李衡金，湯 卿

(四川大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，成都 610065)

0 引言

隨著機(jī)器人的發(fā)展，人們對(duì)機(jī)器人在更加廣泛的任務(wù)中提出了更高的要求，如人機(jī)交互中的安全性、舒適性、靈活性等。然而現(xiàn)有剛體機(jī)器人和操作手難以應(yīng)對(duì)復(fù)雜環(huán)境的動(dòng)態(tài)需求，需要一種新型機(jī)器人來(lái)彌補(bǔ)其不足，因此軟體機(jī)器人應(yīng)運(yùn)而成，成為目前研究的熱點(diǎn)。

機(jī)器人工作空間的大小是衡量其性能優(yōu)越性的一個(gè)重要指標(biāo)。剛體機(jī)器人工作空間的大小決定了其末端參考點(diǎn)的可達(dá)范圍，而且計(jì)算方法具有通用性[1]。但對(duì)于軟體機(jī)器人而言，其工作空間的定義和計(jì)算方式有較大的不同。對(duì)于軟體機(jī)器人，不同的驅(qū)動(dòng)方式(氣動(dòng)[2]、線(xiàn)驅(qū)動(dòng)[3]、燃爆驅(qū)動(dòng)[4]、流體驅(qū)動(dòng)[5]、記憶合金[6]等)、不同的結(jié)構(gòu)(條形[6]、環(huán)形[7]、球形[8]、異形[9]等)、不同的材料參數(shù)(密度、楊氏模量、泊松比等)等都會(huì)對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型產(chǎn)生影響。因此難以總結(jié)出一套通用的理論對(duì)軟體機(jī)器人進(jìn)行建模。同時(shí)由于軟體機(jī)器人可變形的特性，通常采用有限元分析的方法對(duì)其進(jìn)行仿真。而商業(yè)有限元仿真軟件[10]是離線(xiàn)非實(shí)時(shí)計(jì)算，僅獲得單一工況下的軟體機(jī)器人狀態(tài)就需要花費(fèi)大量時(shí)間，因此難以對(duì)大量的形變狀態(tài)進(jìn)行仿真。

機(jī)器人的最大可承受負(fù)載也是衡量機(jī)器人優(yōu)越性的一大指標(biāo)。由于獲得最大可承受負(fù)載的實(shí)驗(yàn)對(duì)于機(jī)器人有一定的破壞性，當(dāng)負(fù)載過(guò)重時(shí)可能導(dǎo)致機(jī)器人關(guān)節(jié)和固定鏈接處的損壞。因此采用有限元方法對(duì)機(jī)器人進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析是獲得機(jī)器人理論最大可承受負(fù)載的有效方法。CHUNG等[11]設(shè)計(jì)了重型工業(yè)機(jī)器人機(jī)械手，通過(guò)有限元分析軟件對(duì)機(jī)器人進(jìn)行仿真，實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)器人的整體結(jié)構(gòu)的評(píng)估。多數(shù)的機(jī)器人負(fù)載仿真都是針對(duì)剛體機(jī)器人，而對(duì)于軟體機(jī)器人的負(fù)載理論分析較少。

針對(duì)以上存在的問(wèn)題，本文首先提出了一種線(xiàn)驅(qū)動(dòng)的連續(xù)型軟體機(jī)器人，通過(guò)電機(jī)旋轉(zhuǎn)控制線(xiàn)纜長(zhǎng)度進(jìn)而實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)；然后基于SOFA有限元實(shí)時(shí)仿真框架，通過(guò)Monte Carlo算法快速得到軟體機(jī)器人工作空間中大量的離散點(diǎn)。通過(guò)α-shape算法計(jì)算工作空間的邊界曲面，調(diào)整參數(shù)α大小得到了較高的重建精度。并計(jì)算了邊界曲面的體積大小，對(duì)工作空間進(jìn)行了量化分析；最后對(duì)軟體機(jī)器人的最大可承受負(fù)載能力進(jìn)行了理論分析。

