王 琳，洪婉君，林文濤，張紫文，胡 忞，易朋興

(華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北武漢 430074)

0 引言

隨著科技水平與計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速提高，采樣系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于眾多領(lǐng)域中[1]，但低速的數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)已經(jīng)不足以滿足實(shí)際應(yīng)用中高速率、高精度、實(shí)時(shí)處理等需求，這也就意味著數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)面臨著很大的數(shù)據(jù)傳輸與存儲(chǔ)壓力。采樣數(shù)據(jù)會(huì)通過無損壓縮和有損壓縮等壓縮算法，在盡量不丟失信息的前提下，減少數(shù)據(jù)冗余以節(jié)約存儲(chǔ)空間。因此，優(yōu)化重構(gòu)算法的研究對(duì)于高速并行采樣系統(tǒng)起著至關(guān)重要的作用。在目前的研究中，數(shù)據(jù)重構(gòu)算法主要分為以下三類：凸松弛算法、組合算法與貪婪追蹤算法[2]，通過求解優(yōu)化問題從少量測(cè)量值中高準(zhǔn)確率地重構(gòu)信號(hào)。

壓縮感知(CS)[3-5]，作為一種最近興起的信號(hào)處理方法,相較于傳統(tǒng)的壓縮編碼更易于硬件實(shí)現(xiàn)。本文針對(duì)采樣速率20 GSPS、采樣精度12 bit、采樣數(shù)據(jù)量級(jí)高達(dá)GHz的超高速并行采樣系統(tǒng)，通過測(cè)量矩陣與采樣信號(hào)進(jìn)行矩陣相乘實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)降維。在對(duì)高速數(shù)據(jù)流進(jìn)行壓縮的基礎(chǔ)上，利用CS理論，對(duì)比幾種常見的正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit，OMP)算法的重構(gòu)性能，提出一種經(jīng)過優(yōu)化改進(jìn)后的重構(gòu)算法，利用少量數(shù)據(jù)高精度地恢復(fù)原始信號(hào)，為后續(xù)信號(hào)的進(jìn)一步處理提供有效的初始數(shù)據(jù)。

1 超高速并行采樣系統(tǒng)信號(hào)感知與重構(gòu)算法

1.1 超高速并行采樣系統(tǒng)存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

本文基于ADC+FPGA的超高速采集系統(tǒng)架構(gòu)對(duì)信號(hào)進(jìn)行采集與存儲(chǔ)處理。圖1為以該架構(gòu)為核心的數(shù)據(jù)采集與存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)圖。ADC對(duì)外部輸入的模擬信號(hào)進(jìn)行采樣，由前端FPGA將采集數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮，放在DDR3緩存模塊進(jìn)行存儲(chǔ)，然后經(jīng)FMC傳輸接口傳輸至后端FPGA中，最終利用數(shù)據(jù)重構(gòu)算法從壓縮后的極少測(cè)量值中高準(zhǔn)確率地重構(gòu)信號(hào)。

圖1 數(shù)據(jù)采集與存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)圖

1.2 壓縮感知基本數(shù)學(xué)模型

對(duì)于長(zhǎng)度有限、一維離散的實(shí)信號(hào)x而言，若它在某個(gè)變換基Ψ∈RN×N下是K-稀疏的。給出一個(gè)與該變換基不相關(guān)的測(cè)量矩陣Φ，則信號(hào)在該測(cè)量矩陣下作線性投影即可得到該信號(hào)的測(cè)量值y，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(1)所示[6]。

y=Φx

(1)

式中：Φ為測(cè)量矩陣，Φ∈RM×N；x為原始信號(hào)，x∈RN；y為壓縮后數(shù)據(jù)，y∈RM(K<

由于M<

(2)

式中‖x‖1為1范數(shù)形式。

1.3 改進(jìn)正交匹配追蹤算法設(shè)計(jì)

正交匹配追蹤(OMP)類算法作為壓縮感知工程應(yīng)用的主流，常見的算法有OMP、ROMP、StOMP、CoSaMP/SP、SAMP。該類算法的思想均是在每次迭代中選擇一個(gè)局部最優(yōu)解來逐步逼近原始信號(hào)，區(qū)別在于原子選擇策略與迭代終止條件(迭代次數(shù))的不同。

