王 凱

(河北工程大學(xué)機(jī)械與裝備工程學(xué)院，邯鄲 056038)

0 引言

機(jī)械臂的應(yīng)用領(lǐng)域逐漸呈現(xiàn)多元化，正在由傳統(tǒng)的制造業(yè)向航空航天、醫(yī)療、軍事等領(lǐng)域擴(kuò)展。機(jī)械臂高質(zhì)量作業(yè)的前提是機(jī)械臂的高精度跟蹤控制，但是機(jī)械臂模型不確定性、較強(qiáng)外界干擾嚴(yán)重影響機(jī)械臂的跟蹤控制精度[1]。因此研究不確定機(jī)械臂的跟蹤控制方法，具有較高的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。

機(jī)械臂跟蹤控制的核心內(nèi)容是設(shè)計(jì)關(guān)節(jié)力矩的控制律，在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下使機(jī)械臂能夠快速、準(zhǔn)確地跟蹤給定軌跡。常用的機(jī)械臂控制方法包括計(jì)算力矩法、PID控制、自適應(yīng)控制、變結(jié)構(gòu)控制、智能控制等方法。計(jì)算力矩法是根據(jù)期望軌跡和動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算出控制力矩的一種方法，但是當(dāng)模型不準(zhǔn)確或者存在干擾時(shí)，該方法控制效果較差。PID是一種經(jīng)典控制方法，優(yōu)點(diǎn)是不依賴模型，缺點(diǎn)是精度低、不適用于高速機(jī)械臂。自適應(yīng)控制跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)自適應(yīng)調(diào)整控制律，優(yōu)點(diǎn)是控制精度較高，缺點(diǎn)是計(jì)算量大、對(duì)控制器要求較高[2]?；？刂剖且环N具有完全魯棒性的非線性控制器，優(yōu)點(diǎn)是魯棒性好、不依賴模型，缺點(diǎn)是存在抖振問題[3]。智能控制是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊邏輯為代表的一類控制方法，其特點(diǎn)是模擬人類的控制過程[4]，此類方法需要一定的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。黃建中等[5]針對(duì)機(jī)械臂在擾動(dòng)工況下的變負(fù)載控制問題，設(shè)計(jì)了基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的滑模控制器，有效提高了控制系統(tǒng)的魯棒性。張世軒等[6]將滑?？刂?、魯棒控制、自適應(yīng)控制結(jié)合，提出了多關(guān)節(jié)機(jī)械臂的自適應(yīng)滑模魯棒控制方法，試驗(yàn)仿真和樣機(jī)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的有效性。PANE等[7]針對(duì)固定重復(fù)的、面向任務(wù)的機(jī)械手控制問題，使用強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法補(bǔ)償機(jī)械臂的未建模誤差，該方法的控制性能好于PD控制、MPC控制等。隨著機(jī)械臂應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，應(yīng)用環(huán)境越來越復(fù)雜和多樣化，單一控制方法難以滿足控制要求，可以采用多種控制手段結(jié)合的方法提高控制精度。

本文針對(duì)機(jī)械臂在模型不確定和外界干擾工況下的控制問題，建立了機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)了論域自適應(yīng)變化模糊補(bǔ)償控制器，使控制參數(shù)論域范圍能夠隨跟蹤誤差自適應(yīng)變化，從而同時(shí)提高控制的精度和收斂速度，實(shí)現(xiàn)了不確定機(jī)械臂系統(tǒng)對(duì)期望軌跡的快速、精確跟蹤。

1 機(jī)械臂建模與控制器方案

1.1 動(dòng)力學(xué)建模

本文以二自由度機(jī)械臂為研究對(duì)象，如圖1所示。圖中，l1、l2分別為連桿1和連桿2的長(zhǎng)度，m1、m2分別為連桿1和連桿2的質(zhì)量，θ1、θ2分別為連桿1和連桿2的轉(zhuǎn)角。

圖1 二自由度機(jī)械臂

使用拉格朗日法建立該機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，拉格朗日方程[8]為：

(1)