1 軟體機(jī)器人建模

1.1 軟體機(jī)器人描述

軟體機(jī)器人由4根線(xiàn)纜驅(qū)動(dòng)，各線(xiàn)纜沿本體縱向呈90°均勻布置，可以在多個(gè)方向上運(yùn)動(dòng)。線(xiàn)纜貫穿本體內(nèi)部，頭部固定在本體頂端。在本體內(nèi)部沿線(xiàn)纜路徑方向放置管道，使線(xiàn)纜在管道內(nèi)部滑動(dòng)，避免線(xiàn)纜和本體之間的摩擦。主要幾何參數(shù)：全長(zhǎng)L=200 mm，最大半徑15 mm，最小半徑5 mm，其余所有件(頂部與末端之間)半徑由15 mm逐漸減小到5 mm。在仿真中，使用管道所產(chǎn)生的附加剛度采用剛性彈簧進(jìn)行建模。由于通過(guò)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)改變線(xiàn)纜長(zhǎng)度實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)，因此相較于SMA、氣動(dòng)、流體驅(qū)動(dòng)變形速度更快，同時(shí)可以在機(jī)器人軸為布置更多長(zhǎng)度不同的線(xiàn)纜以實(shí)現(xiàn)更高自由度的控制。軟體機(jī)器人的主視圖和左視圖如圖1所示。

圖1 軟體機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 軟體動(dòng)力學(xué)模型

軟體機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程可以定義為：

(1)

1.3 線(xiàn)纜驅(qū)動(dòng)約束

線(xiàn)纜驅(qū)動(dòng)是通過(guò)在軟體機(jī)器人內(nèi)部放置線(xiàn)纜，在拉動(dòng)線(xiàn)纜時(shí)使其內(nèi)部某些點(diǎn)產(chǎn)生移位移，并帶動(dòng)相鄰點(diǎn)移動(dòng)，從而使機(jī)器人整體發(fā)生形變。假設(shè)線(xiàn)纜不可延伸，則可將線(xiàn)纜長(zhǎng)度與執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)直接聯(lián)系起來(lái)。對(duì)于每根線(xiàn)纜，給定牽引點(diǎn)位置ppull，可以定義函數(shù)δa(x):R3n→R表示線(xiàn)纜的長(zhǎng)度，并限制其最大值和最小值為δa(x)[δmin,δmax]。通常線(xiàn)纜僅連接到軟體機(jī)器人上的一個(gè)位置，并產(chǎn)生指向連接方向的力，此時(shí)線(xiàn)纜長(zhǎng)度可以定義為：

(2)

式中，xs為軟體機(jī)器人上連接線(xiàn)纜的位置。當(dāng)軟體機(jī)器人內(nèi)部的線(xiàn)纜使用更加復(fù)雜的路徑通過(guò)多個(gè)點(diǎn)連接時(shí)，線(xiàn)纜長(zhǎng)度為：

(3)

式中，xi為線(xiàn)纜穿過(guò)模型的每個(gè)位置(如圖2所示)；λa為線(xiàn)纜施加在結(jié)構(gòu)上的力。

圖2 線(xiàn)纜拉伸示意圖

在每一點(diǎn)xi，i∈{0,1,…,N}上，沿著線(xiàn)纜在db之前和da之后的方向(見(jiàn)圖2)。為了獲得應(yīng)用于該點(diǎn)約束的方向，使用dp=da-db作為方向向量。對(duì)于末端點(diǎn)xs，由于未定義db，其方向等于da。每個(gè)點(diǎn)的約束方向存儲(chǔ)在矩陣H(其大小與節(jié)點(diǎn)數(shù)相同)的相應(yīng)位置：

(4)