由于StOMP算法的先驗(yàn)信息中不需要已知原始信號(hào)的稀疏度K，但控制重構(gòu)精度的閾值ts設(shè)置比較困難。ts過大時(shí)，增加計(jì)算量，降低計(jì)算效率；ts過小時(shí)，原子正確選擇幾率下降，重構(gòu)精度下降。故本文提出一種基于粒子群優(yōu)化的分段正交匹配追蹤算法的原子選擇策略。利用粒子群算法全局尋優(yōu)能力突出、參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)[8]，結(jié)合SAMP算法自適應(yīng)性與StOMP算法分階段的思想，通過設(shè)定閾值實(shí)現(xiàn)原子預(yù)選；然后利用固定步長(zhǎng)實(shí)現(xiàn)對(duì)預(yù)選原子復(fù)選，來降低預(yù)選過程中閾值ts設(shè)置不當(dāng)?shù)母怕?；最后選取合適粒子，通過迭代優(yōu)化更新種群全局適應(yīng)度函數(shù)值，最終得到最優(yōu)重構(gòu)參數(shù)。改進(jìn)算法稱為基于粒子群優(yōu)化的預(yù)選分段正交匹配追蹤(preselected stage-wise orthogonal matching pursuit with particle swarm optimization，PPStOMP)算法，具體算法描述如下：

(1)初始化：r0=y,l0=φ,A0=φ,s=1,c1=c2=2，PSO隨機(jī)生成粒子數(shù)20個(gè)，速度和位置向量維數(shù)3；

(3)令I(lǐng)s=I0∪Js,As=As-1aj；若Is=Is-1，停止迭代進(jìn)入第(8)步；

(7)如果rs≤η(η=10-6‖y‖2)，停止迭代進(jìn)入第(8)步，如果s≥S,停止迭代進(jìn)入第(8)步，否則轉(zhuǎn)入第(2)步；

2 PPStOMP算法性能分析

2.1 PPStOMP算法參數(shù)仿真測(cè)試

在MATLAB R2017a下，測(cè)量矩陣使用高斯隨機(jī)矩陣，稀疏基底使用離散小波變換基，其中小波基為Coiflet函數(shù)。實(shí)驗(yàn)原始信號(hào)選用Lena、Peppers、couple、boat與camera 5幅圖像進(jìn)行仿真測(cè)試，圖像均為256×256的灰度圖，適應(yīng)度函數(shù)值選取為PPStOMP算法多次運(yùn)行得到的平均峰值信噪比(peak signal to noise rate，PSNR)值作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，得到不同采樣率M/N下各圖像對(duì)應(yīng)的最佳參數(shù)，如表1所示。

表1 不同采樣率下PPStOMP算法最佳參數(shù)值

PSNR表達(dá)式如式(3)所示。

(3)

由表1可知，PPStOMP算法在不同采樣率下對(duì)應(yīng)的各最優(yōu)參數(shù)值范圍較大，但在相同采樣率下，不同圖像對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)參數(shù)都在最優(yōu)值附近波動(dòng)，因此基于測(cè)試數(shù)據(jù)做出的統(tǒng)計(jì)可給出PPStOMP算法各參數(shù)在不同采樣率下的取值范圍，如表2所示。

表2 PPStOMP算法推薦參數(shù)取值范圍

2.2 PPStOMP算法一維信號(hào)重構(gòu)仿真

為驗(yàn)證PPStOMP算法的正確性，進(jìn)行一維高斯隨機(jī)信號(hào)的仿真實(shí)驗(yàn)，使用不同稀疏度K下算法準(zhǔn)確重構(gòu)率、重構(gòu)時(shí)間作為算法性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，通過PPStOMP算法與OMP、StOMP、CoSaMP、SP、SAMP算法做對(duì)比實(shí)驗(yàn)。不同稀疏度水平下算法的重構(gòu)性能如圖2、圖3所示，其中測(cè)量值M=128。實(shí)驗(yàn)中，PPStOMP算法各參數(shù)由上述的分析選擇為ts=2.0，S=20，L=5；StOMP算法取默認(rèn)值，閾值ts=2.5，迭代次數(shù)S=10；SAMP算法取步長(zhǎng)L=5。

