楊朋舉，劉 燁，黃小剛，王承茂

(上海工程技術(shù)大學(xué)電子電氣工程學(xué)院，上海 201620)

0 引言

近幾十年來(lái)，機(jī)械臂因其質(zhì)量輕、能耗低、靈敏度高等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、醫(yī)療及航天等領(lǐng)域[1]。目前，學(xué)者已提出眾多與機(jī)械臂相關(guān)的控制策略，主要包括反演控制[2]、滑模控制[3]、無(wú)源控制[4]和容錯(cuò)控制[5]等。其中反演控制因在非線性項(xiàng)處理方面獨(dú)具優(yōu)勢(shì)，逐漸成為設(shè)計(jì)非線性系統(tǒng)控制器的有力工具，但因其需對(duì)虛擬控制率反復(fù)求導(dǎo)而促使系統(tǒng)微分項(xiàng)不斷膨脹，最終導(dǎo)致復(fù)雜性爆炸問(wèn)題。為解決該問(wèn)題，文獻(xiàn)[6]提出利用一階濾波器估計(jì)虛擬控制率導(dǎo)數(shù)的動(dòng)態(tài)面控制策略，極大降低了控制器設(shè)計(jì)難度。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[7]將該策略應(yīng)用于含非線性項(xiàng)及擾動(dòng)的機(jī)械臂控制器設(shè)計(jì)，而文獻(xiàn)[8]進(jìn)一步將未知飽和輸入考慮在內(nèi)，消除了飽和輸入對(duì)執(zhí)行器的影響。然而，上述文獻(xiàn)均未考慮執(zhí)行器受其內(nèi)部磁滯效應(yīng)的影響。

在實(shí)際應(yīng)用中，磁滯效應(yīng)廣泛存在于工業(yè)設(shè)備以及物理系統(tǒng)，如繼電器[9]、電磁場(chǎng)[10]、含智能材質(zhì)的傳感器[11]以及執(zhí)行器[12]等。機(jī)械臂作為常見(jiàn)的工業(yè)設(shè)備，其執(zhí)行器通常因內(nèi)部存在智能結(jié)構(gòu)而深受磁滯效應(yīng)影響，這極大影響系統(tǒng)輸出精度，甚至導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)失穩(wěn)，故消除磁滯效應(yīng)以提高控制精度成為研究重點(diǎn)。目前，存在2種解決磁滯問(wèn)題的控制策略：一種是構(gòu)建磁滯逆過(guò)程，并將其級(jí)聯(lián)至系統(tǒng)輸入端[13]；另一種是采用魯棒控制策略消除磁滯現(xiàn)象[14]。因磁滯逆構(gòu)建過(guò)程復(fù)雜，且其輸出量又對(duì)內(nèi)部參數(shù)敏感，故上述魯棒策略更具優(yōu)勢(shì)。近年來(lái)，學(xué)者已采用魯棒策略提出眾多高效方案，并設(shè)計(jì)一系列磁滯模型，如Bouc-Wen磁滯[14]、PI磁滯[15]和類(lèi)間隙磁滯[16]等。雖然上述方案能有效消除磁滯特性對(duì)系統(tǒng)執(zhí)行器的影響，但其均致力于改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能而未考慮瞬態(tài)性能問(wèn)題。

為了確保系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，文獻(xiàn)[17]提出一種預(yù)設(shè)性能控制策略，通過(guò)轉(zhuǎn)換跟蹤誤差獲取新的誤差變量，據(jù)此設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[18]構(gòu)造一種新型誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)，并將其應(yīng)用于機(jī)械臂控制器的設(shè)計(jì)以約束跟蹤誤差的超調(diào)量，但此函數(shù)在誤差轉(zhuǎn)換時(shí)需求逆函數(shù)，此時(shí)可能導(dǎo)致奇異性問(wèn)題，促使跟蹤誤差躍界并造成系統(tǒng)失穩(wěn)。為了解決該問(wèn)題，文獻(xiàn)[19]使用Funnel變量約束跟蹤誤差的收斂特性，放寬了對(duì)系統(tǒng)階數(shù)的限制，而文獻(xiàn)[20]進(jìn)一步構(gòu)造新Funnel變量以解決傳統(tǒng)Funnel變量的不可微問(wèn)題。雖然對(duì)非線性系統(tǒng)預(yù)設(shè)性能控制的研究已相當(dāng)深入，但對(duì)機(jī)械臂磁滯系統(tǒng)的預(yù)設(shè)性能動(dòng)態(tài)面控制的研究較少，其難點(diǎn)在于能消除磁滯影響且能確保預(yù)設(shè)性能的控制器設(shè)計(jì)。