2 軟體機(jī)器人分析

2.1 動(dòng)力學(xué)微分方程求解

通過(guò)SOFA基于場(chǎng)景圖的模擬架構(gòu)對(duì)動(dòng)力學(xué)微分方程求解。場(chǎng)景包含機(jī)器人及其環(huán)境，可通過(guò)XML或Python腳本描述。式(1)中的慣性矩陣M(q)、力場(chǎng)F(q,v)、線(xiàn)纜驅(qū)動(dòng)約束和接觸約束H(q)Tλ分別通過(guò)SOFA仿真框架獲得。將獲得的動(dòng)力學(xué)方程通過(guò)EulerImplicit或QuasiStatic微分方程求解器計(jì)算得到各網(wǎng)格點(diǎn)的速度與位置，如圖3所示。

圖3 SOFA計(jì)算框架

2.2 線(xiàn)驅(qū)動(dòng)軟體機(jī)器人工作空間

剛體機(jī)械臂工作空間是指其末端參考點(diǎn)所能達(dá)到的空間點(diǎn)集合，工作空間的大小代表了機(jī)器末端執(zhí)行器參考點(diǎn)的活動(dòng)范圍，是衡量機(jī)器人工作能力的重要運(yùn)動(dòng)學(xué)指標(biāo)。而對(duì)于軟體機(jī)器人，由于實(shí)現(xiàn)方式多種多樣，對(duì)于任務(wù)的完成方式相較于剛體機(jī)械臂有較大不同，因此需要針對(duì)性的對(duì)軟體機(jī)器人工作空間進(jìn)行定義。對(duì)于本文所使用的軟體機(jī)器人，并不單獨(dú)使用末端進(jìn)行物體的操作，在抓取物體時(shí)通過(guò)環(huán)抱卷曲方式實(shí)現(xiàn)抓取(如圖4所示)，因此在末端可達(dá)范圍內(nèi)均可定義為工作空間。

圖4 通過(guò)環(huán)抱進(jìn)行物體抓取

2.3 工作空間算法

Monte Carlo方法是一種基于隨機(jī)抽樣的數(shù)值求解方法，可用于機(jī)器人工作空間的求解。通過(guò)Monte Carlo方法隨機(jī)選擇大量不同關(guān)節(jié)變量的組合，并代入到正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中，計(jì)算機(jī)器人末端執(zhí)行器參考點(diǎn)的坐標(biāo)值。這些坐標(biāo)值包圍的空間就表示機(jī)器人的工作空間。隨機(jī)選擇的變量組合越多，則計(jì)算得到的機(jī)器人工作空間就越接近實(shí)際工作空間。

由于軟體機(jī)器人在驅(qū)動(dòng)方式、整體結(jié)構(gòu)、材料屬性等特性上的不同，導(dǎo)致難以獲得軟體機(jī)器人統(tǒng)一的正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)建模較為困難。因此與傳統(tǒng)剛體機(jī)器人計(jì)算工作空間的方式相比，在具體算法實(shí)現(xiàn)上有所差異。本文所用的軟體機(jī)器人為線(xiàn)驅(qū)動(dòng)，通過(guò)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)改變線(xiàn)纜的拉伸量，使線(xiàn)纜產(chǎn)生拉力，帶動(dòng)機(jī)器人本體產(chǎn)生形變。具有旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的剛體機(jī)器人以關(guān)節(jié)角度為變量，而線(xiàn)驅(qū)動(dòng)的軟體機(jī)器人以線(xiàn)纜的拉伸量作為變量。通過(guò)對(duì)線(xiàn)纜的拉伸量進(jìn)行隨機(jī)采樣，生成大量的線(xiàn)纜拉伸量組合。由于無(wú)法直接對(duì)軟體機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，因此通過(guò)SOFA仿真框架獲得軟體機(jī)器人的末端參考點(diǎn)坐標(biāo)。算法實(shí)現(xiàn)的偽代碼如表1所示。