圖2 成功重構(gòu)概率與稀疏度K的關(guān)系曲線

圖3 平均重構(gòu)時(shí)間與稀疏度K的關(guān)系曲線

由圖2可知，PPStOMP算法的重構(gòu)概率在稀疏度較大時(shí)，明顯優(yōu)于OMP、StOMP、CoSaMP、SP算法，在一定程度上低于SAMP算法。

從圖3可知，PPStOMP算法的重構(gòu)時(shí)間在稀疏度較小時(shí)，與CoSaMP、SP、OMP算法接近，明顯少于SAMP算法；但隨著稀疏度的增大，PPStOMP的重構(gòu)時(shí)間略多于StOMP算法，而CoSaMP、SP、SAMP算法的重構(gòu)時(shí)間都急劇增加到PPStOMP算法的數(shù)倍。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明改進(jìn)算法在稀疏度較大時(shí)明顯提高了信號(hào)成功重構(gòu)率，且運(yùn)行時(shí)間較低，與StOMP算法相當(dāng)。

為更直觀地說明改進(jìn)算法的正確性，采用正弦波疊加信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，信號(hào)表達(dá)式如式(4)所示。

x(n)=0.5sin(2πf1nts)+0.6sin(2πf2nts)+0.2sin(2πf3nts)

(4)

式中：n=1,2,…,N；f1=50 Hz；f2=100 Hz；f3=300 Hz。

采樣頻率fs=800 Hz，ts=1/fs，測(cè)量值M=64,信號(hào)長(zhǎng)度N=256，測(cè)量矩陣Φ與稀疏基分別采用高斯隨機(jī)矩陣與傅里葉矩陣，算法的仿真結(jié)果如圖4所示，從圖4可以看出改進(jìn)算法可以很好地重構(gòu)原始信號(hào)，并且重構(gòu)均方誤差小至10-14數(shù)量級(jí)。

圖4 PPStOMP算法重構(gòu)信號(hào)

2.3 PPStOMP算法圖像信號(hào)重構(gòu)仿真

為驗(yàn)證PPStOMP算法在圖像重構(gòu)方面的性能優(yōu)劣，選取256×256的camera圖像與其余幾種OMP類算法及參數(shù)優(yōu)化前的PStOMP進(jìn)行重構(gòu)對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)，選用PSNR以及重構(gòu)時(shí)間作為算法對(duì)圖像重構(gòu)性能的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。OMP、StOMP、SAMP與PPStOMP算法的參數(shù)設(shè)置與2.1節(jié)一致。

分別對(duì)各算法在采樣率M/N為0.4、0.5、0.6、0.7時(shí)進(jìn)行試驗(yàn)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)重復(fù)運(yùn)行50次，求其平均PSNR值以及平均重構(gòu)時(shí)間。圖像重構(gòu)得平均PSNR值與采樣率的關(guān)系如圖5所示；圖像重構(gòu)所需的平均時(shí)間與采樣率的關(guān)系如圖6所示。同時(shí)，為進(jìn)一步顯示camera圖各算法的重構(gòu)性能對(duì)比，列出采樣率M/N為0.7時(shí)，camera圖使用OMP、StOMP、SAMP、PStOMP與PPStOMP算法的重構(gòu)效果圖，如圖7所示。

圖5 camera圖采樣率與各算法的PSNR關(guān)系圖

圖6 camera圖采樣率與各算法平均重構(gòu)時(shí)間關(guān)系圖

圖7 采樣率為0.7時(shí)各算法的camera重構(gòu)圖像

由圖5可知，PPStOMP算法隨采樣率的提高，重構(gòu)得到的PSNR值增幅最大，且PSNR值是所有算法中最大的，即圖像重構(gòu)效果提升最明顯。由圖6可知，PPStOMP算法是除了StOMP算法中用時(shí)最短的。與SAMP算法相比，PPStOMP算法的重構(gòu)時(shí)間僅占它的10%左右。隨著采樣率的提高，PPStOMP算法的重構(gòu)時(shí)間接近為水平線，算法的收斂速度較快。因此PPStOMP算法保留了StOMP算法效率高的優(yōu)勢(shì)。由圖7可知，采樣率為0.7時(shí)，各算法的重構(gòu)圖像已經(jīng)與原始camera圖像很接近了，但從每幅重構(gòu)圖像的放大局部圖來看，PPStOMP算法的視覺效果要優(yōu)于其他算法。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)流程如圖8所示。首先在FPGA中對(duì)輸入的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行有符號(hào)數(shù)轉(zhuǎn)換，并進(jìn)行數(shù)據(jù)緩沖，然后將原始數(shù)據(jù)與讀取的測(cè)量矩陣進(jìn)行壓縮測(cè)量得到測(cè)量值，最后將該測(cè)量值傳輸至上位機(jī)中，通過PPStOMP算法對(duì)壓縮數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)恢復(fù)。