式中，L為拉格朗日參數(shù)；T為機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)能；U為機(jī)械臂系統(tǒng)勢(shì)能；θi為關(guān)節(jié)i的關(guān)節(jié)角；τi為關(guān)節(jié)i的力矩。

將機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能代入式(1)中，可以求得該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為：

(2)

(3)

1.2 模糊補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)1.1節(jié)給出的二自由度機(jī)械臂控制問題，首先基于動(dòng)力學(xué)模型和期望軌跡，使用負(fù)反饋方式計(jì)算控制力矩。在理想情況下，基于負(fù)反饋的控制力矩實(shí)現(xiàn)較為精確的跟蹤效果，但是由于機(jī)械臂模型存在不確定性，且在外界環(huán)境的干擾作用下，可能導(dǎo)致負(fù)反饋控制精度較低，甚至難以收斂。

針對(duì)模型不確定性和外界干擾問題，本文使用論域自適應(yīng)變化的模糊控制法對(duì)模型不確定性和外界干擾進(jìn)行補(bǔ)償。論域自適應(yīng)模糊控制的核心思想是：變量論域大小隨跟蹤誤差變化而自適應(yīng)變化，當(dāng)跟蹤誤差較小時(shí)，使論域隨之減小，相當(dāng)于增加模糊規(guī)則數(shù)量而提高跟蹤精度；當(dāng)跟蹤誤差較大時(shí)，使論域隨之增大，相當(dāng)于減少模糊規(guī)則而提高收斂速度?；谏鲜龇治龊驮O(shè)計(jì)思路，設(shè)計(jì)的模糊補(bǔ)償控制器框圖如圖2所示。

圖2 模糊補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)方案

2 論域自適應(yīng)變化模糊補(bǔ)償控制

2.1 論域自適應(yīng)變化原理

論域自適應(yīng)變化模糊控制的核心是：使輸入輸出參量的論域大小隨跟蹤誤差自適應(yīng)變化。起始階段機(jī)械臂的跟蹤誤差較大，輸入輸出參數(shù)使用較大的論域，相當(dāng)于減少模糊規(guī)則數(shù)量，可以使算法快速收斂；而后機(jī)械臂的跟蹤誤差減小，輸入輸出參數(shù)的論域隨之減小，相當(dāng)于增加模糊規(guī)則數(shù)量，可以有效提高跟蹤精度。首先對(duì)雙相線性基元組的定義進(jìn)行明確，而后給出論域自適應(yīng)變化方法。

定義：將論域X的一組模糊集記為{Ai}，其中xi對(duì)應(yīng)基元Ai的峰值，任意相鄰基元定義為Ai和Ai+1，若Ai滿足：

(4)

且當(dāng){Ai}為線性函數(shù)時(shí)，則模糊集{Ai}為論域X上的雙相線性基元組。

在模糊補(bǔ)償控制中，將系統(tǒng)輸入設(shè)置為跟蹤誤差、誤差變化率，輸出記為Z，用于補(bǔ)償力矩計(jì)算，則可以將模糊控制器視為一個(gè)雙輸入單輸出系統(tǒng)。將跟蹤誤差論域記為X=[-E,E]，模糊集記為{Ai},i∈(1,2,…,P)；誤差變化率論域記為Y=[-D,D]，模糊集記為{Bj},j∈(1,2,…,Q)；補(bǔ)償力矩論域記為Z=[-U,U]，模糊集記為{Cij}。其中{Ai}、{Bj}、{Cij}為雙相線性基元組。將論域X、Y、Z的伸縮因子分別記為α(x)、β(x,y)、γ(x)，則k時(shí)刻的伸縮因子為：

(5)

令k時(shí)刻論域Xk=α(xk)·Xk-1，則稱Xk為自適應(yīng)變化鄰域，其直觀含義如圖3所示。

圖3 變論域示意圖

2.2 模糊規(guī)則與去模糊化

軌跡跟蹤誤差X和誤差變化率Y的模糊集設(shè)置為負(fù)大、負(fù)小、零、正小、正大5個(gè)層次，即{NB、NS、ZE、PS、PB}。為了提高控制精度，將補(bǔ)償力矩進(jìn)行精細(xì)化劃分，則將輸出Z的模糊集設(shè)置為負(fù)極大、負(fù)大、負(fù)中、負(fù)小、零、正小、正中、正大、正極大9個(gè)層次，即{NVB、NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB、PVB}。使用三角隸屬度函數(shù)對(duì)輸入輸出參數(shù)進(jìn)行模糊化[9]，跟蹤誤差、跟蹤誤差變化率的隸屬度函數(shù)一致，如圖4a所示；補(bǔ)償力矩隸屬度函數(shù)如圖4b所示。