針對(duì)含未知磁滯輸入的單連桿機(jī)械臂系統(tǒng)，提出一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)面預(yù)設(shè)性能控制策略。對(duì)于工業(yè)生產(chǎn)中常用的機(jī)械臂控制系統(tǒng)，從同時(shí)提高其穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)性能的角度出發(fā)，在其執(zhí)行器內(nèi)含智能材料的情況下，仍然能對(duì)其保持高精度的控制。利用Bouc-Wen模型描述系統(tǒng)執(zhí)行器內(nèi)的磁滯現(xiàn)象，結(jié)合自適應(yīng)技術(shù)在線消除磁滯特性的影響；采用動(dòng)態(tài)面策略設(shè)計(jì)控制器，避免傳統(tǒng)反演策略固有的微分膨脹問(wèn)題，從而極大地降低控制器的設(shè)計(jì)難度；利用Funnel變量和性能邊界函數(shù)約束系統(tǒng)位置跟蹤誤差的收斂特性，確保該誤差收斂至預(yù)定范圍。

1 問(wèn)題描述

考慮含未知磁滯輸入的單連桿機(jī)械臂，如圖1所示。根據(jù)拉格朗日建模方法，其動(dòng)力學(xué)方程[8]為

圖1 單連桿機(jī)械臂

(1)

本文選取Bouc-Wen磁滯模型描述機(jī)械臂執(zhí)行器內(nèi)的磁滯現(xiàn)象，其數(shù)學(xué)定義[14]為

H(u)=ε*ζ*u+(1-ε*)ζ*ξ*

(2)

式中：ε*為剛度比，0<ε*<1；ζ*為與偽自然頻率相關(guān)的正參數(shù)；ξ*為輔助變量，其導(dǎo)數(shù)為

(3)

式中：?*和φ*分別為用于描述滯環(huán)形狀和振幅大小的設(shè)計(jì)參數(shù)，?*>|φ*|；λ*為滯環(huán)曲線的光滑性參數(shù)，其能夠控制滯環(huán)曲線從初始斜率至漸近斜率的過(guò)渡光滑性，λ≥1。

該模型滯環(huán)特性曲線如圖2所示，此時(shí)需滿(mǎn)足ξ*(0)=0，u(t)=4sin(2t)，ε*=0.25，ζ*=15，?*=2，λ*=1和φ*=0.25。

圖2 Bouc-Wen滯環(huán)特性曲線

(4)

式中y為系統(tǒng)輸出。

控制目標(biāo)是消除未知磁滯輸入的影響，確保系統(tǒng)輸出跟蹤參考軌跡，使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)全部信號(hào)達(dá)到半全局有界，并同時(shí)改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)性能。為達(dá)到此目標(biāo)，引入如下假設(shè)與引理：

引理1[8]：利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNN)將定義在緊集內(nèi)的未知光滑函數(shù)f(φ)估計(jì)為

f(φ)=W*TΨ(φ)+δ(φ)

(5)

(6)

式中?l和ζl分別為節(jié)點(diǎn)l的基寬度以及中心向量。

|ξ*(t)|≤max{|ξ*(0)|,1/(?*+φ*)1/λ*}

(7)

式中ξ*(0)是ξ*的初值。

2 動(dòng)態(tài)面控制器設(shè)計(jì)

動(dòng)態(tài)面控制策略沿用傳統(tǒng)遞歸設(shè)計(jì)理念，將高階系統(tǒng)分解為低階系統(tǒng)，逐步為低階系統(tǒng)設(shè)計(jì)虛擬控制率，并使用濾波器估計(jì)虛擬控制率導(dǎo)數(shù)，最終推出實(shí)際控制量。為便于設(shè)計(jì)，進(jìn)行如下變換：

(8)

系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 控制結(jié)構(gòu)圖

詳細(xì)設(shè)計(jì)步驟如下：

第1步：對(duì)位置跟蹤誤差e1進(jìn)行變換得到新誤差變量z1，其可被稱(chēng)作Funnel變量[20]，其定義為

(9)

式中：yd為連桿位置的參考軌跡輸出量；Fω為控制系統(tǒng)的性能邊界函數(shù)，其定義為

Fω(t)=(ρ0-ρ∞)exp(-β*t)+ρ∞

(10)

式中：ρ0、ρ∞和β*分別為Fω的初值、終值和指數(shù)函數(shù)的收斂率；|e1(0)|

根據(jù)式(9)，得

(11)

將虛擬控制率α1設(shè)計(jì)為

(12)

式中c1為正設(shè)計(jì)參數(shù)。

為了規(guī)避反演法固有的“微分膨脹”問(wèn)題，利用如下一階濾波器對(duì)α1進(jìn)行濾波：

(13)

式中σ1為時(shí)間常數(shù)，σ1>0。

根據(jù)式(8)和式(13)，得

(14)

(15)

利用不等式

(16)

并結(jié)合式(11)～式(14)，對(duì)式(15)求導(dǎo)，得

(17)

第2步：根據(jù)式(4)和式(8)，z2的導(dǎo)數(shù)為

(18)