圖8 實(shí)驗(yàn)流程圖

實(shí)驗(yàn)中FPGA選用Kintex-7系列的XC7K325T-2FFG900I芯片，使用信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生AD9238所需的模擬采樣信號(hào)，型號(hào)為ADG6032X。整個(gè)設(shè)計(jì)的運(yùn)行頻率為200 MHz。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來自ILA抓取得到的ADC采樣數(shù)據(jù)與壓縮數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB中，解壓保存為可用excel打開的.csv格式。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

在MATLAB中利用保存的壓縮數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)重構(gòu)，與原始的ADC采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，其中重構(gòu)算法為PPStOMP算法，測(cè)量矩陣為硬件設(shè)計(jì)中的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)器保存的稀疏二值矩陣，變換基為傅里葉變換矩陣。

為計(jì)算數(shù)據(jù)壓縮重構(gòu)后引入的失真度，實(shí)驗(yàn)使用信噪比(SNR)與均方誤差(NMSE)來反映重構(gòu)數(shù)據(jù)與原始采樣數(shù)據(jù)之間的失真度。SNR和NMSE表達(dá)式如式(5)、式(6)所示。

(5)

(6)

同時(shí)為對(duì)比各算法的重構(gòu)性能，除PPStOMP算法外，還采用OMP、StOMP、CoSaMP、SP、SAMP算法進(jìn)行數(shù)據(jù)重構(gòu)，各算法對(duì)壓縮數(shù)據(jù)重構(gòu)所得的NMSE與SNR如表3所示。從表3可知，本文設(shè)計(jì)的PPStOMP算法的重構(gòu)誤差最小，并且重構(gòu)信噪比最高。

表3 各算法重構(gòu)的NMSE與PSNR值

同時(shí)選取2組由示波器采集并保存得到的實(shí)際信號(hào)作算法重構(gòu)分析，分別如圖9與圖10所示。該實(shí)際信號(hào)由頻率與幅值都不相同的多個(gè)正弦波信號(hào)疊加組成，并且包含白噪聲，因此應(yīng)先對(duì)信號(hào)降噪處理以便與算法重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

(a)實(shí)際信號(hào)1

(a)實(shí)際信號(hào)2

分別采用PPStOMP、SAMP與StOMP算法進(jìn)行重構(gòu)，PPStOMP算法的重構(gòu)效果最好，曲線最為平滑，與降噪后的原始信號(hào)基本一致；SAMP算法的重構(gòu)效果次之，StOMP算法效果最差。

該2組信號(hào)的算法重構(gòu)SNR值如表4所示，從表4可知，本文設(shè)計(jì)的PPStOMP算法在OMP類算法中的重構(gòu)SNR值是最高的，因此該算法的重構(gòu)效果更優(yōu)。

表4 實(shí)際信號(hào)的算法重構(gòu)SNR值

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于超高速采集系統(tǒng)平臺(tái)，針對(duì)壓縮數(shù)據(jù)在上位機(jī)的重構(gòu)問題，提出一種結(jié)合SAMP算法自適應(yīng)性與StOMP算法分階段的改進(jìn)算法——基于PSO算法優(yōu)化的預(yù)選分段正交匹配追蹤(PPStOMP)算法。與SAMP算法相比，該改進(jìn)算法的重構(gòu)運(yùn)行時(shí)間極大縮短；與StOMP算法相比，該改進(jìn)算法在保留了原算法效率高的前提下明顯提高了算法的重構(gòu)成功率。通過與OMP類算法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)可知，該改進(jìn)算法對(duì)原始采樣信號(hào)或圖像信號(hào)可以很好地重構(gòu)，且算法信噪比高，均方誤差小，運(yùn)行時(shí)間短。