表1 軟體機(jī)器人工作空間算法

2.4 工作空間邊界曲面與體積計(jì)算

通過(guò)對(duì)工作空間的體積進(jìn)行分析，可以對(duì)工作空間進(jìn)行量化，評(píng)估機(jī)器人的性能。由于軟體機(jī)器人末端可達(dá)范圍內(nèi)均可定義為工作空間，對(duì)得到的大量離散點(diǎn)P(j),j=1,…,N取邊界曲面，并對(duì)曲面進(jìn)行體積計(jì)算得到工作空間的體積。

對(duì)于三維空間離散點(diǎn)的邊界計(jì)算可以通過(guò)α-shape算法獲得。α-shape算法由EDELSBRUNNER等[12]首次提出，算法原理圖如圖5所示。具體實(shí)現(xiàn)原理：設(shè)有m個(gè)隨機(jī)點(diǎn)的點(diǎn)集S，假設(shè)半徑為α的圓在點(diǎn)集S外側(cè)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，當(dāng)取得較為合適的半徑α，圓恰好不會(huì)陷入點(diǎn)集S中，此時(shí)圓所經(jīng)過(guò)的軌跡即為S的邊界線(xiàn)。上述為二維平面內(nèi)的α-shape算法，對(duì)于三維空間，則是將圓轉(zhuǎn)換為球體。由3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)半徑為α的球體，并在計(jì)算所得邊界點(diǎn)周?chē)鷺?gòu)建三角面片，由此得到邊界曲面。

圖5 α-shape算法原理圖

通過(guò)α-shape算法重構(gòu)得到的邊界曲面受半徑α的影響較大。當(dāng)α較大時(shí)重構(gòu)得到的邊界曲面會(huì)保留更多的離散點(diǎn)，可獲得離散點(diǎn)所構(gòu)成的凸包。當(dāng)α較小時(shí)重構(gòu)得到的邊界曲面會(huì)舍去更多的離散點(diǎn)，得到的邊界曲面會(huì)有更多的空洞。而當(dāng)α=0時(shí)，則邊界曲面會(huì)退化為原始的點(diǎn)集。因此選擇合適的半徑α對(duì)于構(gòu)建離散點(diǎn)的邊界曲面至關(guān)重要。對(duì)于任意的機(jī)器人，其工作空間內(nèi)的離散點(diǎn)集S都有唯一的封閉最小邊界曲面。當(dāng)邊界曲面確定，則體積也同時(shí)確定。因此可以將邊界曲面的體積作為參考，衡量不同半徑α的重構(gòu)效果。依次遞增半徑αi，i=1,…,N，并計(jì)算對(duì)應(yīng)的邊界曲面的體積Vi，i=1,…,N，得到體積V隨參數(shù)α變化的趨勢(shì)，從而確定半徑α的大小。

2.5 最大可承受負(fù)載理論分析

機(jī)器人的最大可承受負(fù)載通常通過(guò)有限元分析理論計(jì)算得出。對(duì)于剛體機(jī)器人，在仿真過(guò)程中對(duì)機(jī)器人末端依次施加不同質(zhì)量的負(fù)載，得到機(jī)器人整體的形變量。設(shè)置變形量閾值，評(píng)估得到最大可承受負(fù)載。不同于剛體機(jī)器人，軟體機(jī)器人自身剛性低、具有一定的柔性，對(duì)負(fù)載具有自適應(yīng)性，在彈性變形后仍可恢復(fù)原來(lái)的形狀。因此需要提出針對(duì)本文軟體機(jī)器人最大可承受負(fù)載的衡量標(biāo)準(zhǔn)：軟體機(jī)器人抓取不同質(zhì)量的物體(當(dāng)脫離地面時(shí)認(rèn)為抓取成功)，并記錄相應(yīng)的線(xiàn)纜拉伸量，當(dāng)超出線(xiàn)纜拉伸量范圍仍無(wú)法抓取時(shí)，此時(shí)的質(zhì)量為最大可承受負(fù)載。

