型觀念，促進(jìn)其數(shù)學(xué)理解的深度、廣度和完整度。另一方面，這道題關(guān)注“教—學(xué)—評(píng)”一致性。發(fā)揮評(píng)價(jià)的育人導(dǎo)向作用，以評(píng)促學(xué)、互評(píng)共學(xué)，突出自我評(píng)價(jià)和同學(xué)評(píng)價(jià)，重視培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真細(xì)致、自覺反思的計(jì)算習(xí)慣。教師鼓勵(lì)學(xué)生彼此欣賞、彼此照亮，培養(yǎng)其濃厚的數(shù)學(xué)研究興趣，使他們?cè)凇皩W(xué)會(huì)”數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中獲得“會(huì)學(xué)”的能力和品格。

師：接下來，丁老師邀請(qǐng)同學(xué)們“理一理”，（出示圖6 中的前2 題）我們已經(jīng)能熟練地筆算這些整數(shù)乘法，繼續(xù)往下研究（出示③號(hào)虛線框），猜猜看，③號(hào)算式可能是什么？

（圖6）

生：三位數(shù)乘三位數(shù)，四位數(shù)乘兩位數(shù)。

師：你們還會(huì)算嗎？

生：會(huì)！方法和今天學(xué)的一樣，都是先分再合。（學(xué)生圈出“先分再合”）

師（出示③號(hào)豎式圖）：揭曉謎底啦！

生（驚奇地）：??？③號(hào)豎式?jīng)]有數(shù)字！

師（出示）：丁丁和毛毛提出自己的觀點(diǎn)，你贊同嗎？獨(dú)立思考后在小組里討論。

生1：丁丁的觀點(diǎn)是對(duì)的，乘數(shù)不管有幾位，整數(shù)乘法的算法都是一致的。毛毛的觀點(diǎn)不對(duì)，這里個(gè)位最大是9，十位最小是1，一個(gè)是乘9，一個(gè)是乘10，當(dāng)然A比不過B。

生2：第一次的積表示乘了幾個(gè)，第二次的積表示乘了幾十。如果第二個(gè)乘數(shù)是三位數(shù)，那就要再寫一行，因?yàn)檫€要乘幾百啊！

師：你創(chuàng)造的那個(gè)C，和A、B相比呢？

生（齊聲）：那當(dāng)然C最大嘍！

“理一理”這道題體現(xiàn)出鮮明的整體建構(gòu)特點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧整數(shù)乘法的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，“遷移”的力量在學(xué)生腦海中升騰。當(dāng)學(xué)生滿心期待多位數(shù)相乘的算式時(shí)，教師卻出示一個(gè)沒有乘數(shù)的計(jì)算模型。A 與B 的較量吸引著學(xué)生進(jìn)行大膽猜想和舉例驗(yàn)證，他們?cè)诜治觥⒃u(píng)價(jià)與創(chuàng)造的高階思維發(fā)展過程中獲得了認(rèn)知與情感的高峰體驗(yàn)。

師：我看了小學(xué)六年的數(shù)學(xué)書，發(fā)現(xiàn)整數(shù)乘法學(xué)到三位數(shù)乘兩位數(shù)就結(jié)束了，我們不再學(xué)三位數(shù)乘三位數(shù)、四位數(shù)乘兩位數(shù)了，為什么不學(xué)了呢？

生：沒必要再學(xué)了，因?yàn)榉椒ㄊ且粯拥?，都是先分后合的方法?/p>

師：是的，如果把乘法計(jì)算比作一棵大樹，先分再合就是計(jì)算整數(shù)乘法的樹干，不管是兩位數(shù)乘兩位數(shù)還是三位數(shù)乘兩位數(shù)，或者是其他多位數(shù)相乘，都是這棵大樹生長(zhǎng)出來的枝葉。（完善板書，如圖7）

（圖7）

一幅板書寫立意，自然生成有靈魂。樹形圖直觀形象，用學(xué)生喜歡的方式把獲得的知識(shí)、能力、思想、方法進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)具有結(jié)構(gòu)感。這幅板書，除了課題、先分后合、左上角的數(shù)框，其他部分都是學(xué)生的手筆，生動(dòng)詮釋了以學(xué)為中心的教學(xué)理念，整數(shù)乘法計(jì)算的大樹象征著學(xué)生蓬勃生長(zhǎng)的運(yùn)算能力。

三、評(píng)價(jià)反思，總結(jié)延伸

師：今天的課后作業(yè)是一個(gè)“玩一玩”的游戲，怎么玩呢？（出示圖8）同學(xué)們課后和小伙伴或家長(zhǎng)玩一玩吧，老師期待大家的新研究、新發(fā)現(xiàn)、新成果！下課！

（圖8）

“完整地學(xué)”倡導(dǎo)讓學(xué)生學(xué)會(huì)思維、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展。“雙減”背景，素養(yǎng)導(dǎo)向，教師在每次作業(yè)設(shè)計(jì)之后，都要審視這份作業(yè)的價(jià)值：學(xué)生是否減負(fù)增效了？是否獲得了知識(shí)技能，學(xué)有所得？是否感受到了學(xué)科之美，喜歡研究？是否擁有了方法和素養(yǎng)，有助于他們的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展？本課的課后作業(yè)只有一個(gè)“玩一玩”的游戲，教師的“友情提醒”是幫助學(xué)生全面思考、理性分析的工具方法。實(shí)踐證明，游戲化作業(yè)順應(yīng)學(xué)生天性中的冒險(xiǎn)家特質(zhì)，它沒有標(biāo)準(zhǔn)答案，能使學(xué)生放飛無限的想象，在充滿未知的挑戰(zhàn)中充分感受計(jì)算的樂趣，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值體認(rèn)，走向完整而愉悅的生命成長(zhǎng)。