(a) 輸入?yún)?shù)隸屬度 (b) 輸出參數(shù)隸屬度圖4 輸入輸出參數(shù)隸屬度函數(shù)

使用Mamdain型推理制定模糊規(guī)則，結(jié)合一定量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析，制定模糊規(guī)則如表1所示。

表1 模糊規(guī)則

模糊控制輸出依賴模糊規(guī)則庫，即：

IfXisAiandYisBj,ThenZisCij

(6)

去模糊化方法較多，其中重心法包含了輸出模糊子集所有元素的信息，因此計(jì)算比較精確[10]。本文選用重心法得到模糊控制輸出為：

(7)

式中，ξ為模糊控制輸出結(jié)果。

2.3 基于Lyapunov穩(wěn)定分析的補(bǔ)償力矩

(8)

結(jié)合式(2)和式(8)，可以將誤差跟蹤系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)化為：

(9)

τf=Φ·ξ

(10)

式中，Φ為補(bǔ)償力矩系數(shù)，其確定方法在后文推導(dǎo)。

(11)

下面基于Lyapunov函數(shù)[11]在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，設(shè)計(jì)補(bǔ)償力矩系數(shù)Φ的自適應(yīng)變化規(guī)律。將Lyapunov能量方程V設(shè)置為：

(12)

式中，V為能量方程；P為對(duì)稱正定矩陣，設(shè)置合適P矩陣，使得PA+ATP=-Q，Q為正定對(duì)角陣；η>0為常值系數(shù)。

對(duì)上式求導(dǎo)，得：

(13)

將式(11)代入式(13)，整理得：

(14)

(15)

由式(15)可得Lyapunov穩(wěn)定前提下的補(bǔ)償力矩系數(shù)Φ自適應(yīng)變化律為：

(16)

根據(jù)式(8)和式(16)給定的模糊補(bǔ)償控制律，得到機(jī)械臂系統(tǒng)的模糊補(bǔ)償控制框圖如圖5所示。

圖5 機(jī)械臂系統(tǒng)的模糊補(bǔ)償控制框圖

3 仿真驗(yàn)證與分析

3.1 與傳統(tǒng)模糊控制比較

分別使用論域自適應(yīng)變化的模糊補(bǔ)償控制、傳統(tǒng)模糊補(bǔ)償控制進(jìn)行機(jī)械臂軌跡跟蹤，模糊補(bǔ)償控制器的參數(shù)設(shè)置為：系數(shù)k1=1.2、k2=1、t=0.5，η=0.1，輸入輸出參數(shù)的初始論域均設(shè)置為[-3,3]。傳統(tǒng)模糊補(bǔ)償控制結(jié)果如圖6所示。

(a) 關(guān)節(jié)1跟蹤軌跡 (b) 關(guān)節(jié)2跟蹤軌跡

基于論域自適應(yīng)變化的模糊補(bǔ)償控制效果如圖7所示。

(a) 關(guān)節(jié)1跟蹤軌跡 (b) 關(guān)節(jié)2跟蹤軌跡

由圖7d可知，論域伸縮因子可以隨誤差自適應(yīng)變化，當(dāng)跟蹤誤差值較小時(shí)，伸縮因子也較小，有利于提高控制精度；當(dāng)跟蹤誤差較大時(shí)，伸縮因子也較大，有利于提高算法的收斂速度，實(shí)現(xiàn)了論域的自適應(yīng)變化。對(duì)比圖6a～圖6c與圖7a～圖7c可知，論域自適應(yīng)變化模糊補(bǔ)償控制精度明顯由于傳統(tǒng)模糊補(bǔ)償控制精度，為了進(jìn)行定量比較兩種控制器的精度，統(tǒng)計(jì)最大跟蹤誤差和均方差誤差如表2所示。