3 線(xiàn)驅(qū)動(dòng)軟體機(jī)器人實(shí)驗(yàn)分析

3.1 工作空間分析

3.1.1 軟體機(jī)器人網(wǎng)格劃分

在進(jìn)行軟體機(jī)器人有限元仿真時(shí)，首先需要對(duì)機(jī)器人的幾何體進(jìn)行網(wǎng)格的劃分，網(wǎng)格劃分的質(zhì)量將會(huì)直接影響求解的精度和速度。進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)要求在面上生成三角形或四邊形網(wǎng)格，在體上生成四面體網(wǎng)格，從而保證有限元計(jì)算精度。圖6給出了不同精度的有限元網(wǎng)格的劃分，相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)與網(wǎng)格數(shù)如表2所示。其中226、396、664個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格不夠精確，最前端的手指關(guān)節(jié)沒(méi)有被體現(xiàn)，因此無(wú)法準(zhǔn)確地描述軟體機(jī)器人的幾何特性。而7567個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格雖然可以對(duì)軟體機(jī)器人的幾何結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確描述，但其網(wǎng)格數(shù)量較高，在進(jìn)行仿真時(shí)會(huì)降低計(jì)算速度，同時(shí)相較于1516個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格并不能在大范圍內(nèi)提高仿真精度。因此1516個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格相較于其他網(wǎng)格劃分能夠更好地平衡仿真的精度與速度要求，在后續(xù)實(shí)驗(yàn)中將采取此網(wǎng)格劃分結(jié)果。

圖6 軟體機(jī)器人四面體網(wǎng)格

表2 不同網(wǎng)格劃分的節(jié)點(diǎn)數(shù)和網(wǎng)格數(shù)

3.1.2 工作空間離散點(diǎn)計(jì)算

在SOFA仿真腳本中設(shè)置軟體機(jī)器人的材料參數(shù)(楊氏彈性模量、泊松比、質(zhì)量)為：

E=18×105Pa，v=0.45，m=0.05 kg

將機(jī)器人腳本導(dǎo)入到SOFA仿真框架中，設(shè)置總線(xiàn)纜數(shù)n=4，隨機(jī)采樣點(diǎn)數(shù)量N=10 000，線(xiàn)纜拉伸量范圍為0～30 mm，通過(guò)前文所設(shè)計(jì)的Monte Carlo算法計(jì)算軟體機(jī)器人的工作空間內(nèi)的離散點(diǎn)。將得到的離散點(diǎn)進(jìn)行可視化，三維圖、主視圖、左視圖、俯視圖如圖7所示。

圖7 軟體機(jī)器人末端可達(dá)點(diǎn)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：機(jī)器人工作空間并非完全對(duì)稱(chēng)，這是由于重力的影響導(dǎo)致軟體機(jī)器人在重力方向上有所偏移。同時(shí)可以得出軟體機(jī)器人末端參考點(diǎn)的可達(dá)空間為曲面，內(nèi)部沒(méi)有包含點(diǎn)，表明所設(shè)計(jì)的軟體機(jī)器人為欠驅(qū)動(dòng)。通過(guò)前文關(guān)于軟體機(jī)器人工作空間的定義，可以得出雖然末端點(diǎn)的可達(dá)空間為曲面，但由于通過(guò)環(huán)抱物體實(shí)現(xiàn)對(duì)物體的操作，因此曲面內(nèi)部均為工作空間。而且軟體機(jī)器人相較于常見(jiàn)的剛體機(jī)器人(如圖8所示)在工作空間上分布更加均勻，不會(huì)出現(xiàn)在某一區(qū)域出現(xiàn)空洞或尖峰導(dǎo)致操作能力下降的問(wèn)題，尤其是在X-Z和Y-Z平面上。