式中：η=K/(ML2)；f1(φ1)=-F(x2)/(ML2)。

根據(jù)引理1，利用RBFNN將f1(φ1)估計(jì)為

(19)

式中：φ1=x2；|δ1(φ1)|≤λ1,λ1為未知正常數(shù)。

利用楊氏不等式，得

(20)

將α2設(shè)計(jì)為

α2=-[c2z2+(η2+1)z2/2-ηx1-gsinx1/L+

(21)

將其自適應(yīng)率設(shè)計(jì)為

(22)

對(duì)α2濾波，即

(23)

式中σ2為時(shí)間常數(shù)，σ2>0。

根據(jù)式(8)和式(23)，得

(24)

(25)

利用不等式

(26)

并結(jié)合式(18)～式(24)，對(duì)式(25)求導(dǎo)，得

(27)

第3步：根據(jù)式(4)和式(8)，z3的導(dǎo)數(shù)為

(28)

其次，將該步的虛擬控制率α3設(shè)計(jì)為

(29)

式中c3為正參數(shù)。

對(duì)α3進(jìn)行濾波，即

(30)

式中σ3為時(shí)間常數(shù)，σ3>0。

根據(jù)式(8)和式(30)，得

(31)

(32)

利用不等式

(33)

并結(jié)合式(28)～式(31)，對(duì)式(32)求導(dǎo)得

(34)

第4步：根據(jù)式(4)和式(8)，z4的導(dǎo)數(shù)為

(35)

(36)

利用楊氏不等式，得

(37)

將系統(tǒng)的實(shí)際控制量u設(shè)計(jì)為

(38)

將其自適應(yīng)率分別設(shè)計(jì)為

(39)

然后，將該步的Lyapunov函數(shù)選取為

(40)

利用不等式

(41)

并結(jié)合式(35)～式(39)對(duì)式(40)求導(dǎo)，得

(42)

3 穩(wěn)定性分析

將該方案的穩(wěn)定性分析以定理形式給出，如下所示：

證明：為了方便分析，不妨令Z=[z1,z2,z3,z4]，S=[s1,s2,s3]，并定義如下緊集：

(43)

式中R0和R1均為正常數(shù)。

將整個(gè)系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)選取為V=V1+V2+V3+V4。利用不等式

(44)

結(jié)合式(17)、式(27)、式(34)以及式(42)對(duì)V求導(dǎo)，令1/σk-1≥0(k=1,2,3)，得

(45)

并對(duì)式(45)求解，得

0≤V(t)≤υ/(2θ)+[V(0)-υ/(2θ)]exp(-2θt)

(46)

其說(shuō)明整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)所有信號(hào)均能達(dá)半全局有界。

根據(jù)式(9)和式(46)，得

(47)

4 仿真研究

表1 機(jī)械臂系統(tǒng)參數(shù)

仿真結(jié)果如圖4～圖7所示。圖4是連桿跟蹤參考軌跡的響應(yīng)曲線。圖5是連桿位置跟蹤誤差及其性能邊界的變化曲線。圖6是本文控制方案的電機(jī)控制力矩響應(yīng)曲線。根據(jù)圖4～圖5，可見(jiàn)本文預(yù)設(shè)性能動(dòng)態(tài)面控制器不僅能降低跟蹤誤差的最大超調(diào)量，且能改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。為進(jìn)一步展示本文控制器的抗磁滯性能，在保持現(xiàn)有條件不變的情況下，與無(wú)磁滯補(bǔ)償?shù)目刂破鲗?duì)比。仿真結(jié)果如圖7所示，可見(jiàn)本文控制器能消除執(zhí)行器內(nèi)磁滯效應(yīng)的影響，進(jìn)而有效改善控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

圖4 連桿位置輸出量及其參考軌跡

圖5 連桿位置跟蹤誤差及其性能邊界

圖6 電機(jī)控制力矩

圖7 連桿位置跟蹤誤差

5 結(jié)論

針對(duì)含未知磁滯輸入的單連桿機(jī)械臂系統(tǒng)，本文提出一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)設(shè)性能動(dòng)態(tài)面控制方案。首先利用磁滯模型描述系統(tǒng)執(zhí)行器內(nèi)的未知磁滯現(xiàn)象，其次利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近系統(tǒng)內(nèi)的未知函數(shù)，同時(shí)利用Funnel變量和性能邊界函數(shù)約束跟蹤誤差最大超調(diào)量，據(jù)此采用動(dòng)態(tài)面策略設(shè)計(jì)控制器。結(jié)果表明該控制器能使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)全部信號(hào)達(dá)半全局有界，并能保證跟蹤誤差的預(yù)設(shè)性能。仿真結(jié)果顯示此方案能有效消除磁滯效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)執(zhí)行器的影響，并能同時(shí)改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)及瞬態(tài)性能。