表2 跟蹤誤差統(tǒng)計(jì)

由表2中數(shù)據(jù)可知，與傳統(tǒng)模糊補(bǔ)償控制相比，在論域自適應(yīng)模糊控制作用下，關(guān)節(jié)1的最大跟蹤誤差減小了2.70倍，均方根誤差減小了2.73倍；關(guān)節(jié)2的最大跟蹤誤差減小了2.62倍，均方根誤差減小了3.45倍。以上數(shù)據(jù)說明，論域自適應(yīng)模糊控制的控制精度遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)模糊控制方法，這是因?yàn)檎撚螂S跟蹤誤差自適應(yīng)變化，可以適時(shí)有效地平衡控制精度和收斂性。

3.2 與現(xiàn)有控制算法比較

按照3.1節(jié)設(shè)置的跟蹤任務(wù)和場(chǎng)景，使用文獻(xiàn)[12]中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模跟蹤控制方法與本文方法進(jìn)行比較。文獻(xiàn)[12]中使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)模型不確定項(xiàng)和外界擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，并使用全局PID滑?？刂破髟O(shè)計(jì)控制律。為了節(jié)省篇幅，在此僅給出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂茖?duì)關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的跟蹤誤差，結(jié)果如圖8所示。

圖8 文獻(xiàn)[12]方法跟蹤誤差

對(duì)比圖6c、圖7c、圖8可知，使用傳統(tǒng)模糊控制進(jìn)行補(bǔ)償時(shí)，其跟蹤誤差周期性變化，說明對(duì)模型不確定性和外界干擾的估計(jì)具有周期性誤差；使用論域自適應(yīng)模糊控制和文獻(xiàn)[12]中RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行補(bǔ)償控制時(shí)，跟蹤誤差均為收斂的，說明兩種方法對(duì)模型不確定性和外界干擾的估計(jì)與補(bǔ)償控制是收斂的；論域自適應(yīng)模糊控制的最大跟蹤誤差遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[12]中方法，且收斂時(shí)間也略小于文獻(xiàn)[12]方法，說明論域自適應(yīng)模糊補(bǔ)償控制的估計(jì)補(bǔ)償精度高、收斂速度快。

統(tǒng)計(jì)文獻(xiàn)[12]中控制方法的軌跡跟蹤誤差最大值和方均根值，并與論域自適應(yīng)模糊控制相比較，結(jié)果如表3所示。

表3 跟蹤誤差統(tǒng)計(jì)

由表3可以看出，論域自適應(yīng)模糊補(bǔ)償控制的跟蹤控制精度高于文獻(xiàn)[12]神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂啤＝Y(jié)合圖7c和圖8的對(duì)比，這是因?yàn)檎撚蜃赃m應(yīng)模糊補(bǔ)償控制對(duì)模型不確定性和外界干擾的估計(jì)精度和速度均優(yōu)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)。從理論的角度講，這是因?yàn)樵诒疚哪：a(bǔ)償控制方法中，參數(shù)論域隨跟蹤誤差自適應(yīng)變化，當(dāng)跟蹤誤差減小時(shí)，論域隨之減小，有利于提高控制精度；當(dāng)跟蹤誤差增大時(shí)，論域隨之增大，有利于控制過程快速收斂。

綜合3.1節(jié)和3.2節(jié)的對(duì)比與分析可知，針對(duì)不確定機(jī)械臂在擾動(dòng)工況下的控制問題，論域自適應(yīng)模糊補(bǔ)償控制是有效的，且在控制精度和收斂速度上具有一定的優(yōu)越性。

4 結(jié)論

本文研究了不確定機(jī)械臂在擾動(dòng)工況下的軌跡跟蹤控制問題，設(shè)計(jì)了論域自適應(yīng)變化的模糊補(bǔ)償控制器。經(jīng)仿真驗(yàn)證得出以下結(jié)論：與傳統(tǒng)模型控制相比，論域自適應(yīng)模糊控制的控制精度更高，說明論域自適應(yīng)策略能夠有效提高模糊控制的控制精度。