(a) KUKA KR120 (b) KUKA KR6

3.1.3 參數(shù)α的確定與工作空間體積計(jì)算

通過(guò)α-shape算法計(jì)算離散點(diǎn)的邊界曲面時(shí)，需要確定合適的半徑α。首先以步長(zhǎng)為1在區(qū)間α∈(0,200]選取200個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算工作空間內(nèi)離散點(diǎn)的邊界曲面，并計(jì)算相應(yīng)邊界曲面的體積，如圖8所示。當(dāng)半徑α取值較小時(shí)，邊界曲面的體積幾乎為0。這是因?yàn)楫?dāng)半徑α過(guò)小時(shí)，導(dǎo)致計(jì)算得到的邊界曲面上有較多的空洞，僅有一些離散的三角形面片，如圖9中半徑α為20 mm時(shí)的邊界曲面。當(dāng)半徑α繼續(xù)增加至40 mm時(shí)，迎來(lái)第一個(gè)“拐點(diǎn)”，此時(shí)邊界曲面的體積隨著半徑α發(fā)生明顯變化。當(dāng)半徑α為80 mm時(shí)，經(jīng)過(guò)第二個(gè)“拐點(diǎn)”，此后邊界曲面的體積沒(méi)有明顯變化。而且此時(shí)邊界曲面沒(méi)有空洞較為平滑，如圖9中半徑α為80 mm的邊界曲面。因此可以選定第二個(gè)“拐點(diǎn)”所對(duì)應(yīng)的半徑α為最佳值，此時(shí)α為80 mm，所對(duì)應(yīng)邊界曲面的三視圖如圖10所示。并計(jì)算相應(yīng)邊界曲面的體積大小為5.77×106mm3。

圖9 不同半徑對(duì)應(yīng)邊界曲面的體積

圖10 不同半徑α對(duì)應(yīng)的邊界曲面形狀 圖11 末端可達(dá)點(diǎn)構(gòu)成的邊界曲面

3.2 最大可承受負(fù)載理論分析

在SOFA實(shí)時(shí)仿真框架中進(jìn)行最大可承受負(fù)載的理論分析。首先設(shè)計(jì)了如圖12所示的負(fù)載。

(a) 負(fù)載三維模型 (b) 軟體機(jī)器人抓取負(fù)載圖12 負(fù)載三維模型與抓取

改變線(xiàn)纜的拉伸量使機(jī)器人發(fā)生形變，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)物體的抓取與提升。然后依次增加負(fù)載的質(zhì)量，并重復(fù)上述的步驟。直到拉伸量超過(guò)限制范圍仍然無(wú)法提升負(fù)載時(shí)，認(rèn)為此時(shí)重量為理論最大可承受負(fù)載。通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)得出不同質(zhì)量所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)纜拉伸量，如表3所示。當(dāng)質(zhì)量超過(guò)140 g時(shí)，在拉伸量允許的范圍內(nèi)無(wú)法將其提升，因此此時(shí)的負(fù)載質(zhì)量為理論最大負(fù)載。

表3 負(fù)載質(zhì)量與拉伸量

4 結(jié)論

本文首先設(shè)計(jì)了一種線(xiàn)驅(qū)動(dòng)的連續(xù)型軟體機(jī)器人，相較于氣動(dòng)和流體驅(qū)動(dòng)整體質(zhì)量較低；相較于SMA驅(qū)動(dòng)，形變速度更快，緩沖時(shí)間更短；而且可以在機(jī)器人周?chē)贾枚喔€(xiàn)纜，以實(shí)現(xiàn)更高自由度的控制。然后提出了針對(duì)軟體機(jī)器人的Monte Carlo工作空間計(jì)算方法，該算法能夠快速得到機(jī)器人工作空間內(nèi)大量的離散點(diǎn)。其次通過(guò)α-shape算法計(jì)算離散點(diǎn)的邊界曲面，確定了機(jī)器人工作空間大小，所提出的軟體機(jī)器人相較于剛體機(jī)器人工作空間分布更加均勻。最后在SOFA仿真框架下，進(jìn)行最大可承受負(fù)載的理論分析，得到了在拉伸量允許的范圍內(nèi)的最大負(fù)載重量。